[확률 논리] 퀴즈..입니다.

두 사람이 가지고 있는 돈을 각각 x + a, x 라고 놓읍시다.
김모군이 내기에서 획득할 기대값을 계산하여 보겠습니다.

김모군이 x+a를 가지거나 x를 가질 확률은 1/2로 동일합니다.

1) x+a를 가진 경우
x를 획득합니다.

2)x를 가진 경우
x를 잃습니다.

기대값 : 1/2*x + 1/2*(-x) = 0

즉, 김모군이 내기에서 획득할 기대값은 0이 됩니다.
이모양이 획득할 기대값도 이와 유사하게 계산할 수 있습니다.

즉, 이 내기는 해도 그만, 안 해도 그만입니다.

x, x + a를 각각 가지고 있다면,

이긴다면 2x + a가 되고,

진다면 0이 되겠지요.

그러므로 기대값은 a/2가 됩니다.

확률이 엄청 높은 도박(?)이라고 할까나..

버그 소년님의 계산에서 이긴 경우에 2x + a가 되는 것이 맞습니다만...

처음 가지고 있는 돈이 x인 경우에는 분명히 a/2를 버는 셈이 되겠지만,
처음 가지고 있는 돈이 x+a인 경우에는 a/2를 잃는 셈이 되겠지요. :-)

일단 앞서서 나온 답글중에 기대값이 0이라고 하셨는데...
조금 잘못계산하신듯 합니다.

단순하게 계산하면
자신이 x값을 가지고 있다고 가정하고 상대방은 x+a를 가지고 있다고 가정하면
기대값 +1/2*(x+a) - 1/2*(x) = 1/2a 가 되어서
무조건 이익이라고 생각하게 되는데요...

문제는 a의 경우가 +인지 -인지 알수 없다는 것입니다.

1차다항식인데 변수가 2개가 있어서 해를 구할수 없는 형국이 되는 것입니다.
뭐.. 이때 a를 구할려면 진짜 확률 계산이 되는데요...
일반적으로 계체의 분포는 보통 가우시안 분포를 보임으로 가우시안 분포라고 가정하고
자신이 평상시에 가지는 금액의 평균과 그 분포에 대한 데이터(분산)가 필요하고
상대방의 경우에도 마찬가지의 데이터가 필요합니다.

그걸 가지고 자알 계산해 보면 a가 평균적으로 어느정도의 값을 가지는지를 알수있고 이를 통해 자신의 기대값을 알수 있습니다.
그 기대값은 상대방이 가지는 기대값과 같지 않겠죠....

계산해 보라구요??? ㅡㅡ;;

아 그리고 기대값 계산을 계속 잘못하시는데요..
기대값 계산은 무조건 자신의 입장에서 계산하는 것입니다.

그러니까 계산을 하자면....
자신이 이길 확율 * 이겼을때 얻을값 + 자신이 질 확율*자신이 졌을떼 잃을값 = 기대값..

식으로 표현해보자면
자신이 x이고 a가 양수라고 가정하면

1/2*(x+a) +1/2*(-x) = 1/2a

자신이 x+a라면
1/2*(x) + 1/2*(-(x+a)) = -1/2a

이 되는 것입니다.

다음은 기대값의 정의입니다.

In probability (and especially gambling), the expected value (or expectation) of a random variable is the sum of the probability of each possible outcome of the experiment multiplied by its payoff ("value").

제 계산은 random variable을 내기를 통해서 획득할 액수로 놓은 것입니다. 저는 식을 이렇게 계산한 적이 없는데요.

-> 자신이 이길 확율 * 이겼을때 얻을값 + 상대방이 이길 확율*상대방이 졌을떼 잃을값 = 기대값

ㅋㅋ 죄송 제가 잘못쓴걸 느끼고 편집하고 있을동안에 또 글을 올리셨군요

위에서 제가 편집해놓은글을 다시 봐주세요......
죄송....

다음은 기대값의 정의입니다.

In probability (and especially gambling), the expected value (or expectation) of a random variable is the sum of the probability of each possible outcome of the experiment multiplied by its payoff ("value").

제 계산은 random variable을 내기를 통해서 획득할 액수로 놓은 것입니다. 저는 식을 이렇게 계산한 적이 없는데요.

-> 자신이 이길 확율 * 이겼을때 얻을값 + 상대방이 이길 확율*상대방이 졌을떼 잃을값 = 기대값

기대값이 0일 경우가 있을까?
심지어 기대값이 -일경우가 있을까?

네... 물론 가능합니다.

제가 앞서서 좀 어렵게 말한 분포의 평균값과 분산값에 대한 간단한 예를 들어보자면
분포의 평균값이란... 보통 자신이 들고 다니는 돈의 평균을 말한 것이고..
분산값이란 돈을 어느정도 랜덤하게 들고다니냐를 나타내는 정도를 나타낸값입니다.
똑같이 평균적으로 5만원을 들고 다니는 두 사람이 있다고 하더라도 A라는 사람은 돈이 있을땐 10만원도 들고 다니지만 없을땐 한푼도 없는 사람이고
B라는 사람은 계획이 철저한사람이라 돈이 없을때도 한 4만원정도 들고 다니고 평소보다 좀 많이 있다하더라도 6만원 정도 들고 다니는 사람입니다.

평균은 같더라도 분산이 틀린 예이죠....

뭐.. 분산은 좀 어려운 개념이니 두 사람의 분산이 같다고 해두면
A라는 사람의 평균액수가 만원이고 B라는 사람의 평균액수가 2만원이라면...
당연히 A의 기대치는 +이고 B의 기대치는 -가 될것입니다.
쉽게 생각해도 A,B 두사람이 서로 상대방의 평균액수를 안다면... B라는 사람은 손해 볼것으로 생각하고 내기를 하지 않으려 하겠죠.....

만약 두사람의 평균과 분산이 같다면 기대치는 0이 될것입니다.

"돈이 많은 사람"이 "돈이 적은 사람"에게 주는 형국이니 둘다 손해가 아닐런지요?
일단 확률은 똑같은데, 얻는 것이 잃는 것보다 많게되니까요.

혹시 제 설명이 부족할까봐 제가 김모군 되어서 생각을 해보겠습니다.

결국 기대값은 자기가 가진돈보다도 작게 나오네요.
(김모군의 생각입니다 ^^)

제 생각은, 돈이 많은 사람에게 주던, 적은 사람에 주던, 기대값은 가진돈과 똑같다고 봅니다. 글솜씨가 부족하여 논리적인 전개는 못하겠지만, 실제 기대값 계산은 위의 김모군처럼 하면 안되겠네요.

복권의 기대값은 항상 -입니당.. ^^;;;

복권파는 기관에서는 땅파먹고 사나요???

보통 복권의 기대값을 계산할때

(당첨확율*당첨금액(1등) +당첨확율*당첨금액(2등) + ...) = 기대값...

식으로 계산하는데... 이것은 엄밀히 말해서 수학적 개념의 기대값이 아닙니당...
위에서 말한 기대값에서 자신이 복권 살때 들인 액수를 빼야합니다.

위처럼 계산하는 것은 상술에 지나지 않습니다.

아.. 이제 일해야하는데... ㅡㅡ;;

한마디만 더하고 끝을 맺으렵니다.
누가 무슨글 쓰더라도 이제 그만 쓸겁니다.
^^;;;

alee님의 글에 약간의 아주 약간의 문제제기를 하려합니다.

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기대값이란 어떤 시행을 무한히 반복했을 때 얻게 되는 결과의 평균치가 접근해 가는 값입니다. 일반적인 복권의 경우 구입 비용을 고려하면 기대값은 다 - 입니다. 그래야 복권 판매 업자들이 먹고 살 수 있으니까요.

위 문제의 경우 만약 한 명의 기대값이 x라면 상대방의 기대값은 -x가 되어야 합니다. 돈이 어디서 들어오고 나가는 일은 없고 두 사람이 서로 주고받는 경우만 있는 제로썸 게임이니까요. 그런데 두 사람의 상황이 완전히 대칭적이기 때문에 -x = x 이므로 기대값은 계산해 보지 않아도 당연히 0이 되어야 합니다.
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이 글에 거의 90프로 동의를 하는데.....
한 10프로의 추가및 반론의 의견이 있습니다.

일단 기대값이 1/2a라는 것은 여전히 주장하는 바이구요....

두 사람이 평균적으로 가지고 다니는 액수와 그 변동되는 정도가 정확히 일치를 보인다고 가정한다고 할때.... alee 님의 의견에 100프로 동의를 합니다. 기대값이 0이되어버리거든요.... (a가 0이 되어버립니다.)

하지만 문제의 어디에서도 두사람이 소지하고 다니는 평균액수가 같다는 말도 분산의 정도가 같다는 말도 없습니다.

그리고 제로섬 게임이라서 기대값이 0이된다고 하셨는데...
뭔가 착각을 하신듯...
모든 사람(게임하는사람, 진행하는 사람 모두다)의 기대값의 합이 0이되는것이지 한 사람의 기대값이 0이되는 것은 맞지 않습니다.
앞서서 말한것처럼 A,B두사람이 게임을 하였다면 두 사람의 기대값의 합은 0이됩니다.

확율변수를 배우셨다면, 그리고 그 과목을 열심히 수강하셨다면 제 의견에 동조해주시는 분이 있으리라 확신합니다. 답답하네요...

이 문제의 경우, 분산은 아무 상관이 없고 문제에서 둘이 서로 이기고 질 확률이 같다고 implicit하게 가정한 것으로 알고 있습니다.

옳은 지적이십니다. :)
만약 A가 평균적으로 가지고 다니는 액수가 B가 평균적으로 가지고 다니는 액수보다 클 경우 A의 기대값은 -가 되고, B의 기대값은 +가 됩니다.

그렇지만, 문제에서 평균적으로 가지고 다니는 액수에 대한 정보는 전혀 주어지지 않았기 때문에, 두 사람의 상황이 완전히 동일하다는 것이 가정 되어 있다고 봐야 합니다.

또, 위에서 제가 말한 것은 단지 제로섬 게임이기 때문에 기대값이 0이 된다는 것이 아니라, 제로섬 게임이기 때문에 한 사람의 기대값이 x라면 다른 한 사람의 기대값은 -x여야 한다는 것입니다. 일단, 제로섬 게임이라는 사실로 알 수 있는 것은 여기까지입니다.

만약 A의 기대값을 계산하여 x라는 값을 얻었다면, B의 기대값은 -x가 됩니다. 그런데 두 사람의 상황이 완전히 대칭적이기 때문에, A의 기대값을 계산한 것과 동일한 방법으로 B의 기대값을 계산하면 x가 됩니다. 즉, B의 기대값은 x이면서 동시에 -x가 됩니다. 따라서 B의 기대값은 x = -x = 0 이 되어야 합니다. 마찬가지로, A의 기대값도 0 이 되어야 합니다.

물론, 평균적으로 A는 x, B는 x+a (a>0)를 가지고 다닐 경우, A의 기대값은 +, B의 기대값은 -가 되겠죠.

여담입니다만,

두 사람이 정직하지 않은 사람들이라고 가정할 수도 있습니다. 이런 경우에는 두 사람이 자신이 가지고 있는 액수를 솔직하게 말하지 않을 수도 있겠죠.
(서로의 몸을 치사하게 수색하지 않는 한 말입니다. :-) )

이 경우, 각자의 최선의 전략은 돈을 한푼도 가지고 있지 않다고 말하는 경우입니다(필승의 전략이군요).

따라서 게임 이론 관점에서 보면, 항상 무승부가 발생하는 게임이라고 이야기할 수 있습니다. 0원대 0원으로 말입니다(아주 지루한 게임이 될 것입니다).

(가령 '상대가 1000원 이하일 경우에 한해서, 자신이 2만원 이상을 가지고 있으면 승리한다'든가 같은 특별한 규칙이 있으면 게임이 재미있어지겠군요. :-))

여기에 글을 올리신 다른 분들은 대부분 ㅡ,.ㅡ;;님과 다르게 생각하고 계신 것 같습니다. 물론, 때로는 자신이 얻을 금액만을 가지고 기대값을 계산합니다. 그렇지만, 자신이 투자하는 금액을 -로 해서 기대값을 계산하는 경우도 종종 있습니다. ㅡ,.ㅡ;;님께서 이렇게 하여 계산된 값을 “기대값” 이라고 부르고 싶지 않으시다면, “확장된 기대값” 이라고 부르셔도 됩니다. 뭐라고 부르던 그건 중요한 것이 아니니까요. 그렇지만 글을 올리신 대부분의 분들이 “기대값” 이라고 적은 단어는 “확장된 기대값”을 의미하고 있으니 ㅡ,.ㅡ;;님도 그냥 그렇게 받아들이시면 될 것 같습니다. 별로 열을 올리실 일은 아닌 것 같습니다. :)

그런데 문제에서 의도하신 것을 제가 제대로 이해한 것인가요? 물론, 제 글에서의 “기대값” 역시 투자 금액까지 모두 평균을 낸 값을 의미합니다.
얼핏 두 사람 다 이득이 되는 게임인 것 같은데, 상황이 대칭적이니 한 사람이 이득이라면 한 사람은 손해를 보아야 한다. 왜 틀렸는가? 를 물으신 것 같은데요?

이런 의도로 적으신 것 같지는 않지만 얼핏 보기에,

자신이 x일 경우 기대값이 1/2 a
자신이 x+a일 경우 기대값이 -1/2 a

라고 말씀하시는 것으로 보입니다.
기대값이라는 것은 자신이 x인지, x+a인지 모르는 경우에 계산하는 것이 아니던가요? 자신이 x인지, x+a인지 알고 있다면 결과를 바로 알 수 있으니 기대값을 계산할 필요도 없을텐데요? 의도하신 말씀이 무엇인지 정확히 이해가 되지 않습니다.

두사람이 가지고 있는 돈을 각각 a, b라고 합니다.
상금이 a+b가 됩니다.
A가 이길 확률과 질 확률은 각각 1/2입니다.
A의 기대값 = (1/2)*(a+b) + (1/2)*0
B의 기대값 = (1/2)*(b+a) + (1/2)*0
전체 기대값 = a+b

^^;;;
만약 이긴다면 상대방의 값을 받는 것이기 때문에 상대방의 값을 적어두었습니다
x+a를 가진 사람이 이긴다는 조건은 a가 음수라는 조건일때 그렇다는 것입니다. 따라서 상대방 x가 더 많은 돈이 될것이고 그것을 받는 다는 소리가되겠죠?

그리고 앞서 말한 것

자신이이길확율(1/2)*자신이얻을수있는값(x) + 자신이질확율(1/2)*자신이잃을값(x+a)

그런데 좀 이상하게 보이지 않나요? 전 좀 이상하게 보이는데....
a가 음수라고 했다가 양수라는 전제 조건을 달다니.... 진짜 뭔가 이상합니다. ^^;;
머리가 잘 안돌아가네요.... ㅡ.ㅜ

아무튼....

기대값을 두가지로 적어놓았는데... 그것은 제로섬게임이므로 다 더하면 0가 된다는 것을 보여주기 위한것이고...

실상은 A이던지 B던지.... 기대값은
1/2*(x+a) + 1/2(-x) = 기대값, 이때 a는 음수를 포함한 랜덤변수....

뭐 앞서서 alee님이 말씀하셨듯.. 평균적으로 무한히 많은 사람들을 대상으로 조사해보면 a는 0에 근접할것이고 기대값은 0이 될것이라 생각합니다.

제가 설명해드릴수 있는 최대한 설명드렸다고 생각하구요...
저도 시인했듯이 제가 한 설명중에도 모순된 부분이 있으니... 틀렸다면... ^^
조용히 받아들이겠습니다.

이기거나 지는 경우만 있는 경우라면
이길확률 * 얻을 수 있는 총액이 기대값이 됩니다.

기대값이 내기나 게임을 하는데 드는 돈보다 적으면 손해보는 게임이고 더 많다는 돈버는 게임이죠.

천원짜리 복권의 기대값을 계산하면 대충 500원이 됩니다.
여기서 중요한것은 기대값/비용 즉 환급률이죠.
일반적으로 복권은 환급률이 50%로 맞춰져 있습니다.
경마는 아마 70%정도일겁니다.
그러니까 이왕 돈을 걸거면 복권을 사는거보다는 경마에 돈을 거는게 나은거죠.

성공이냐 실패냐 확률은 반반이다 이런 표현을 종종 보는데 이것은 일어날 수 있는 사건은 성공,실패 둘이지만 확률은 따져 봐야 하는 상황이죠.

철수가 생각하기를 이길 확률이 반반이라고 했지만 실제로는 반반이 아니다 이런경우는 모순이 아니라 오류라고 합니다.

아 어렵네요.^^;
그래서 답이 어떻게 되는건가요?
이미 나왔는데 제가 이해를 못한사이에 지나간건지도...ㅡ.ㅡ;
알려주고 퇴근해주세요.ㅠ.ㅠ;

제가 참조한 기대값의 정의가 나와 있는 웹 사이트입니다.
http://www.free-definition.com/Expected-value.html

한번 살펴봐주시기를 부탁드립니다.

1. 내가 이기면 +100, 지면 -100, 확률은 1/2이면 기대값은 0입니다.
2. 백원을 내고 이기면 200원을 얻고 지면 0원을 얻는다면 기대값은 100원이죠.
정말 이렇게 단순한 게임이라면 1번이 직관적으로 보입니다.

그렇다면 이것은 어떻게 계산하시겠습니까?

등위  	당 첨 금  	발행장수  	총당첨금  	확률
1등 	500,000,000 	8 	4,000,000,000 	0.00004%
2등 	10,000,000 	50 	500,000,000 	0.00025%
3등 	10,000 	100,000 	1,000,000,000 	0.50000%
4등 	2,000 	200,000 	400,000,000 	1.00000%
5등 	1,000 	4,100,000 	4,100,000,000 	20.50000%

김모군의 입장이라면 내가 가진돈이 얼만지 이미 알고 있습니다.
하필 오늘따라 지갑은 텅비고 가진돈이라고는 주머니에 든 동전 몇백원일 수도 있고, 한달치 용돈을 한꺼번에 받은 날이라 꽤많은 돈일 수도 있습니다.
상대방이 가진 돈도 랜덤은 아니고 여러가지 추측이 가능합니다.
이런데도 확률은 반반이라고 생각할리가 없죠.

그런데 정말 문제가 되는 경우는 추측이 가능하지 않는 경우죠.

옆에서 보고 있던 재벌이 돈봉투를 하나씩 김모군과 이모양에게 주었습니다.
하나의 봉투에는 다른 봉투의 액수보다 정확히 두배가 들어있습니다.
자신의 봉투가 N짜리 봉투인지 2N짜리 봉투인지는 알 수 없습니다.
이제 두 봉투를 놓고 똑같은 내기를 제안받는다면 어떤 경우를 선택하시겠습니까?

상대의 돈에 대한 정보가 전혀 없고 서로 어느정도의 돈을 가졌다고 생각할 때, 수학적으로 이길 확률이 절반이라고 생각할 수는 있겠지요.
(1/2이라고 가정했으니 그대로 가정합니다.)

하지만 이런 경우에도

이건 틀렸죠.

물론 이기면 많이 벌고, 지면 지금 돈만 잃으면 되지만, (말이야 맞지만)

"벌써 져버린" 상황에서 상대보다 적게 걸었었다고 해서 이득이 되는건 아닙니다. 손해가 적은것도 아니죠, 손해는 자신에게만 발생했으니까요. 발생하지 않은 상대의 손해에 비교하면 안됩니다.

상금과 투자금이 관련 있기 때문이지요.

어차피 "이기고 질 확률"에 의해서 졌고, 잃고 나면 0원 상태가 됩니다.

많이 건 사람이 지는 게임에서도 똑같죠 -_-;

중학교 3학년 수준에서,

"모든 경우의 당첨 확률이 같고, 기금의 반환률이 100%" 인 경우에는

결국 누구도 기대치에선 이득이나 손해를 보지 않게 됩니다.

물론 이건 한 사람이 하나의 경우를 고르고, 한번 선택의 댓가로 같은 돈을 지불했을 경우지요.
(지금은 하나의 경우를 고르고, 서로 다른 돈을 지불하는 경우)

하지만 한명이 'X - a' 다른 한명이 'X + a' 를 지불한다고 했을때, (어떤 0이나 양의 값 a)

{내가 'X - a'} 일 확률이 1/2이면,

결국 '내기 하겠다' 라고 결심할때, X를 지불하는 것과 같아집니다.

다시 정리해보면,

이기고 지는 경우가 1/2로 갈린다고 했을 때,

기금의 반환률이 100%이므로

이 경우에 내기는 "100원 내고 100원 먹기" 가 되는거죠.

혹시 헷갈리는 분이 계실까봐 더 줄여 보자면,

누가 더 많은 돈을 가졌는지는 "모르므로" 의미가 없고, (그래서 1/2로 하기로.)

따라서, 그냥 돈을 다 모아놓고,

1/2의 확률로 이긴 사람이 다 가져가는 겁니다.

게임이 끝난 후에 진 사람이 조금 덜 억울하게 느끼겠지만

이게 확률의 구라죠 -_-; 사람들이 복권을 사는 이유이기도 하구요.

맨날 로또 당첨금이 100억이었다가 1000억으로 늘었을때,

"2천원으로 1000억 기회에 도전했는데, 꽝 나와도 이번엔 좀 덜 억울하지" 같은거죠 ; 심리적인 것 이상도 이하도 아닙니다.

즉, 이기고 진 후에 다시 '누가 돈이 많았나' 를 논할 필요가 없다는거죠.

ps. 뭔가 시비 걸릴까봐 달아두는겁니다만,

돈.. 이라는 것이 single boundary를 가졌고 infinite이기 때문에,

boundary에 가까울 수록 이길 확률이 늘어난다고 생각할 수 있지만

사실 무한대의 돈이란건 없고, 또 상대방의 상한 boundary 같은것도 모르므로, 고려할 여지가 없습니다.

그저 기분에 따라 걸어야죠. 상대와 나의 관계일 뿐이니 1/2이라고 가정한 것을 그냥 두는 수 밖에 없겠네요. 물론 이상적인 가정이긴 하지만요.

관련 쓰레드 모두 읽지 못했습니다. 혹시 중복이면 말씀해 주시기를..

문제와 몇개의 답글만 보고 이글을 적습니다.

우선 제가 궁금한 것 한가지.

기대값을 구할때 확률과 금액을 곱하게 되는데 이때 확률과 금액이 서로 종속성이 없어야 되는 것 아닌가요?
그러니까 기대값을 구하기 위해서는 특정사건이 발생할 확률과 그 사건발생시 얻을수 있는 "금액"이 "특정" 되어야 하는게 아닌가...하는 질문을 드립니다.
제 추측으로는 그럴것 같습니다.

위의 내용을 가정하고 생각해 보면 위의 문제는 특정되지 않는 금액으로 인해 기대값을 구할수 없다가 정답인 듯 합니다.
보통의 기대값을 구하듯이 확률과 금액을 곱하는 방식으로는 옳은 답이 나오지 않는 것 같습니다.

예를 들어 보겠습니다.
a 와 b 라는 사람이 있다고 했을때 이 두사람이 누구의 수중에 있는 돈 액수를 알고 있는가냐에 따라 기대값이(잘못된) 달라지게 됩니다.
즉, a 와 b 모두 a 가 현재 가지고 있는 금액 X 만을 알고 있다고 가정하면 a 는 양수의 기대값을 갖지만 b 는 음수의 기대값을 갖게 됩니다.(계산해 보시면..)
반대로 두사람 모두 b 가 현재 가지고 있는 금액 X 만을 알고 있다면 a 는 음수의 기대값을 갖고 b 는 양수의 기대값을 갖게 됩니다.
다시말하지만 여기서의 기대값을 "잘못된" 기대값이 되겠습니다.
즉, 누구의 수중에 있는 돈을 기준으로 생각하느냐에 따라 기대값이 달라지게 되는 것입니다. 이는 결론적으로 기대값을 구하는 식이 잘못 되었다는 얘기겠지요..

아닌가요?

위의 제가 가정을 했던 것에 대해서 누구 잘 아시는분은 알려주세요.

그리고 기대값의 정의에 대해서 말씀들이 계신데..

한번 이런 가정을 해 보겠습니다.

돈놓고 돈먹기..

주사위가 있습니다. 숫자 1과 6이 나오면 A 사람이 B에게서 100원을 받고 나머지 숫자가 나오면 B라는 사람이 A 에게서 100원을 받는다고 합시다.

그렇다면 이때 주사위를 던질때 마다 A 와 B 의 기대값을 얼마일까요?

A 의 기대값은 음수가 되지 않을까요?

즉, 기대값은 항상 양수가 아니라는 생각..(아닌가요?)

거참 ㅡ.ㅡ; 문제 내신분이 이러시니...

내가 받을 돈이 내가 투자한돈보다 클 때는 내가 이길때 뿐입니다.

"내가 이기면 내돈보다 작은 상대의 돈을 얻고,

내가 지면 상대의 돈보다 작은 내 돈을 잃는다."

일 뿐이란 말입니다 =_=;

결국 큰돈이 {X + a}, 작은돈이 {X - a} 라고 했을 때,

{X + a} 보다 작은돈{X - a}을 잃거나 얻는 것 뿐이란 말이죠.

그 값은 정해져 있는게 아니니 고려할 필요가 없구요.

양쪽 다 이득 같은건 둘다 꿈꾸고 있는거구요.

내돈이 상대 돈보다 많을때 이기고, 적을때 지는거 아니었나요?

내가 얻는건 결국 상금에서 내가 건 돈 뺀거죠.

내가 잃는건 내가 건 돈 전부고...

아.. 그렇네요. ㅎㅎ 문제를 첨봤을때 술을 좀 먹어서 그랬을까요 ;;

그래도 논리는 그대로...

neTdiVeR1102님께서 말씀하신대로

이길때 내돈보다 큰 상대방의 돈을 따게되고,
질때 상대방 돈보다 큰 내돈을 잃게 되는것.

여하튼 거는 돈보다 받는 돈이 많아지는 경우는 이겼을때 뿐이죠.

그럼 안녕히 주무세요~ : )

저도 자러...

동의합니다. 다만, 문제의 출제자가 이러한 이상적인 가정을 원했다고 생각합니다. 문제가 완벽하게 정의되지 않았더라도 출제자의 의도를 파악할 수 있다면, 출제자의 의도를 따라주는 것이 옳다고 생각합니다.

김모군이 갖고 있는 돈을 M1이라고 놓고, 이모양이 가지는 돈을 M2라고 놓습니다. 돈은 유한하므로 돈의 합을 U라고 가정한다면, M2는 0에서 U - M1 중 임의의 한 값을 가질 수 있습니다.

따라서 김모군이 이길 확률은 1 - M1/(U - M1)이 됩니다.
(물론, 이러한 계산을 위해서 돈의 구간은 연속적이라고 가정하였고, 이모양의 돈은 동일한 확률로 0부터 (U-M1) 사이의 임의의 값이 됩니다.

자자. 너무 흥분하고 계신것 같은데, 김모군과 이모양이 잘 되면 누가 이기든 상관없이 즐겁게 마르쉐에서 (또는 TGI든 아웃백이든) 저녁 한끼를 할 수 있는 가능성은 아무도 생각하지 않으시네요.

아 그리고 은근슬쩍 끼어들어갔던 궤변들.

1. 기대값은 0보다 크다. : 물론 투자금 생각 안하고 순수하게 '받을 수 있는 금액'을 따진다면 (두사람의 전체 자금 합계 / 2)이므로 기대값은 0보다 큽니다. 그러나 문제에선 '이익이다'라고 했죠? 이익이라 함은 (총 수익 - 투자금)이며, 이 경우 투자액은 ((내가 많을 경우의 금액 / 2) + (내가 적을 경우의 금액 /2)) 입니다. 결국 기대값하고 똑같죠. 그래서 이익이 없습니다.

2. 이건 암묵적으로 원 문제에서 주장하는 궤변인데, '네가 얻을 수 있는 돈은 X+a이고 네가 잃는 돈은 X이다. 그러니 결국 a/2만큼 딸 수 있다' 라는 내용입니다. 딸 때는 많이, 잃을 때는 조금 이라는 심리적 헛점이죠.

P.S. 이거 멘사 문제 중에 풀이집이랑 같이 본 적 있습니다.

계산식이 잘못되었다 라는 지적만 있지요. 그런 건 '이 식의 이부분 이부분의 가정이 틀렸고 이거이거는 확률계산이 아니다'란 지적이 필요한 겁니다. 뭐가 잘못되었는지, 왜 유리한지 설명한 글 좀 다시 주시겠습니까? 설마 '내가받을 돈이 내가 투자한 돈보다 클 것이다'가 설명입니까? 그거 틀렸다니까요. 내가 받을 돈은 내가 투자한 돈과 같습니다 이 경우에는. 그게 왜 큰지 한번 수식 세워보세요. 숫자를 쓰시건 미지수로 방정식을 세우건.

그리고 무슨 말인지 이해 안되신다는 부분 다시 설명.

1. 결국 이기면 내 돈은 두사람 돈 전부. 지면 0. 이건 간단하죠? 그러니까 내가 가질 수 있는 돈의 기대값은 두사람 돈 전부 나누기 2. 확률이 1/2랬으니까.

수식으로 변환.

내 돈 X, 상대방 돈 X+a : 확률 1/2 -> 받는 돈 (2X+a)
내 돈 X+a, 상대방 돈 X : 확률 1/2 -> 받는 돈 0

결국 기대값 = (2X+a)/2

2. 그럼 거기 들어가는 '비용'은? 내 돈 전부. 그런데 내 돈이 많을지 적을지는 까 보기 전엔 모르니까 많을 확률 절반 적을확률 절반 해서 결국 기대값과 같은 비용이 들어가는 겁니다. 버는 건 확률인데 내가 넣는 돈은 고정이다 라는 착각을 심어준다는거죠. 넣는 돈 액수는 고정이지만 그게 '비용'으로 작용하는 액수는 결국 확률이 붙게 되므로 기대값과 동일해진다는 이야깁니다. 손익 계산중이니까 비용도 당연히 확률로 계산해야 된다는 거죠. 1하고 동일하게. 비용은 고정값인데 기대값이 확률인 사건이 아닙니다. 비용도 기대값도 확률인 사건이지요.

역시 수식으로 변환

내 비용 X 상대방 비용 X+a : 확률 1/2 -> 내 비용 X
내 비용 X+a 상대방 비용 X : 확률 1/2 -> 내 비용 X+a

결국 내 비용 = X/2 + (X+a)/2 = (2X+a)/2

최종적으로 내 비용 = 내 기대값

자 이 수식 어디가 틀렸는지 한번 지적해보세요.

3. 멘사 퀴즈에선 대놓고 '이득은 a/2다'라고 적어놨었죠. 그래도 어지간하면 속아넘어가니까요. 이거 정답안이 있는 문제니까 그동안 나온 정답들 보시고 이해하려고 노력해보세요.

아 그리고 전형적으로 유도되는 착각들.

1. '어쨌건 내가 넣는 돈은 고정 액수 아니냐? 그러니까 내 비용은 X지, X 또는 X+a가 아니다' : 그렇게 놓고서 확률계산하면 됩니다.

내 돈은 무조건 X, 상대방은 X+a 또는 X-b 둘 중에 하나 되겠죠? 당연히 확률은 1/2입니다.

첫번째 상황
내가 버는 돈 = 2X+a, 내 비용 X
상대방이 버는 돈 = 0, 상대방 비용 X+a

두번째 상황
내가 버는 돈 = 0, 내 비용 X
상대방이 버는 돈 = 2X-b, 상대방 비용 X-b

결국 전체 이득금 = 전체 비용입니다. 누가 이익을 볼 여지가 없지요.

2. '어쨌거나 내가 이기는 상황은 1/2이고 첫번째 상황과 두번째 상황을 더하면 난 결국 a/2를 벌지 않았느냐? ': 상대방의 입장도 보시기 바랍니다.

내가 버는 동안 상대방은 그만큼 잃습니다. 내가 잃는 경우 상대방은 그만큼을 법니다. 이익보는만큼 손해를 봅니다. '둘 다 이익'인 상황이 아니지요. 물론 이기는 경우의 수익률은 2보다 큽니다만, 수익률과 이익큼, 확률은 별 상관 없습니다. (로또의 기대값과 로또 1등의 수익률이 아무 상관 없듯이 말이죠. 로또의 수익률을 확률에 곱해서 나오는 최종값은 로또의 기대값과 다릅니다.) 요거에 걸리신 듯 합니다. 대개의 도박은, 수익률이 높음을 무기삼아 기대값을 낮추고, 사람들은 수익률에 끌리지 기대값에 끌리지 않습니다. (상트 페테르스부르크 카지노 역설을 생각해보시면 됩니다. 기대값은 무한대이나 수익률이 황이죠. 안합니다. 반대로 로또에 사람들 무지하게 몰려서 일등 당첨금액이 200억이 됐다고 치면, 이미 일등의 수익률 곱하기 확률만으로도 투자액을 넘어갑니다. 그러나 로또의 기대값은 불변이죠.)

<억만장자되는 법>의 재발견!!!

1. 지갑에서 돈을 한 뭉치를 뽑아 들어서 임의로 2등분 한 후, 바지의 양쪽 주머니에 넣어둔다.

2. ㅡ,.ㅡ;;님이 제안한 게임을 바지의 양쪽 주머니를 이용하여 시뮬레이션한다.

3. 양쪽 주머니의 경우 모두 이익이라고 하니 재산이 계속 불어날 것은 명백하다(양쪽 주머니 입장에서 각각 머리를 열심히 굴려본 결과, 자신이 이득이라고 판정할 것은 분명하다).

4. 게임이 끝나고, 승자가 된 주머니에서 돈을 꺼내서 다시 지갑에 넣는다.

5. 1부터 4까지의 과정을 계속 반복하면 언젠가는 억만장자가 될 것이다. 지금 당장 지갑을 꺼내자!!!