[확률 논리] 퀴즈..입니다.

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

kldp 자주놀러오던 김모군과 이모양이 번개팅을 하기로 했습니다.
이를 몰래 알아챈 ㅡ,.ㅡ;;는 껌을 팔러 같은장소에 나가게 됩니다.
(ㅡ,.ㅡ;; 사람이 좀그런가..어쨋거나..)
재밋게 이야기하는 두사람사이에 끼어든 ㅡ,.ㅡ;; 가 껌을 사라고하자
(한개3만원..ㅡ,.ㅡ;; ) 둘다 돈이 없고 백수고 가난하다며 서로 상대편에게
미룹니다....
화가난 ㅡ,.ㅡ;;가 껌안팔테니 제안을합니다. 둘이 있는돈다 꺼내서 돈많은사람이 돈적은사람에게 모두주는 내기를하자고..

여기서 김모군과 이모양은 머리를 굴립니다. 이내기에서 내가 이길확률은 반이며 이기면 현재돈보다 많이 벌것이고 지면 지금돈만 잃으면되니 이내기는 나한테 유리한것이된다..

그렇다면 둘다 이익을보게 된다는건데.. 어찌된걸까요..

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

이상하게 내가 낸문제는 왜 아무도 안풀지..ㅡ,.ㅡ;;
등장인물이 안좋아서 그런가..쿵
아니면 문제를 이해못해서인가..
문제가 득을보면 손해보는사람이 존재해야하는데 어째서 둘다 득을보는가?
즉, 확률에대한 기대값이 자신이 투자해야할금액보다 큰경우이므로
전체기대값또한 전체 투자되는 금액보다 크게나오게되는데..
확률에서 전체 기대값은 투자되는금액과 일치해야한다는.. 이론이 있었던가..-.-?
어쨋든..쩝...


----------------------------------------------------------------------------

nachnine의 이미지

꽤유명하다던가 굉장히 어렵다던가 많은 사람들이 틀리는 문제라든가

"당신은 절대로 못풀거야! "

등등 라는 도발적인 멘트가 필요합니다.

아인슈타인이 2%의 사람만이 풀수 있다고 했던 이웃집?어쩌고 하는 문제에

답글이 많이달리는 이유가 간단하죠.

정성들여 문제풀이를

게시판에 올리고 스스로 2%안에 속해있다

생각하며 자부심을 느끼는 겁니다.

그문제가 아인슈타인이 낸문제도 아니고 50%의 사람이

풀수 있는 문제라도 말이죠.

( 실제로 아인~ 아저씨가 낸문제가 아니라죠 )

더군다나 많은 사람들이 답이라고 생각하는 리플이 올라왔는데

문제낸 사람이 " 그거 답 아닙니다 " 라고 하면

리플이 폭발합니다.

왜 그것이 답이 아닐까 하고,, 서로 논의를 거듭하죠.

아 그것보다 먼저

문제가 짧고 답이 금방 나올 것 같아야 합니다.

너무 쉬운문제여서도 안되고

5분에서 10분정도의 생각으로 " 정답같은 " 풀이가 나오되

정답은 아니라면 금상첨화죠.

마지막으로 문제가 모순덩어리에 애매하면 더 좋습니다 -_-;

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

아마 이문제는 대학교수라해도 이문제를 해결할수 없을것입니다.
이문제의 해답을 제실할수 있는사람이 있을지는 모르겠으나.. 아마 극히 드물것입니다.
실제로 아직 이문제의 해답을 말할수 있는사람은 아무도 보지 못했습니다.
아직 아무도 풀지 못했다고할수 있는..


----------------------------------------------------------------------------

Risty의 이미지

ㅡ,.ㅡ;; wrote:
이기면 현재돈보다 많이 벌것이고 지면 지금돈만 잃으면되니 이내기는 나한테 유리한것이된다..

이긴 사람이 보기에 '많은 금액'이 진 사람이 보기에는 '지금 돈'이 되는군요. 원래는 이 둘이 같은 것인데 말이지요.

즉 많은 돈을 얻을 수 있다는 것만 생각하고, 그에 비례해서 많은 돈을 잃을 수 있다는 것은 생각하지 못하고 있군요. 시합 전 자기가 갖고 있는 금액을 기준으로 생각하기 때문에 그런 것 같습니다.

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

Risty wrote:
많은 돈을 얻을 수 있다는 것만 생각하고, 그에 비례해서 많은 돈을 잃을 수 있다는 것은 생각하지 못하고 있군요. 시합 전 자기가 갖고 있는 금액을 기준으로 생각하기 때문에 그런 것 같습니다.

아뇨..잃는 돈이 얻을수 있는것에 비례하지도 않고 무엇을기준으로하든 그런것은 상관이 없죠..
논리에 어긋나지만 않는다면 말이죠..


----------------------------------------------------------------------------

nanosec의 이미지

"두 사람 모두 돈을 가지고 있지 않다" 라고 생각합니다.

0 보다 작은 돈은 없으므로, 현재 잃는 금액은 0이며, 0보다 작은 금액은 없으므로 항상 이길수 있다는 논리가 성립된다고 생각합니다.

답은 "둘다 빈털털이다" 가 아닐런지요.. ^^

0x2B | ~0x2B
- Hamlet

morethan의 이미지

두 사람이 가지고 있는 돈을 각각 x + a, x 라고 놓읍시다.
김모군이 내기에서 획득할 기대값을 계산하여 보겠습니다.

김모군이 x+a를 가지거나 x를 가질 확률은 1/2로 동일합니다.

1) x+a를 가진 경우
x를 획득합니다.

2)x를 가진 경우
x를 잃습니다.

기대값 : 1/2*x + 1/2*(-x) = 0

즉, 김모군이 내기에서 획득할 기대값은 0이 됩니다.
이모양이 획득할 기대값도 이와 유사하게 계산할 수 있습니다.

즉, 이 내기는 해도 그만, 안 해도 그만입니다.

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

nanosec wrote:
"두 사람 모두 돈을 가지고 있지 않다" 라고 생각합니다.

0 보다 작은 돈은 없으므로, 현재 잃는 금액은 0이며, 0보다 작은 금액은 없으므로 항상 이길수 있다는 논리가 성립된다고 생각합니다.

답은 "둘다 빈털털이다" 가 아닐런지요.. ^^


무슨말이신지..ㅎㅎ 돈을 가지고 있습니다.설만들 데이트하면서 돈안가지고 오겠습니까..ㅡ,.ㅡ;;


----------------------------------------------------------------------------

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

morethan wrote:
두 사람이 가지고 있는 돈을 각각 x + a, x 라고 놓읍시다.
김모군이 내기에서 획득할 기대값을 계산하여 보겠습니다.

김모군이 x+a를 가지거나 x를 가질 확률은 1/2로 동일합니다.

1) x+a를 가진 경우
x를 획득합니다.

2)x를 가진 경우
x를 잃습니다.

기대값 : 1/2*x + 1/2*(-x) = 0

즉, 김모군이 내기에서 획득할 기대값은 0이 됩니다.
이모양이 획득할 기대값도 이와 유사하게 계산할 수 있습니다.

즉, 이 내기는 해도 그만, 안 해도 그만입니다.


문제를 잘못이해햐셨네요.. 많은사람이 적은사람한테 줘야합니다.
또한 기대값계산식도 물론 식이 틀리셨네요..


----------------------------------------------------------------------------

Tenshi의 이미지

morethan wrote:
두 사람이 가지고 있는 돈을 각각 x + a, x 라고 놓읍시다.
김모군이 내기에서 획득할 기대값을 계산하여 보겠습니다.

김모군이 x+a를 가지거나 x를 가질 확률은 1/2로 동일합니다.

1) x+a를 가진 경우
x를 획득합니다.

2)x를 가진 경우
x를 잃습니다.

기대값 : 1/2*x + 1/2*(-x) = 0

즉, 김모군이 내기에서 획득할 기대값은 0이 됩니다.
이모양이 획득할 기대값도 이와 유사하게 계산할 수 있습니다.

즉, 이 내기는 해도 그만, 안 해도 그만입니다.

morethan님이 문제를 반대로 이해하신것 같기는 합니다만..

계산하신대로.. 이 문제를 풀 수 있겠네요.

1) x+a를 가진 경우
x+a를 잃는다.

2) x를 가진 경우
x+a를 얻는다.

기대값 : 1/2*(x+a) + 1/2*(-(x+a)) = 0

.. 왠지 아닌 것 같기도 합니다만.. -_-;

버그소년의 이미지

x, x + a를 각각 가지고 있다면,

이긴다면 2x + a가 되고,

진다면 0이 되겠지요.

그러므로 기대값은 a/2가 됩니다.

확률이 엄청 높은 도박(?)이라고 할까나..

가끔은 밥을 굶어도 살 수 있다.

morethan의 이미지

제가 문제를 거꾸로 보았군요.

위에 Tenshi 님이 써놓은 수식이 정확한 기대값을 계산한 경우입니다. :-)

morethan의 이미지

버그 소년님의 계산에서 이긴 경우에 2x + a가 되는 것이 맞습니다만...

처음 가지고 있는 돈이 x인 경우에는 분명히 a/2를 버는 셈이 되겠지만,
처음 가지고 있는 돈이 x+a인 경우에는 a/2를 잃는 셈이 되겠지요. :-)

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

Tenshi wrote:
morethan wrote:
두 사람이 가지고 있는 돈을 각각 x + a, x 라고 놓읍시다.
김모군이 내기에서 획득할 기대값을 계산하여 보겠습니다.

김모군이 x+a를 가지거나 x를 가질 확률은 1/2로 동일합니다.

1) x+a를 가진 경우
x를 획득합니다.

2)x를 가진 경우
x를 잃습니다.

기대값 : 1/2*x + 1/2*(-x) = 0

즉, 김모군이 내기에서 획득할 기대값은 0이 됩니다.
이모양이 획득할 기대값도 이와 유사하게 계산할 수 있습니다.

즉, 이 내기는 해도 그만, 안 해도 그만입니다.

morethan님이 문제를 반대로 이해하신것 같기는 합니다만..

계산하신대로.. 이 문제를 풀 수 있겠네요.

1) x+a를 가진 경우
x+a를 잃는다.

2) x를 가진 경우
x+a를 얻는다.

기대값 : 1/2*(x+a) + 1/2*(-(x+a)) = 0

.. 왠지 아닌 것 같기도 합니다만.. -_-;


뭔가 맞아들어가는듯 보이나....
확률기대값이란것의 합을 잘못생각하신것 같습니다.
기대값은 내가 얻을수 있는 확률적 금액이죠.. 어떤 A를 전개한후 다시 그A를 그대로 빼준다면.. 당연 0가되겠죠..
그리고 기대값의 합이란것도 0이 되어서는 안됩니다. 기대값은 어떠한값이 나와야하고.. 그둘의 합인데 0이 되면 되나요.. 더이상하지..


----------------------------------------------------------------------------

bejoy4him의 이미지

일단 앞서서 나온 답글중에 기대값이 0이라고 하셨는데...
조금 잘못계산하신듯 합니다.

단순하게 계산하면
자신이 x값을 가지고 있다고 가정하고 상대방은 x+a를 가지고 있다고 가정하면
기대값 +1/2*(x+a) - 1/2*(x) = 1/2a 가 되어서
무조건 이익이라고 생각하게 되는데요...

문제는 a의 경우가 +인지 -인지 알수 없다는 것입니다.

1차다항식인데 변수가 2개가 있어서 해를 구할수 없는 형국이 되는 것입니다.
뭐.. 이때 a를 구할려면 진짜 확률 계산이 되는데요...
일반적으로 계체의 분포는 보통 가우시안 분포를 보임으로 가우시안 분포라고 가정하고
자신이 평상시에 가지는 금액의 평균과 그 분포에 대한 데이터(분산)가 필요하고
상대방의 경우에도 마찬가지의 데이터가 필요합니다.

그걸 가지고 자알 계산해 보면 a가 평균적으로 어느정도의 값을 가지는지를 알수있고 이를 통해 자신의 기대값을 알수 있습니다.
그 기대값은 상대방이 가지는 기대값과 같지 않겠죠....

계산해 보라구요??? ㅡㅡ;;

morethan의 이미지

확률기대값의 정의가 무엇인지 잘 모르겠습니다만.
기대값의 정의를 다시 한번 확인하실 것을 부탁드립니다.
(기대값으로 0이 계산되는 것은 아무런 문제가 없습니다.)

bejoy4him의 이미지

아 그리고 기대값 계산을 계속 잘못하시는데요..
기대값 계산은 무조건 자신의 입장에서 계산하는 것입니다.

그러니까 계산을 하자면....
자신이 이길 확율 * 이겼을때 얻을값 + 자신이 질 확율*자신이 졌을떼 잃을값 = 기대값..

식으로 표현해보자면
자신이 x이고 a가 양수라고 가정하면

1/2*(x+a) +1/2*(-x) = 1/2a

자신이 x+a라면
1/2*(x) + 1/2*(-(x+a)) = -1/2a

이 되는 것입니다.

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

morethan wrote:
확률기대값의 정의가 무엇인지 잘 모르겠습니다만.
기대값의 정의를 다시 한번 확인하실 것을 부탁드립니다.
(기대값으로 0이 계산되는 것은 아무런 문제가 없습니다.)

예를 들면 어떤내기의 어떤사람의 기대값이 -가 될수 있겠어요?
그럼 기대값이 0라는 의미는 무엇이 될까요?


----------------------------------------------------------------------------

morethan의 이미지

bejoy4him wrote:
아 그리고 기대값 계산을 계속 잘못하시는데요..
기대값 계산은 무조건 자신의 입장에서 계산하는 것입니다.

그러니까 계산을 하자면....
자신이 이길 확율 * 이겼을때 얻을값 + 자신이 질 확율*졌을떼 잃을값 = 기대값..

만약 계속적으로 앞서와 같이
자신이 이길 확율 * 이겼을때 얻을값 + 상대방이 이길 확율*상대방이 졌을떼 잃을값 = 기대값 이라면
항상 0이 나오죠...

다음은 기대값의 정의입니다.

In probability (and especially gambling), the expected value (or expectation) of a random variable is the sum of the probability of each possible outcome of the experiment multiplied by its payoff ("value").

제 계산은 random variable을 내기를 통해서 획득할 액수로 놓은 것입니다. 저는 식을 이렇게 계산한 적이 없는데요.

-> 자신이 이길 확율 * 이겼을때 얻을값 + 상대방이 이길 확율*상대방이 졌을떼 잃을값 = 기대값

morethan의 이미지

ㅡ,.ㅡ;; wrote:
morethan wrote:
확률기대값의 정의가 무엇인지 잘 모르겠습니다만.
기대값의 정의를 다시 한번 확인하실 것을 부탁드립니다.
(기대값으로 0이 계산되는 것은 아무런 문제가 없습니다.)

예를 들면 어떤내기의 어떤사람의 기대값이 -가 될수 있겠어요?
그럼 기대값이 0라는 의미는 무엇이 될까요?

랜덤 변수를 어떻게 잡냐에 따라서 당연히 기대값이 음수가 나올 수도 있고, 0이 나올 수도 있지요.

아마 ㅡ,.ㅡ;;께서는 랜덤 변수로 내기를 통하여 획득할 액수가 아닌 내기 후에 자신이 소유한 액수로 놓은 것 같습니다만...

bejoy4him의 이미지

ㅋㅋ 죄송 제가 잘못쓴걸 느끼고 편집하고 있을동안에 또 글을 올리셨군요

위에서 제가 편집해놓은글을 다시 봐주세요......
죄송....

다음은 기대값의 정의입니다.

In probability (and especially gambling), the expected value (or expectation) of a random variable is the sum of the probability of each possible outcome of the experiment multiplied by its payoff ("value").

제 계산은 random variable을 내기를 통해서 획득할 액수로 놓은 것입니다. 저는 식을 이렇게 계산한 적이 없는데요.

-> 자신이 이길 확율 * 이겼을때 얻을값 + 상대방이 이길 확율*상대방이 졌을떼 잃을값 = 기대값

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

morethan wrote:
ㅡ,.ㅡ;; wrote:
morethan wrote:
확률기대값의 정의가 무엇인지 잘 모르겠습니다만.
기대값의 정의를 다시 한번 확인하실 것을 부탁드립니다.
(기대값으로 0이 계산되는 것은 아무런 문제가 없습니다.)

예를 들면 어떤내기의 어떤사람의 기대값이 -가 될수 있겠어요?
그럼 기대값이 0라는 의미는 무엇이 될까요?

랜덤 변수를 어떻게 잡냐에 따라서 당연히 기대값이 음수가 나올 수도 있고, 0이 나올 수도 있지요.

아마 ㅡ,.ㅡ;;께서는 랜덤 변수로 내기를 통하여 획득할 액수가 아닌 내기 후에 자신이 소유한 액수로 놓은 것 같습니다만...

예를들어 복권의 기대값은 절대 -가 될수 없습니다. 아무리 확률이 없는 복권이라해도 -가 될수 없습니다.
내가 돈을 잃었다해서 그값을 -수로해서 기대값을 -라 해서는 안됩니다.
그것은 기대값을 잘못이해하고 계신겁니다.


----------------------------------------------------------------------------

bejoy4him의 이미지

기대값이 0일 경우가 있을까?
심지어 기대값이 -일경우가 있을까?

네... 물론 가능합니다.

제가 앞서서 좀 어렵게 말한 분포의 평균값과 분산값에 대한 간단한 예를 들어보자면
분포의 평균값이란... 보통 자신이 들고 다니는 돈의 평균을 말한 것이고..
분산값이란 돈을 어느정도 랜덤하게 들고다니냐를 나타내는 정도를 나타낸값입니다.
똑같이 평균적으로 5만원을 들고 다니는 두 사람이 있다고 하더라도 A라는 사람은 돈이 있을땐 10만원도 들고 다니지만 없을땐 한푼도 없는 사람이고
B라는 사람은 계획이 철저한사람이라 돈이 없을때도 한 4만원정도 들고 다니고 평소보다 좀 많이 있다하더라도 6만원 정도 들고 다니는 사람입니다.

평균은 같더라도 분산이 틀린 예이죠....

뭐.. 분산은 좀 어려운 개념이니 두 사람의 분산이 같다고 해두면
A라는 사람의 평균액수가 만원이고 B라는 사람의 평균액수가 2만원이라면...
당연히 A의 기대치는 +이고 B의 기대치는 -가 될것입니다.
쉽게 생각해도 A,B 두사람이 서로 상대방의 평균액수를 안다면... B라는 사람은 손해 볼것으로 생각하고 내기를 하지 않으려 하겠죠.....

만약 두사람의 평균과 분산이 같다면 기대치는 0이 될것입니다.

morethan의 이미지

ㅡ,.ㅡ;; wrote:
morethan wrote:
ㅡ,.ㅡ;; wrote:
morethan wrote:
확률기대값의 정의가 무엇인지 잘 모르겠습니다만.
기대값의 정의를 다시 한번 확인하실 것을 부탁드립니다.
(기대값으로 0이 계산되는 것은 아무런 문제가 없습니다.)

예를 들면 어떤내기의 어떤사람의 기대값이 -가 될수 있겠어요?
그럼 기대값이 0라는 의미는 무엇이 될까요?

랜덤 변수를 어떻게 잡냐에 따라서 당연히 기대값이 음수가 나올 수도 있고, 0이 나올 수도 있지요.

아마 ㅡ,.ㅡ;;께서는 랜덤 변수로 내기를 통하여 획득할 액수가 아닌 내기 후에 자신이 소유한 액수로 놓은 것 같습니다만...

예를들어 복권의 기대값은 절대 -가 될수 없습니다. 아무리 확률이 없는 복권이라해도 -가 될수 없습니다.
내가 돈을 잃었다해서 그값을 -수로해서 기대값을 -라 해서는 안됩니다.
그것은 기대값을 잘못이해하고 계신겁니다.

복권 후에 받을 상금 액수를 랜덤 변수로 놓는다면 물론 기대값이 음수가 될 수 없습니다. :-)

하지만, 랜덤변수를 (자신이 구입한 복권의 액수 - 복권의 상금 액수)로 놓는다면 기대값은 음수가 될 수 있겠지요.

eseo의 이미지

ㅡ,.ㅡ;; wrote:
....
둘이 있는돈다 꺼내서 돈많은사람이 돈적은사람에게 모두주는 내기를하자고..

여기서 김모군과 이모양은 머리를 굴립니다. 이내기에서 내가 이길확률은 반이며 이기면 현재돈보다 많이 벌것이고 지면 지금돈만 잃으면되니 이내기는 나한테 유리한것이된다..

그렇다면 둘다 이익을보게 된다는건데.. 어찌된걸까요..

"돈이 많은 사람"이 "돈이 적은 사람"에게 주는 형국이니 둘다 손해가 아닐런지요?
일단 확률은 똑같은데, 얻는 것이 잃는 것보다 많게되니까요.

혹시 제 설명이 부족할까봐 제가 김모군 되어서 생각을 해보겠습니다.

김모군의 생각 wrote:

지금 내기를 제안 받았는데, 나한테 유리한 걸까? 가만.. 내가 얼마 가지고 있지? 3만원 가지고 나와서 커피값 냈으니깐.... 2만 2천 2백원. 아니 커피값이 왜이리 비싼거야.
아.. 암튼, 내기를 한다고 하면, 지면 2만 2천 2백원 손해이네.
이기면... 잉? 확률은 같은데 이기면 2만 2천 2백원 보다 적게 버는 거잖아.

에이.. 안할래.

결국 기대값은 자기가 가진돈보다도 작게 나오네요.
(김모군의 생각입니다 ^^)

제 생각은, 돈이 많은 사람에게 주던, 적은 사람에 주던, 기대값은 가진돈과 똑같다고 봅니다. 글솜씨가 부족하여 논리적인 전개는 못하겠지만, 실제 기대값 계산은 위의 김모군처럼 하면 안되겠네요.

---
배려하는 마음을 갖자.

alee의 이미지

ㅡ,.ㅡ;; wrote:
morethan wrote:
확률기대값의 정의가 무엇인지 잘 모르겠습니다만.
기대값의 정의를 다시 한번 확인하실 것을 부탁드립니다.
(기대값으로 0이 계산되는 것은 아무런 문제가 없습니다.)

예를 들면 어떤내기의 어떤사람의 기대값이 -가 될수 있겠어요?
그럼 기대값이 0라는 의미는 무엇이 될까요?

기대값이란 어떤 시행을 무한히 반복했을 때 얻게 되는 결과의 평균치가 접근해 가는 값입니다. 일반적인 복권의 경우 구입 비용을 고려하면 기대값은 다 - 입니다. 그래야 복권 판매 업자들이 먹고 살 수 있으니까요.

위 문제의 경우 만약 한 명의 기대값이 x라면 상대방의 기대값은 -x가 되어야 합니다. 돈이 어디서 들어오고 나가는 일은 없고 두 사람이 서로 주고받는 경우만 있는 제로썸 게임이니까요. 그런데 두 사람의 상황이 완전히 대칭적이기 때문에 -x = x 이므로 기대값은 계산해 보지 않아도 당연히 0이 되어야 합니다.

그런데 문제의 상황에서는 얼핏 생각하기에 기대값이 0보다 더 큰 것 처럼 보이기 때문에 이 문제가 재미있는 문제가 됩니다. 잃을 확률과 얻을 확률 둘 다 1/2 인데, 잃을 경우 자신이 가지고 있는 돈 만큼만 잃고, 얻을 경우 자신이 가지고 있는 돈 보다 더 많이 얻게 되니까요.

수식으로 써 보면 대충 다음과 같습니다.
자신이 가지고 있는 돈을 x라고 하고, 상대방이 가지고 있는 돈을 x+a 라고 하면,

a < 0 인 경우 얻게 되는 돈은, -x
a > 0 인 경우 얻게 되는 돈은, x + a

따라서 기대값은,
-x * (1/2) + (x + a) * (1/2) = a/2

물론, 틀린 계산입니다. 제가 보기에, 문제에서 요구하고 있는 것은 이 계산이 왜 틀렸는가를 설명하는 것입니다. 답은? 저도 아직 잘 모르겠습니다.

bejoy4him의 이미지

복권의 기대값은 항상 -입니당.. ^^;;;

복권파는 기관에서는 땅파먹고 사나요???

보통 복권의 기대값을 계산할때

(당첨확율*당첨금액(1등) +당첨확율*당첨금액(2등) + ...) = 기대값...

식으로 계산하는데... 이것은 엄밀히 말해서 수학적 개념의 기대값이 아닙니당...
위에서 말한 기대값에서 자신이 복권 살때 들인 액수를 빼야합니다.

위처럼 계산하는 것은 상술에 지나지 않습니다.

morethan의 이미지

랜덤 변수 V : 내기 후에 김모군이 획득할 액수 (내기 후 김모군의 액수 - 내기 전 김모군의 액수)

사건 A : 김모군이 이기는 사건 (김모군이 X를 갖고, 이모양이 X+a를 가지고 있었음)
사건 B : 김모군이 지는 사건 (김모군이 X+a를 갖고, 이모양이 X를 가지고 있었음)

문제를 간략화하기 위하여 둘이 비기는 경우는 생략함.

P(A) = p // 사건 A가 일어날 확률
P(B) = 1- p // 사건 B가 일어날 확률

사건 A가 일어난 경우에 김모군이 획득하는 액수 : 2X + a - X = X + a
사건 B가 일어난 경우에 김모군이 획득하는 액수 : 0 - (X + a) = - (X + a)

E(V) : 랜덤 변수 V의 기대값

E(V) = p(X + a) - (1 - p)(X + a)

문제에서 김모군과 이모양이 서로 이길 확률은 같다고 놓았으므로 p는 1/2임.

따라서 E(V) = 0

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

기대값의 개념을 잘못알고 계신 분이 많군요..

"기대값이란 X의 가능한 값에 그 확률을 곱해 더한 것이다"

여기서 X란 자신이 나올값이지.. 자신이 잃을 값이 아닙니다.
기대값이란 자신이 투자한돈과 전혀 관계가 없는것입니다.
보통 자신이 투자한값과 기대값을 비교하여 기대값이 크다면 투자를 하게되죠.

만일 정말 기대값이 -라는 의미는 내가 복권을 샀는데..당첨은 그녕 어쩌다가 경찰서서 나와서 벌금 10만원을 더빼앗아 갔다고 하면 -라고 볼수 도 있겠네요..


----------------------------------------------------------------------------

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

bejoy4him wrote:
복권의 기대값은 항상 -입니당.. ^^;;;

복권파는 기관에서는 땅파먹고 사나요???

보통 복권의 기대값을 계산할때

(당첨확율*당첨금액(1등) +당첨확율*당첨금액(2등) + ...) = 기대값...

식으로 계산하는데... 이것은 엄밀히 말해서 수학적 개념의 기대값이 아닙니당...
위에서 말한 기대값에서 자신이 복권 살때 들인 액수를 빼야합니다.

위처럼 계산하는 것은 상술에 지나지 않습니다.


천만에요.. 님이 기대값을 잘못알고 계신겁니다. 기대값은 자신이 투자할돈과 비교하는것입니다.


----------------------------------------------------------------------------

bejoy4him의 이미지

아.. 이제 일해야하는데... ㅡㅡ;;

한마디만 더하고 끝을 맺으렵니다.
누가 무슨글 쓰더라도 이제 그만 쓸겁니다.
^^;;;

alee님의 글에 약간의 아주 약간의 문제제기를 하려합니다.

--------------------------------------------------------------------------
기대값이란 어떤 시행을 무한히 반복했을 때 얻게 되는 결과의 평균치가 접근해 가는 값입니다. 일반적인 복권의 경우 구입 비용을 고려하면 기대값은 다 - 입니다. 그래야 복권 판매 업자들이 먹고 살 수 있으니까요.

위 문제의 경우 만약 한 명의 기대값이 x라면 상대방의 기대값은 -x가 되어야 합니다. 돈이 어디서 들어오고 나가는 일은 없고 두 사람이 서로 주고받는 경우만 있는 제로썸 게임이니까요. 그런데 두 사람의 상황이 완전히 대칭적이기 때문에 -x = x 이므로 기대값은 계산해 보지 않아도 당연히 0이 되어야 합니다.
---------------------------------------------------------------------------

이 글에 거의 90프로 동의를 하는데.....
한 10프로의 추가및 반론의 의견이 있습니다.

일단 기대값이 1/2a라는 것은 여전히 주장하는 바이구요....

두 사람이 평균적으로 가지고 다니는 액수와 그 변동되는 정도가 정확히 일치를 보인다고 가정한다고 할때.... alee 님의 의견에 100프로 동의를 합니다. 기대값이 0이되어버리거든요.... (a가 0이 되어버립니다.)

하지만 문제의 어디에서도 두사람이 소지하고 다니는 평균액수가 같다는 말도 분산의 정도가 같다는 말도 없습니다.

그리고 제로섬 게임이라서 기대값이 0이된다고 하셨는데...
뭔가 착각을 하신듯...
모든 사람(게임하는사람, 진행하는 사람 모두다)의 기대값의 합이 0이되는것이지 한 사람의 기대값이 0이되는 것은 맞지 않습니다.
앞서서 말한것처럼 A,B두사람이 게임을 하였다면 두 사람의 기대값의 합은 0이됩니다.

확율변수를 배우셨다면, 그리고 그 과목을 열심히 수강하셨다면 제 의견에 동조해주시는 분이 있으리라 확신합니다. 답답하네요...

버그소년의 이미지

흠... 우선..

기대값은 0은 아닙니다.

기대값이 0 인경우를 만들려면..

둘이서 모두 같은 금액 100원을 걸어서 확률 1/2 인제비뽑기를 하여

당첨된 사람이 가져간다면

100/ 2 - 100/2 = 0

으로 기대값은 0이 되나, 이 문제에서는 확률은 1/2이나 배팅 금액이 서로

다르므로 0은 아닙니다.

해서... 생각한것이.. 이문제에서는 둘의 금액이 같은 경우는 제시하지 않았는데..

만약 같다면 비긴걸로 한다는 조건이 들어간다면.. 기대값은 a/3이될듯..

같은 경우가 없다면 위에서 쓴것과같이 a/2일듯 한데...

쩝... 답이 궁금하군요..

가끔은 밥을 굶어도 살 수 있다.

morethan의 이미지

bejoy4him wrote:
아.. 이제 일해야하는데... ㅡㅡ;;

한마디만 더하고 끝을 맺으렵니다.
누가 무슨글 쓰더라도 이제 그만 쓸겁니다.
^^;;;

alee님의 글에 약간의 아주 약간의 문제제기를 하려합니다.

--------------------------------------------------------------------------
기대값이란 어떤 시행을 무한히 반복했을 때 얻게 되는 결과의 평균치가 접근해 가는 값입니다. 일반적인 복권의 경우 구입 비용을 고려하면 기대값은 다 - 입니다. 그래야 복권 판매 업자들이 먹고 살 수 있으니까요.

위 문제의 경우 만약 한 명의 기대값이 x라면 상대방의 기대값은 -x가 되어야 합니다. 돈이 어디서 들어오고 나가는 일은 없고 두 사람이 서로 주고받는 경우만 있는 제로썸 게임이니까요. 그런데 두 사람의 상황이 완전히 대칭적이기 때문에 -x = x 이므로 기대값은 계산해 보지 않아도 당연히 0이 되어야 합니다.
---------------------------------------------------------------------------

이 글에 거의 90프로 동의를 하는데.....
한 10프로의 추가및 반론의 의견이 있습니다.

일단 기대값이 1/2a라는 것은 여전히 주장하는 바이구요....

두 사람이 평균적으로 가지고 다니는 액수와 그 변동되는 정도가 정확히 일치를 보인다고 가정한다고 할때.... alee 님의 의견에 100프로 동의를 합니다. 기대값이 0이되어버리거든요.... (a가 0이 되어버립니다.)

하지만 문제의 어디에서도 두사람이 소지하고 다니는 평균액수가 같다는 말도 분산의 정도가 같다는 말도 없습니다.

그리고 제로섬 게임이라서 기대값이 0이된다고 하셨는데...
뭔가 착각을 하신듯...
모든 사람(게임하는사람, 진행하는 사람 모두다)의 기대값의 합이 0이되는것이지 한 사람의 기대값이 0이되는 것은 맞지 않습니다.
앞서서 말한것처럼 A,B두사람이 게임을 하였다면 두 사람의 기대값의 합은 0이됩니다.

확율변수를 배우셨다면, 그리고 그 과목을 열심히 수강하셨다면 제 의견에 동조해주시는 분이 있으리라 확신합니다. 답답하네요...

이 문제의 경우, 분산은 아무 상관이 없고 문제에서 둘이 서로 이기고 질 확률이 같다고 implicit하게 가정한 것으로 알고 있습니다.

morethan의 이미지

버그소년 wrote:
흠... 우선..

기대값은 0은 아닙니다.

기대값이 0 인경우를 만들려면..

둘이서 모두 같은 금액 100원을 걸어서 확률 1/2 인제비뽑기를 하여

당첨된 사람이 가져간다면

100/ 2 - 100/2 = 0

으로 기대값은 0이 되나, 이 문제에서는 확률은 1/2이나 배팅 금액이 서로

다르므로 0은 아닙니다.

배팅 금액이 서로 다르다고 기대값이 0이 안 되는 것은 아니지요.
위에 풀어 놓은 제 풀이를 한번 살펴봐주시기를 부탁드립니다.

alee의 이미지

bejoy4him wrote:
아.. 이제 일해야하는데... ㅡㅡ;;

이 글에 거의 90프로 동의를 하는데.....
한 10프로의 추가및 반론의 의견이 있습니다.

일단 기대값이 1/2a라는 것은 여전히 주장하는 바이구요....

두 사람이 평균적으로 가지고 다니는 액수와 그 변동되는 정도가 정확히 일치를 보인다고 가정한다고 할때.... alee 님의 의견에 100프로 동의를 합니다. 기대값이 0이되어버리거든요.... (a가 0이 되어버립니다.)

하지만 문제의 어디에서도 두사람이 소지하고 다니는 평균액수가 같다는 말도 분산의 정도가 같다는 말도 없습니다.

그리고 제로섬 게임이라서 기대값이 0이된다고 하셨는데...
뭔가 착각을 하신듯...
모든 사람(게임하는사람, 진행하는 사람 모두다)의 기대값의 합이 0이되는것이지 한 사람의 기대값이 0이되는 것은 맞지 않습니다.
앞서서 말한것처럼 A,B두사람이 게임을 하였다면 두 사람의 기대값의 합은 0이됩니다.

확율변수를 배우셨다면, 그리고 그 과목을 열심히 수강하셨다면 제 의견에 동조해주시는 분이 있으리라 확신합니다. 답답하네요...

옳은 지적이십니다. :)
만약 A가 평균적으로 가지고 다니는 액수가 B가 평균적으로 가지고 다니는 액수보다 클 경우 A의 기대값은 -가 되고, B의 기대값은 +가 됩니다.

그렇지만, 문제에서 평균적으로 가지고 다니는 액수에 대한 정보는 전혀 주어지지 않았기 때문에, 두 사람의 상황이 완전히 동일하다는 것이 가정 되어 있다고 봐야 합니다.

또, 위에서 제가 말한 것은 단지 제로섬 게임이기 때문에 기대값이 0이 된다는 것이 아니라, 제로섬 게임이기 때문에 한 사람의 기대값이 x라면 다른 한 사람의 기대값은 -x여야 한다는 것입니다. 일단, 제로섬 게임이라는 사실로 알 수 있는 것은 여기까지입니다.

만약 A의 기대값을 계산하여 x라는 값을 얻었다면, B의 기대값은 -x가 됩니다. 그런데 두 사람의 상황이 완전히 대칭적이기 때문에, A의 기대값을 계산한 것과 동일한 방법으로 B의 기대값을 계산하면 x가 됩니다. 즉, B의 기대값은 x이면서 동시에 -x가 됩니다. 따라서 B의 기대값은 x = -x = 0 이 되어야 합니다. 마찬가지로, A의 기대값도 0 이 되어야 합니다.

물론, 평균적으로 A는 x, B는 x+a (a>0)를 가지고 다닐 경우, A의 기대값은 +, B의 기대값은 -가 되겠죠.

bejoy4him의 이미지

^^;;;
진짜로 그만쓴다고 했었는데.....

기대값을 구하는 것은 자신이 투자할 비용과 비교하기 위해서 하는것인데...
기대값을 구할때 부터 투자비용을 빼는 것은 어불성설이다...

이말씀인데...

뭐.. 그렇게 보시면 복권투자하실때 마음도 편하고 좋을것 같습니다.
항상 +쟎아요? ^^

하지만 앞서서 제출하신 문제의 경우는 확실한 제로섬 게임이고 두 사람의 기대값의 합은 정확히 0입니다.
하지만 한 사람의 기대값은 1/2a이고 다른 한 사람은 -1/2a입니다.

우아아.. 잠시 머리식히러 들어왔다가 불만나고 나가네요.....
일반적인 개념을 가지고 설명하시지 마시고 정확한 수학적 근거를 가지고 설명하시면 제가 잘 수긍하겠습니다...

-------------------------------------------------------------------
^^
글을 수정하면서 마음을 가라않히고 조용히 잘 생각해 보았는데...
아래쪽에서 제 의견을 수정하신 alee님의 의견에 100프로 동조하구요...
더 이상 달을 글도 없습니당...

morethan의 이미지

여담입니다만,

두 사람이 정직하지 않은 사람들이라고 가정할 수도 있습니다. 이런 경우에는 두 사람이 자신이 가지고 있는 액수를 솔직하게 말하지 않을 수도 있겠죠.
(서로의 몸을 치사하게 수색하지 않는 한 말입니다. :-) )

이 경우, 각자의 최선의 전략은 돈을 한푼도 가지고 있지 않다고 말하는 경우입니다(필승의 전략이군요).

따라서 게임 이론 관점에서 보면, 항상 무승부가 발생하는 게임이라고 이야기할 수 있습니다. 0원대 0원으로 말입니다(아주 지루한 게임이 될 것입니다).

(가령 '상대가 1000원 이하일 경우에 한해서, 자신이 2만원 이상을 가지고 있으면 승리한다'든가 같은 특별한 규칙이 있으면 게임이 재미있어지겠군요. :-))

morethan의 이미지

bejoy4him wrote:
^^;;;
진짜로 그만쓴다고 했었는데.....

기대값을 구하는 것은 자신이 투자할 비용과 비교하기 위해서 하는것인데...
기대값을 구할때 부터 투자비용을 빼는 것은 어불성설이다...

이말씀인데...

뭐.. 그렇게 보시면 복권투자하실때 마음도 편하고 좋을것 같습니다.
항상 +쟎아요? ^^

하지만 앞서서 제출하신 문제의 경우는 확실한 제로섬 게임이고 두 사람의 기대값의 합은 정확히 0입니다.
하지만 한 사람의 기대값은 1/2a이고 다른 한 사람은 -1/2a입니다.

우아아.. 잠시 머리식히러 들어왔다가 불만나고 나가네요.....
일반적인 개념을 가지고 설명하시지 마시고 정확한 수학적 근거를 가지고 설명하시면 제가 잘 수긍하겠습니다...

그럼 이만... 아~~ 이제는 절때로 더 쓰지 말아야지....... ㅠ.ㅠ

중간의 제 풀이를 한번만 읽어 주십시오. ㅠㅜ

alee의 이미지

ㅡ,.ㅡ;; wrote:
bejoy4him wrote:
복권의 기대값은 항상 -입니당.. ^^;;;

복권파는 기관에서는 땅파먹고 사나요???

보통 복권의 기대값을 계산할때

(당첨확율*당첨금액(1등) +당첨확율*당첨금액(2등) + ...) = 기대값...

식으로 계산하는데... 이것은 엄밀히 말해서 수학적 개념의 기대값이 아닙니당...
위에서 말한 기대값에서 자신이 복권 살때 들인 액수를 빼야합니다.

위처럼 계산하는 것은 상술에 지나지 않습니다.


천만에요.. 님이 기대값을 잘못알고 계신겁니다. 기대값은 자신이 투자할돈과 비교하는것입니다.

여기에 글을 올리신 다른 분들은 대부분 ㅡ,.ㅡ;;님과 다르게 생각하고 계신 것 같습니다. 물론, 때로는 자신이 얻을 금액만을 가지고 기대값을 계산합니다. 그렇지만, 자신이 투자하는 금액을 -로 해서 기대값을 계산하는 경우도 종종 있습니다. ㅡ,.ㅡ;;님께서 이렇게 하여 계산된 값을 “기대값” 이라고 부르고 싶지 않으시다면, “확장된 기대값” 이라고 부르셔도 됩니다. 뭐라고 부르던 그건 중요한 것이 아니니까요. 그렇지만 글을 올리신 대부분의 분들이 “기대값” 이라고 적은 단어는 “확장된 기대값”을 의미하고 있으니 ㅡ,.ㅡ;;님도 그냥 그렇게 받아들이시면 될 것 같습니다. 별로 열을 올리실 일은 아닌 것 같습니다. :)

그런데 문제에서 의도하신 것을 제가 제대로 이해한 것인가요? 물론, 제 글에서의 “기대값” 역시 투자 금액까지 모두 평균을 낸 값을 의미합니다.
얼핏 두 사람 다 이득이 되는 게임인 것 같은데, 상황이 대칭적이니 한 사람이 이득이라면 한 사람은 손해를 보아야 한다. 왜 틀렸는가? 를 물으신 것 같은데요?

fibonacci의 이미지

ㅡ,.ㅡ;; wrote:

그렇다면 둘다 이익을보게 된다는건데.. 어찌된걸까요..

일단 문제를 다시 풀어 써 봅시다.

Quote:
돈은 김모군과 이모양 두 사람 안에서 돌고 도는 것이고,
분명 게임을 하고 나면 누가 알거지가 되던 간에 돈의 총합은 같아야 한다.

그런데, 얼핏 생각하기에 김모군과 이모양 모두 어차피 잃거나 딸 확률은 똑 같은 것 같고 내기 후에 자신이 잃는 것보다 얻는 것이 더 많은 것 처럼 보이니까 둘다 이득보는 것 같은데, 분명 위의 문장에 모순이다.

무엇이 문제인가?

일단 사건이 일어날 즈음해서 김모군과 이모양이 가진 돈은 이미 정해져 있습니다.
예를 들어 김모군이 100원, 이모양이 200원 가지고 있다 해 봅시다.
서로가 가진 돈을 모르기 때문에 마치
"누구의 돈이 누구의 돈보다 많거나 적을 확률"
같은 것이 있을 것 같지만
벌써 김모군이 이모양보다 돈을 적게 가지고 있고
김모군이 이길 확률 100%인 것입니다.
내기를 한다고 해서 김모군이나 이모양이 가진돈이 늘어나거나 줄어드는 것이 아닙니다.
따라서, "어차피 잃거나 딸 확률은 반반인데"라는 말이 모순이 되겠습니다.

No Pain, No Gain.

alee의 이미지

bejoy4him wrote:
아 그리고 기대값 계산을 계속 잘못하시는데요..
기대값 계산은 무조건 자신의 입장에서 계산하는 것입니다.

그러니까 계산을 하자면....
자신이 이길 확율 * 이겼을때 얻을값 + 자신이 질 확율*자신이 졌을떼 잃을값 = 기대값..

식으로 표현해보자면
자신이 x이고 a가 양수라고 가정하면

1/2*(x+a) +1/2*(-x) = 1/2a

자신이 x+a라면
1/2*(x) + 1/2*(-(x+a)) = -1/2a

이 되는 것입니다.

이런 의도로 적으신 것 같지는 않지만 얼핏 보기에,

자신이 x일 경우 기대값이 1/2 a
자신이 x+a일 경우 기대값이 -1/2 a

라고 말씀하시는 것으로 보입니다.
기대값이라는 것은 자신이 x인지, x+a인지 모르는 경우에 계산하는 것이 아니던가요? 자신이 x인지, x+a인지 알고 있다면 결과를 바로 알 수 있으니 기대값을 계산할 필요도 없을텐데요? 의도하신 말씀이 무엇인지 정확히 이해가 되지 않습니다.

bejoy4him의 이미지

드뎌 인용의 기능을 써봤네요.. ^^;; 한참전에 써봐서......

Quote:
자신이 x일 경우 기대값이 1/2 a
자신이 x+a일 경우 기대값이 -1/2 a

라고 말씀하시는 것으로 보입니다.
기대값이라는 것은 자신이 x인지, x+a인지 모르는 경우에 계산하는 것이 아니던가요?

네.. 맞습니다. 제가 좀 했갈리게 써놨나 봅니다.
위에서 제가 말한것은 A,B 두사람의 경우를 각각 한사람이 1/2a이면 다른 사람은 -1/2a다라는 의미에서 써놓은것입니다.

그리고 제가 처음 글을 쓰기 시작했을때 a가 양수 인지 음수인지 전제하지 않고 써 놓았으니... A라는 사람이 x가 되던 x+a가 되던 상관이 없다는 의도에서도 제가 저런 식으로 써 놓았던것 같습니다.
햇갈리게 해드렸다면 죄송합니다.

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

fibonacci wrote:
ㅡ,.ㅡ;; wrote:

그렇다면 둘다 이익을보게 된다는건데.. 어찌된걸까요..

일단 문제를 다시 풀어 써 봅시다.

Quote:
돈은 김모군과 이모양 두 사람 안에서 돌고 도는 것이고,
분명 게임을 하고 나면 누가 알거지가 되던 간에 돈의 총합은 같아야 한다.

그런데, 얼핏 생각하기에 김모군과 이모양 모두 어차피 잃거나 딸 확률은 똑 같은 것 같고 내기 후에 자신이 잃는 것보다 얻는 것이 더 많은 것 처럼 보이니까 둘다 이득보는 것 같은데, 분명 위의 문장에 모순이다.

무엇이 문제인가?

일단 사건이 일어날 즈음해서 김모군과 이모양이 가진 돈은 이미 정해져 있습니다.
예를 들어 김모군이 100원, 이모양이 200원 가지고 있다 해 봅시다.
서로가 가진 돈을 모르기 때문에 마치
"누구의 돈이 누구의 돈보다 많거나 적을 확률"
같은 것이 있을 것 같지만
벌써 김모군이 이모양보다 돈을 적게 가지고 있고
김모군이 이길 확률 100%인 것입니다.
내기를 한다고 해서 김모군이나 이모양이 가진돈이 늘어나거나 줄어드는 것이 아닙니다.
따라서, "어차피 잃거나 딸 확률은 반반인데"라는 말이 모순이 되겠습니다.

사건이 일어날즈음 해서 ... 정해져 있다고 해도 관계 없겠죠..
왜냐면.. 김모군과 이모양 당사자 입장에서는 그걸알수 없으니까요..

예를 들어볼까요.. 로또복권을 내일 정확히 12시에 자동으로 추첨하게 되어 있다고 합시다. 그렇다고해서 오늘 사람들이 로또 확률을 계산하는것이 무의미 할까요? 그리고 xxxxx 번호가 확률이 얼마다라고 하는것이 모순일까요?

로또 기계에서 뽑혀나올공은 이미 결정되어 있다고 봐도 상관없겠죠..
왜냐면 매우 정밀한기계로 로또에 똑같은 상황을 만들어준다면 똑같은 번호가 나올것이겠죠? 그렇다면 로또의 번호는 이미 결정되어 있다고 봐야겠죠?
번호가 무엇인지 우리가 알수는 없어도..
--------------------그냥덧말.--------
이말에 누가 반론을 제기하여 실제 미시세계로들어가보면 전자분포의 확률적분포로 존재하며 로또추첨의 정확한 재구현이 불가능하다고 한다면..ㅡ,.ㅡ;;
로또 추첨기계를 아주 단순한 기계 (즉, 돌아가는 숫자판에 활로쏘는..- 거의 발사시간과 숫자판의 회전속도에만 영향받는)라고 가정해버리죠..


----------------------------------------------------------------------------

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

bejoy4him wrote:
아 그리고 기대값 계산을 계속 잘못하시는데요..
기대값 계산은 무조건 자신의 입장에서 계산하는 것입니다.

그러니까 계산을 하자면....
자신이 이길 확율 * 이겼을때 얻을값 + 자신이 질 확율*자신이 졌을떼 잃을값 = 기대값..

식으로 표현해보자면
자신이 x이고 a가 양수라고 가정하면

1/2*(x+a) +1/2*(-x) = 1/2a

자신이 x+a라면
1/2*(x) + 1/2*(-(x+a)) = -1/2a

이 되는 것입니다.

여기서 중대한 실수를 하고 계시군요..기대값이라는 개념에 대해서는 일단접어두고

Quote:

자신이 x+a라면
1/2*(x) + 1/2*(-(x+a)) = -1/2a

에서 자신이 x+a 인데 어떻게 "자신이 이길 확율 * 이겼을때 얻을값" 이
1/2*(x)이되죠? 이길때는 자기가 가진금액보다 많이 받을것이기때문에
1/2*(x+a +알파) 혹은 1/2*(x+a) +알파 가되겠죠..
즉, 위의식은 이미 논리에서 어긋나고 있는거죠..


----------------------------------------------------------------------------

ed.netdiver의 이미지

두사람이 가지고 있는 돈을 각각 a, b라고 합니다.
상금이 a+b가 됩니다.
A가 이길 확률과 질 확률은 각각 1/2입니다.
A의 기대값 = (1/2)*(a+b) + (1/2)*0
B의 기대값 = (1/2)*(b+a) + (1/2)*0
전체 기대값 = a+b

Quote:
이내기에서 내가 이길확률은 반이며 이기면 현재돈보다 많이 벌것이고 지면 지금돈만 잃으면되니 이내기는 나한테 유리한것이된다..

그렇다면 둘다 이익을보게 된다는건데.. 어찌된걸까요..


이부분이 이상한데요, 그 내기가 어째서 자기한테 유리한 것이 된다는거죠?
상금 액수조차도 모르는데 말이죠.
그리고 "둘다 이익을 보게 된다는 건데.."라는 문장은 서로가 유리하다고
생각하는 형국을 이야기한건가요?
이긴쪽이 데이트비 내면 되니까 그런건가.ㅡ.ㅡ;
난 바본가바...ㅠ.ㅠ;

--------------------------------------------------------------------------------
\(´∇`)ノ \(´∇`)ノ \(´∇`)ノ \(´∇`)ノ
def ed():neTdiVeR in range(thEeArTh)

fibonacci의 이미지

ㅡ,.ㅡ;; wrote:

사건이 일어날즈음 해서 ... 정해져 있다고 해도 관계 없겠죠..
왜냐면.. 김모군과 이모양 당사자 입장에서는 그걸알수 없으니까요..

예를 들어볼까요.. 로또복권을 내일 정확히 12시에 자동으로 추첨하게 되어 있다고 합시다. 그렇다고해서 오늘 사람들이 로또 확률을 계산하는것이 무의미 할까요? 그리고 xxxxx 번호가 확률이 얼마다라고 하는것이 모순일까요?

로또 기계에서 뽑혀나올공은 이미 결정되어 있다고 봐도 상관없겠죠..
왜냐면 매우 정밀한기계로 로또에 똑같은 상황을 만들어준다면 똑같은 번호가 나올것이겠죠? 그렇다면 로또의 번호는 이미 결정되어 있다고 봐야겠죠?
번호가 무엇인지 우리가 알수는 없어도..
--------------------그냥덧말.--------
이말에 누가 반론을 제기하여 실제 미시세계로들어가보면 전자분포의 확률적분포로 존재하며 로또추첨의 정확한 재구현이 불가능하다고 한다면..ㅡ,.ㅡ;;
로또 추첨기계를 아주 단순한 기계 (즉, 돌아가는 숫자판에 활로쏘는..- 거의 발사시간과 숫자판의 회전속도에만 영향받는)라고 가정해버리죠..

확률이란 것은 당사자들이 알수 있거나 없거나 하는 것은 관련이 없습니다.

로또의 번호가 1 2 3 4 5 6 밖에 없다면, 내가 로또의 규칙을 알거나 모르거나 당첨될수밖에 없습니다. 매번 당첨되고도 "나는 무척 운이 좋은 사람이야"라고 생각할 것입니다.

확률이란 것은 주어진 사건의 확률공간이 어떻게 구성되느냐에 달린 문제입니다.

로또란것이 대략 1/800만 정도의 확률이라고 하던가요?

로또 기계가 뱉어내는 번호가 이미 정해진 미지의 어떤 것이라 해도
"내가 로또용지에 쓰는 사건"이 있습니다.
즉 확률공간은 내가 로또용지에 기입할수 있는 대략 800만가지 사건으로 구성되는 것입니다.
(이미 기입한 후라면, 확률공간은 로또기계가 뱉어내는 800만가지 정도의 사건이으로 구성될 것입니다.)

그렇지만 김모군과 이모양이 내기는 내기를 시작하는 상황에서,
"내기 직전에 각자가 자신의 돈을 조절할수 있다"
정도의 요소가 첨가되지 않는 한
이 내기의 승부는 이미 정해져 있습니다.
확률공간 내의 사건이 하나밖에 없기 때문입니다.

즉 이 문제가 의미가 있으려면, 김모군과 이모양이 주어진 데이트 현장에서 가지고 다닐수 있는 돈의 순서쌍
{(A,B)}
로 이루어진 사건들의 집합이 필요한 것입니다.
몇몇 순서쌍이 평균치에 근접하는 것이라면 가중치를 주어서 확률공간을 구성해도 상관없습니다.

중요한 것은 "어차피 확률은 반반인데"란 것의 애매모호함입니다.

No Pain, No Gain.

bejoy4him의 이미지

Quote:
여기서 중대한 실수를 하고 계시군요..기대값이라는 개념에 대해서는 일단접어두고

인용:

자신이 x+a라면
1/2*(x) + 1/2*(-(x+a)) = -1/2a

에서 자신이 x+a 인데 어떻게 "자신이 이길 확율 * 이겼을때 얻을값" 이
1/2*(x)이되죠? 이길때는 자기가 가진금액보다 많이 받을것이기때문에
1/2*(x+a +알파) 혹은 1/2*(x+a) +알파 가되겠죠..
즉, 위의식은 이미 논리에서 어긋나고 있는거죠..

^^;;;
만약 이긴다면 상대방의 값을 받는 것이기 때문에 상대방의 값을 적어두었습니다
x+a를 가진 사람이 이긴다는 조건은 a가 음수라는 조건일때 그렇다는 것입니다. 따라서 상대방 x가 더 많은 돈이 될것이고 그것을 받는 다는 소리가되겠죠?

그리고 앞서 말한 것

Quote:
자신이 x+a라면
1/2*(x) + 1/2*(-(x+a)) = -1/2a

은 a가 양수라고 전제를 달아두었음으로 위의 식은 다음과 같은 상황을 표현한것이었습니다.

자신이이길확율(1/2)*자신이얻을수있는값(x) + 자신이질확율(1/2)*자신이잃을값(x+a)

그런데 좀 이상하게 보이지 않나요? 전 좀 이상하게 보이는데....
a가 음수라고 했다가 양수라는 전제 조건을 달다니.... 진짜 뭔가 이상합니다. ^^;;
머리가 잘 안돌아가네요.... ㅡ.ㅜ

아무튼....

기대값을 두가지로 적어놓았는데... 그것은 제로섬게임이므로 다 더하면 0가 된다는 것을 보여주기 위한것이고...

실상은 A이던지 B던지.... 기대값은
1/2*(x+a) + 1/2(-x) = 기대값, 이때 a는 음수를 포함한 랜덤변수....

뭐 앞서서 alee님이 말씀하셨듯.. 평균적으로 무한히 많은 사람들을 대상으로 조사해보면 a는 0에 근접할것이고 기대값은 0이 될것이라 생각합니다.

제가 설명해드릴수 있는 최대한 설명드렸다고 생각하구요...
저도 시인했듯이 제가 한 설명중에도 모순된 부분이 있으니... 틀렸다면... ^^
조용히 받아들이겠습니다.

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

neTdiVeR1102 wrote:
두사람이 가지고 있는 돈을 각각 a, b라고 합니다.
상금이 a+b가 됩니다.
A가 이길 확률과 질 확률은 각각 1/2입니다.
A의 기대값 = (1/2)*(a+b) + (1/2)*0
B의 기대값 = (1/2)*(b+a) + (1/2)*0
전체 기대값 = a+b

Quote:
이내기에서 내가 이길확률은 반이며 이기면 현재돈보다 많이 벌것이고 지면 지금돈만 잃으면되니 이내기는 나한테 유리한것이된다..

그렇다면 둘다 이익을보게 된다는건데.. 어찌된걸까요..


이부분이 이상한데요, 그 내기가 어째서 자기한테 유리한 것이 된다는거죠?
상금 액수조차도 모르는데 말이죠.
그리고 "둘다 이익을 보게 된다는 건데.."라는 문장은 서로가 유리하다고
생각하는 형국을 이야기한건가요?
이긴쪽이 데이트비 내면 되니까 그런건가.ㅡ.ㅡ;
난 바본가바...ㅠ.ㅠ;

어째서 유리한가는 로또 복권의 당첨금이 많을수록 유리한거나 마찬가지 이유겠죠..
님이 식은 약간 무의미한식이라 보아집니다.


----------------------------------------------------------------------------

angpoo의 이미지

이기거나 지는 경우만 있는 경우라면
이길확률 * 얻을 수 있는 총액이 기대값이 됩니다.

기대값이 내기나 게임을 하는데 드는 돈보다 적으면 손해보는 게임이고 더 많다는 돈버는 게임이죠.

천원짜리 복권의 기대값을 계산하면 대충 500원이 됩니다.
여기서 중요한것은 기대값/비용 즉 환급률이죠.
일반적으로 복권은 환급률이 50%로 맞춰져 있습니다.
경마는 아마 70%정도일겁니다.
그러니까 이왕 돈을 걸거면 복권을 사는거보다는 경마에 돈을 거는게 나은거죠.

성공이냐 실패냐 확률은 반반이다 이런 표현을 종종 보는데 이것은 일어날 수 있는 사건은 성공,실패 둘이지만 확률은 따져 봐야 하는 상황이죠.

철수가 생각하기를 이길 확률이 반반이라고 했지만 실제로는 반반이 아니다 이런경우는 모순이 아니라 오류라고 합니다.

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

fibonacci wrote:
로또 기계가 뱉어내는 번호가 이미 정해진 미지의 어떤 것이라 해도
"내가 로또용지에 쓰는 사건"이 있습니다.

자기가 로또용지에쓰는 사건은 확률의 결과 "경우의 수"에 포함되지 않습니다.

Quote:

즉 확률공간은 내가 로또용지에 기입할수 있는 대략 800만가지 사건으로 구성되는 것입니다.
(이미 기입한 후라면, 확률공간은 로또기계가 뱉어내는 800만가지 정도의 사건이으로 구성될 것입니다.)

그렇지만 김모군과 이모양이 내기는 내기를 시작하는 상황에서,
"내기 직전에 각자가 자신의 돈을 조절할수 있다"
정도의 요소가 첨가되지 않는 한
이 내기의 승부는 이미 정해져 있습니다.
확률공간 내의 사건이 하나밖에 없기 때문입니다.

즉 이 문제가 의미가 있으려면, 김모군과 이모양이 주어진 데이트 현장에서 가지고 다닐수 있는 돈의 순서쌍
{(A,B)}
로 이루어진 사건들의 집합이 필요한 것입니다.
몇몇 순서쌍이 평균치에 근접하는 것이라면 가중치를 주어서 확률공간을 구성해도 상관없습니다.

중요한 것은 "어차피 확률은 반반인데"란 것의 애매모호함입니다.

주사위를 하늘에 던진후 어떤사람은 표가 다팔리고 6번한장만 남은 주사위놀이에서 이사람의 당첨확률을 얘기할수 없다는건가요?

저는 그사람의 당첨확률은 1/6 이라고 거의 장담합니다. 그리고 실전테스트에서도 거의 정확한결과를 얻을수 있으리라 장담하는데요..


----------------------------------------------------------------------------

ed.netdiver의 이미지

아 어렵네요.^^;
그래서 답이 어떻게 되는건가요?
이미 나왔는데 제가 이해를 못한사이에 지나간건지도...ㅡ.ㅡ;
알려주고 퇴근해주세요.ㅠ.ㅠ;

--------------------------------------------------------------------------------
\(´∇`)ノ \(´∇`)ノ \(´∇`)ノ \(´∇`)ノ
def ed():neTdiVeR in range(thEeArTh)

fibonacci의 이미지

ㅡ,.ㅡ;; wrote:
fibonacci wrote:
로또 기계가 뱉어내는 번호가 이미 정해진 미지의 어떤 것이라 해도
"내가 로또용지에 쓰는 사건"이 있습니다.

자기가 로또용지에쓰는 사건은 확률의 결과 "경우의 수"에 포함되지 않습니다.

Quote:

즉 확률공간은 내가 로또용지에 기입할수 있는 대략 800만가지 사건으로 구성되는 것입니다.
(이미 기입한 후라면, 확률공간은 로또기계가 뱉어내는 800만가지 정도의 사건이으로 구성될 것입니다.)

그렇지만 김모군과 이모양이 내기는 내기를 시작하는 상황에서,
"내기 직전에 각자가 자신의 돈을 조절할수 있다"
정도의 요소가 첨가되지 않는 한
이 내기의 승부는 이미 정해져 있습니다.
확률공간 내의 사건이 하나밖에 없기 때문입니다.

즉 이 문제가 의미가 있으려면, 김모군과 이모양이 주어진 데이트 현장에서 가지고 다닐수 있는 돈의 순서쌍
{(A,B)}
로 이루어진 사건들의 집합이 필요한 것입니다.
몇몇 순서쌍이 평균치에 근접하는 것이라면 가중치를 주어서 확률공간을 구성해도 상관없습니다.

중요한 것은 "어차피 확률은 반반인데"란 것의 애매모호함입니다.

주사위를 하늘에 던진후 어떤사람은 표가 다팔리고 6번한장만 남은 주사위놀이에서 이사람의 당첨확률을 얘기할수 없다는건가요?

저는 그사람의 당첨확률은 1/6 이라고 거의 장담합니다. 그리고 실전테스트에서도 거의 정확한결과를 얻을수 있으리라 장담하는데요..

로또 용지에 기입하는 것을 사건으로 만든 경우를 잘 읽어보세요. -,.-;;님이 "미지의 결과는 모르긴 하지만 정해져 있다"는 가정하에서 만든 것입니다. 즉 이것을 사건으로 생각하고 싶지 않다면 "미지의 결과는 모르긴 하지만 정해져 있다"는 것은 수학적 확률 모델링에서 쓸수 없는 명제이겠지요.

그리고 주사위는 무슨 일이 있어도 1/6이 되는데 왜 로또머신은 아주 잘 조작하면 이전과 똑같은 결과를 낼수 있다 가정하시는지요? 확률 모델링에서 랜덤한 결과를 내는 장치에 대한 신뢰성을 그정도로 생각하면 안됩니다. 실제세계와는 다르게 수학적 확률 모델링에서는 로또기계는 무슨 짓을 해도 랜덤한 결과를 내야 하는 것입니다. 그렇지 않다면 모델링의 의미가 없습니다.

No Pain, No Gain.

morethan의 이미지

angpoo wrote:
정말 많은 분들이 기대값을 잘못 알고 계시네요.
ㅡ,.ㅡ;;님 말이 맞습니다.

이기거나 지는 경우만 있는 경우라면
이길확률 * 얻을 수 있는 총액 이 되겠죠.

기대값이 내기나 게임을 하는데 드는 돈보다 적으면 손해보는 게임이고 더 많다는 돈버는 게임이죠.

천원짜리 복권의 기대값을 계산하면 대충 500원이 됩니다.
여기서 중요한것은 기대값/비용 즉 환급률이죠.
일반적으로 복권은 환급률이 50%로 맞춰져 있습니다.
경마는 아마 70%정도일겁니다.
그러니까 이왕 돈을 걸거면 복권을 사는거보다는 경마에 돈을 거는게 나은거죠.

성공이냐 실패냐 확률은 반반이다 이런 표현을 종종 보는데 이것은 일어날 수 있는 사건은 성공,실패 둘이지만 확률은 따져 봐야 하는 상황이죠.

철수가 생각하기를 이길 확률이 반반이라고 했지만 실제로는 반반이 아니다 이런경우는 모순이 아니라 오류라고 합니다.

제가 참조한 기대값의 정의가 나와 있는 웹 사이트입니다.
http://www.free-definition.com/Expected-value.html

한번 살펴봐주시기를 부탁드립니다.

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

fibonacci wrote:

로또 용지에 기입하는 것을 사건으로 만든 경우를 잘 읽어보세요. -,.-;;님이 "미지의 결과는 모르긴 하지만 정해져 있다"는 가정하에서 만든 것입니다. 즉 이것을 사건으로 생각하고 싶지 않다면 "미지의 결과는 모르긴 하지만 정해져 있다"는 것은 수학적 확률 모델링에서 쓸수 없는 명제이겠지요.


정해져있다는것은 가지고 있는돈을 꺼내기까지 변함이 없다는뜻이죠
하지만 그러한상황의 여러번시도에서 항상 같은결과가 나온다는뜻은아니죠
그러한시도를 반복한다면 자기가 이길확률은 1/2에 가까워질것입니다.

Quote:

그리고 주사위는 무슨 일이 있어도 1/6이 되는데 왜 로또머신은 아주 잘 조작하면 이전과 똑같은 결과를 낼수 있다 가정하시는지요? 확률 모델링에서 랜덤한 결과를 내는 장치에 대한 신뢰성을 그정도로 생각하면 안됩니다. 실제세계와는 다르게 수학적 확률 모델링에서는 로또기계는 무슨 짓을 해도 랜덤한 결과를 내야 하는 것입니다. 그렇지 않다면 모델링의 의미가 없습니다.


그리고 현제 결과를 보기직전에 어떠한상황이 이미 결정되어 있다해서 그러한시도들의 확률을 논하는자체가 무의미하진 않습니다.. 다음번결과는 현제와 다를수 있기때문이죠.
로또머신의조작은 어떤사건이 우리가 알수는 없지만 매우엄격히는 이미결정되어 있음을 말하는것입니다.물론 다음번상황은 매우세밀한차이로 다른결과가 나오겠죠.. 그러한상황을 확률로 말할수있다는걸 설명하기 위함입니다.


----------------------------------------------------------------------------

angpoo의 이미지

1. 내가 이기면 +100, 지면 -100, 확률은 1/2이면 기대값은 0입니다.
2. 백원을 내고 이기면 200원을 얻고 지면 0원을 얻는다면 기대값은 100원이죠.
정말 이렇게 단순한 게임이라면 1번이 직관적으로 보입니다.

그렇다면 이것은 어떻게 계산하시겠습니까?

등위  	당 첨 금  	발행장수  	총당첨금  	확률
1등 	500,000,000 	8 	4,000,000,000 	0.00004%
2등 	10,000,000 	50 	500,000,000 	0.00025%
3등 	10,000 	100,000 	1,000,000,000 	0.50000%
4등 	2,000 	200,000 	400,000,000 	1.00000%
5등 	1,000 	4,100,000 	4,100,000,000 	20.50000%
morethan의 이미지

angpoo wrote:
1. 내가 이기면 +100, 지면 -100, 확률은 1/2이면 기대값은 0입니다.
2. 백원을 내고 이기면 200원을 얻고 지면 0원을 얻는다면 기대값은 100원이죠.

무엇에 대한 기대값입니까? 랜덤 변수가 정의되지 않는다면, 기대값이란 정의될 수 없습니다.

2번의 경우, 랜덤 변수를 '내기에서 획득할 금액'이라고 놓는다면 기대값은 100원이 맞습니다만... 랜덤 변수를 '내기를 했을 때의 이득'이라고 놓는다면 기대값은 0원이 됩니다.

angpoo의 이미지

김모군의 입장이라면 내가 가진돈이 얼만지 이미 알고 있습니다.
하필 오늘따라 지갑은 텅비고 가진돈이라고는 주머니에 든 동전 몇백원일 수도 있고, 한달치 용돈을 한꺼번에 받은 날이라 꽤많은 돈일 수도 있습니다.
상대방이 가진 돈도 랜덤은 아니고 여러가지 추측이 가능합니다.
이런데도 확률은 반반이라고 생각할리가 없죠.

그런데 정말 문제가 되는 경우는 추측이 가능하지 않는 경우죠.

옆에서 보고 있던 재벌이 돈봉투를 하나씩 김모군과 이모양에게 주었습니다.
하나의 봉투에는 다른 봉투의 액수보다 정확히 두배가 들어있습니다.
자신의 봉투가 N짜리 봉투인지 2N짜리 봉투인지는 알 수 없습니다.
이제 두 봉투를 놓고 똑같은 내기를 제안받는다면 어떤 경우를 선택하시겠습니까?

fibonacci의 이미지

ㅡ,.ㅡ;; wrote:

로또머신의조작은 어떤사건이 우리가 알수는 없지만 매우엄격히는 이미결정되어 있음을 말하는것입니다.물론 다음번상황은 매우세밀한차이로 다른결과가 나오겠죠.. 그러한상황을 확률로 말할수있다는걸 설명하기 위함입니다.

"매우 엄격히는 결정되었다" 는 것은 사회학적이나 물리학적 즉 현실세계에서 매개변수로 쓰이는 세팅이 없다면 불가능합니다. "매우 엄격히는 어떻게 결정되었는가" 에 대한 세팅에 대한 변수를 수학적으로 모델링할수 없다면, 로또기계는 여전히 어떤 장난을 치던 랜덤한 결과를 내는 것으로 모델링할수밖에 없습니다. 그리고 "다음번 상황이 매우 세밀한 차이로 다른 결과가 나온다는 것"도 역시 로또기계의 물리적 상황을 수학적으로 모델링해야 되는 것일 뿐입니다. 이런 상황에서는 랜덤 변수와 현실 세계에서 정할수 있는 변수를 모두 가진 어떤 함수값을 논하는 것입니다. 단순 주사위게임과는 거리가 멀어지는 것이죠.

김모군과 이모양의 승패가 반반이 되려면, 김모군과 이모양이 돈을 가지고 다니는 패턴이 "김모군이 이모양보다 많이 가지고 다니는 경우가 반", "적게 가지고 다니는 경우가 반"이 되어야 합니다. 너무나 이상적인 경우가 되겠죠. 여기에 약간의 사회학적인 요소가 첨가되어 데이트때 남자가 돈을 더 쓴다는 명제를 더 넣는다면(예제일 뿐입니다. 사실과는 다름을 알려드립니다. ) 김모군의 승율이 눈에 띄게 내려가게 될 것입니다. 즉 승패가 반반이 된다는 것 자체가 극히 이상적인 가정이라는 것이죠.

이제 문제의 본질로 들어갑시다.
흔히들 알고 있는 기대값 문제와 이 문제와의 차이점을 파악을 해야 합니다.
로또를 하던, 주사위를 던지던 상금은 로또기계의 동작이나 주사위의 동작에는 전혀 영향을 기치지 않습니다.

그러나 이 문제를 살펴보면
승패를 결정하는 변수에 김모군과 이모양이 가진 돈이 필요합니다. 결론적으로 상금의 형태가 (김모군과 이모양이 가진 비율이) 승패를 결정하는 꼴입니다.

따라서 이 경우에는 승패 여부가 상금(김모군과 이모양이 가진돈에 의해 결정)에 의존하지 않는 기존의 기대값 공식에 적용하기에는 좀 어려울듯 싶습니다.

No Pain, No Gain.

futari의 이미지

ㅡ,.ㅡ;; wrote:
여기서 김모군과 이모양은 머리를 굴립니다. 이내기에서 내가 이길확률은 반이며 이기면 현재돈보다 많이 벌것이고 지면 지금돈만 잃으면되니 이내기는 나한테 유리한것이된다..

그렇다면 둘다 이익을보게 된다는건데.. 어찌된걸까요..

상대의 돈에 대한 정보가 전혀 없고 서로 어느정도의 돈을 가졌다고 생각할 때, 수학적으로 이길 확률이 절반이라고 생각할 수는 있겠지요.
(1/2이라고 가정했으니 그대로 가정합니다.)

하지만 이런 경우에도

ㅡ,.ㅡ;; wrote:
이기면 현재돈보다 많이 벌것이고 지면 지금돈만 잃으면되니 이내기는 나한테 유리한것이된다..

이건 틀렸죠.

물론 이기면 많이 벌고, 지면 지금 돈만 잃으면 되지만, (말이야 맞지만)

"벌써 져버린" 상황에서 상대보다 적게 걸었었다고 해서 이득이 되는건 아닙니다. 손해가 적은것도 아니죠, 손해는 자신에게만 발생했으니까요. 발생하지 않은 상대의 손해에 비교하면 안됩니다.

상금과 투자금이 관련 있기 때문이지요.

어차피 "이기고 질 확률"에 의해서 졌고, 잃고 나면 0원 상태가 됩니다.

많이 건 사람이 지는 게임에서도 똑같죠 -_-;

중학교 3학년 수준에서,

"모든 경우의 당첨 확률이 같고, 기금의 반환률이 100%" 인 경우에는

결국 누구도 기대치에선 이득이나 손해를 보지 않게 됩니다.

물론 이건 한 사람이 하나의 경우를 고르고, 한번 선택의 댓가로 같은 돈을 지불했을 경우지요.
(지금은 하나의 경우를 고르고, 서로 다른 돈을 지불하는 경우)

하지만 한명이 'X - a' 다른 한명이 'X + a' 를 지불한다고 했을때, (어떤 0이나 양의 값 a)

{내가 'X - a'} 일 확률이 1/2이면,

결국 '내기 하겠다' 라고 결심할때, X를 지불하는 것과 같아집니다.

다시 정리해보면,

이기고 지는 경우가 1/2로 갈린다고 했을 때,

기금의 반환률이 100%이므로

이 경우에 내기는 "100원 내고 100원 먹기" 가 되는거죠.

혹시 헷갈리는 분이 계실까봐 더 줄여 보자면,

누가 더 많은 돈을 가졌는지는 "모르므로" 의미가 없고, (그래서 1/2로 하기로.)

따라서, 그냥 돈을 다 모아놓고,

1/2의 확률로 이긴 사람이 다 가져가는 겁니다.

게임이 끝난 후에 진 사람이 조금 덜 억울하게 느끼겠지만

이게 확률의 구라죠 -_-; 사람들이 복권을 사는 이유이기도 하구요.

맨날 로또 당첨금이 100억이었다가 1000억으로 늘었을때,

"2천원으로 1000억 기회에 도전했는데, 꽝 나와도 이번엔 좀 덜 억울하지" 같은거죠 ; 심리적인 것 이상도 이하도 아닙니다.

즉, 이기고 진 후에 다시 '누가 돈이 많았나' 를 논할 필요가 없다는거죠.

ps. 뭔가 시비 걸릴까봐 달아두는겁니다만,

돈.. 이라는 것이 single boundary를 가졌고 infinite이기 때문에,

boundary에 가까울 수록 이길 확률이 늘어난다고 생각할 수 있지만

사실 무한대의 돈이란건 없고, 또 상대방의 상한 boundary 같은것도 모르므로, 고려할 여지가 없습니다.

그저 기분에 따라 걸어야죠. 상대와 나의 관계일 뿐이니 1/2이라고 가정한 것을 그냥 두는 수 밖에 없겠네요. 물론 이상적인 가정이긴 하지만요.

-------------------------
The universe is run by the complex interweaving of three elements: matter, energy, and enlightened self-interest.
- G'kar, Babylon 5

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

fibonacci wrote:

"매우 엄격히는 결정되었다" 는 것은 사회학적이나 물리학적 즉 현실세계에서 매개변수로 쓰이는 세팅이 없다면 불가능합니다. "매우 엄격히는 어떻게 결정되었는가" 에 대한 세팅에 대한 변수를 수학적으로 모델링할수 없다면, 로또기계는 여전히 어떤 장난을 치던 랜덤한 결과를 내는 것으로 모델링할수밖에 없습니다.


로또기계의 공의위치와 전기, 온도,습도 공기기체하나하나의 위치와백터량,
기체구성원자의 각전자들의 위치운동량 진동에너지 전자운동방정식(진행궤도),
태양계내의 모든전자,양성자,중성자, 중간자, 전자기파등의 모든물리량을 일치시킨다ㅡㅡ;;
Quote:

그리고 "다음번 상황이 매우 세밀한 차이로 다른 결과가 나온다는 것"도 역시 로또기계의 물리적 상황을 수학적으로 모델링해야 되는 것일 뿐입니다. 이런 상황에서는 랜덤 변수와 현실 세계에서 정할수 있는 변수를 모두 가진 어떤 함수값을 논하는 것입니다. 단순 주사위게임과는 거리가 멀어지는 것이죠.
.............................................

그러나 이 문제를 살펴보면
승패를 결정하는 변수에 김모군과 이모양이 가진 돈이 필요합니다. 결론적으로 상금의 형태가 (김모군과 이모양이 가진 비율이) 승패를 결정하는 꼴입니다.

따라서 이 경우에는 승패 여부가 상금(김모군과 이모양이 가진돈에 의해 결정)에 의존하지 않는 기존의 기대값 공식에 적용하기에는 좀 어려울듯 싶습니다.


기존수학자들의 확률과 기대값의 개념이나 이론은맞는것이고..공식은 상황에따라 적절히 유도되어야겠죠....


----------------------------------------------------------------------------

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

futari wrote:
ㅡ,.ㅡ;; wrote:
여기서 김모군과 이모양은 머리를 굴립니다. 이내기에서 내가 이길확률은 반이며 이기면 현재돈보다 많이 벌것이고 지면 지금돈만 잃으면되니 이내기는 나한테 유리한것이된다..

그렇다면 둘다 이익을보게 된다는건데.. 어찌된걸까요..

상대의 돈에 대한 정보가 전혀 없고 서로 어느정도의 돈을 가졌다고 생각할 때, 수학적으로 이길 확률이 절반이라고 생각할 수는 있겠지요.
(1/2이라고 가정했으니 그대로 가정합니다.)

하지만 이런 경우에도

ㅡ,.ㅡ;; wrote:
이기면 현재돈보다 많이 벌것이고 지면 지금돈만 잃으면되니 이내기는 나한테 유리한것이된다..

이건 틀렸죠.

물론 이기면 많이 벌고, 지면 지금 돈만 잃으면 되지만, (말이야 맞지만)

"벌써 져버린" 상황에서 상대보다 적게 걸었었다고 해서 이득이 되는건 아닙니다. 손해가 적은것도 아니죠, 손해는 자신에게만 발생했으니까요. 발생하지 않은 상대의 손해에 비교하면 안됩니다.

무슨말씀이신지.. "벌써 져버린" 상황이라니요.. 아직 김모군과 이모양은
돈도 꺼내지 않은상황에서 머리만 굴리고 있습니다. 아직손해가 발생하지도 않았고 미리 손익을 계산해보고 있는중인것이죠..

Quote:

상금과 투자금이 관련 있기 때문이지요.

어차피 "이기고 질 확률"에 의해서 졌고, 잃고 나면 0원 상태가 됩니다.

많이 건 사람이 지는 게임에서도 똑같죠 -_-;

ㅡ,.ㅡ;; 결과와 확률은 다른것입니다. 결과는 결과고 확률은 확률이죠..
잃고 나서 0원인 상태가 확률에 영향을주나요...ㅡ,.ㅡ;;
내가 로또에서 돈을 잃어 빈털털이가 됬다해서 로또 확률은 달라지지않죠..


----------------------------------------------------------------------------

ed.netdiver의 이미지

로또 이야기나 주사위 이야기로 더 헷깔려져버렸답니다^^;
거기다 김모군(A)와 이모양(B)가 돈을 가지고 다니는 행동패턴에 대한 부분까지도요.
A가 이길 확률을 P(A)라고 하고, B가 이길 확률을 P(B)라고 할때,
어느쪽이든 이기는 사건은 분명 독립사건이지 않나요?

로또, 주사위 이야기를 하자면, 로또에서 한회에 1,2,3,4,5,6이 나왔다고 해서 그 다음회에 같은 숫자가 나올 확률이 영향을 받거나,
혹은 첫회의 주사위 눈이 6이 나왔다고 해서 다음회의 확률이 영향을 받나요?

경우의 분포라는 측면에서는 6이 반복적으로 나오기도 하다가 결과적으로는
각 눈이 나오는 사건은 모두 전체 경우의 수의 1/6에 가까워진다는건 실험적으로
받아들여진다고 해도, n회때의 결과가 n+1회때에 영향을 미치는 경우란건,
마치 뺀공을 다시 집어넣지 않으면서 흰공과 검은공들이 들어있는 주머니에서
공들을 하나씩 빼낼때의 경우밖에는 없죠. 이러면 n+1회의 사건은 n회에 영향받는
종속사건이 되는 것이고 말입니다.
주사위 눈에서 이번회에 6이 나왔더라도 다음회에 6이 나올 확률도 공평하게
1/6이 맞다는 겁니다. 그러니 로또도 주사위도 매 회마다 1,2,3,4,5,6 조합이나
주사위 각 눈이 나올 확률은 독립사건이라는 기준에서 생각됩니다.

패턴에 대한 부분...
A와 B가 돈을 어떻게 갖고 다녔느냐는 부분까지 고려하자면, P(A)와 P(B)는
time이 되었든 뭐가 되었든 다른 독립변수에 의해 영향받는 함수가
되어버리잖습니까? 하지만, 이경우 문제는 분명 각 사건이 일어나는것에
대해 다른 변수에 대한 언급이 없었으니, P(A)와 P(B)는 상수가 되는거죠.
그러니 A가 돈을 (평소보다) 많이 혹은 적게 가져왔을 확률같은건
논의의 대상이 아니라고 생각되는데요.

금액이 같으면 걍 무효가 되겠죠? dealer가 갖고 간다는 조항같은게 없었으니.

확률을 고려할 다른 사건이 없고, 영향을 미치는 독립변수가 없으니
두사람은 예상되는 상금의 산술평균치만큼의 기대값만을 기대하며
게임을 하는 것이 되는게 아닐까요?
이게 기분상으로는 100원 갖고 있으면서 상대가
1000원을 갖고 있기를 기대한달지 하는 심리는 있을지언정,
그 반대상황이라면 잃는돈의 금액과 같아지므로, "서로 자기한테 유리하다"는
생각을 한다거나 "둘다 이익"이라거나 하는건 어디까지나 숫자에 기반한
판단이 아니라서 받아들이기가 어렵군요.
이제 그만 ㅡ,.ㅡ;;님께서 정답을 말씀해주시면 안될까요?
혹, 정답이 없는?ㅠㅠ;

--------------------------------------------------------------------------------
\(´∇`)ノ \(´∇`)ノ \(´∇`)ノ \(´∇`)ノ
def ed():neTdiVeR in range(thEeArTh)

blacknblue의 이미지

관련 쓰레드 모두 읽지 못했습니다. 혹시 중복이면 말씀해 주시기를..

문제와 몇개의 답글만 보고 이글을 적습니다.

우선 제가 궁금한 것 한가지.

기대값을 구할때 확률과 금액을 곱하게 되는데 이때 확률과 금액이 서로 종속성이 없어야 되는 것 아닌가요?
그러니까 기대값을 구하기 위해서는 특정사건이 발생할 확률과 그 사건발생시 얻을수 있는 "금액"이 "특정" 되어야 하는게 아닌가...하는 질문을 드립니다.
제 추측으로는 그럴것 같습니다.

위의 내용을 가정하고 생각해 보면 위의 문제는 특정되지 않는 금액으로 인해 기대값을 구할수 없다가 정답인 듯 합니다.
보통의 기대값을 구하듯이 확률과 금액을 곱하는 방식으로는 옳은 답이 나오지 않는 것 같습니다.

예를 들어 보겠습니다.
a 와 b 라는 사람이 있다고 했을때 이 두사람이 누구의 수중에 있는 돈 액수를 알고 있는가냐에 따라 기대값이(잘못된) 달라지게 됩니다.
즉, a 와 b 모두 a 가 현재 가지고 있는 금액 X 만을 알고 있다고 가정하면 a 는 양수의 기대값을 갖지만 b 는 음수의 기대값을 갖게 됩니다.(계산해 보시면..)
반대로 두사람 모두 b 가 현재 가지고 있는 금액 X 만을 알고 있다면 a 는 음수의 기대값을 갖고 b 는 양수의 기대값을 갖게 됩니다.
다시말하지만 여기서의 기대값을 "잘못된" 기대값이 되겠습니다.
즉, 누구의 수중에 있는 돈을 기준으로 생각하느냐에 따라 기대값이 달라지게 되는 것입니다. 이는 결론적으로 기대값을 구하는 식이 잘못 되었다는 얘기겠지요..

아닌가요?

위의 제가 가정을 했던 것에 대해서 누구 잘 아시는분은 알려주세요.

NeoTuring의 이미지

지켜보는 입장에서 재밌군요. :)
문제에 보다 엄격한 조건을 붙어야 할듯 싶습니다. 김군과 이모양은 수천만명의 사람중 누구든지 될수 있고, 그들 각각이 지닌돈은 상대보다 더 많거나 더 적게 가질 확률이 완벽하게 1/2 이다.
이런 조건이 붙는다면 문제 해석의 문제는 말끔하게 사라질듯 하군요. 원래 문제가 의도했던 조건도 이것이었던 같은데 아닌가요?

blacknblue의 이미지

그리고 기대값의 정의에 대해서 말씀들이 계신데..

한번 이런 가정을 해 보겠습니다.

돈놓고 돈먹기..

주사위가 있습니다. 숫자 1과 6이 나오면 A 사람이 B에게서 100원을 받고 나머지 숫자가 나오면 B라는 사람이 A 에게서 100원을 받는다고 합시다.

그렇다면 이때 주사위를 던질때 마다 A 와 B 의 기대값을 얼마일까요?

A 의 기대값은 음수가 되지 않을까요?

즉, 기대값은 항상 양수가 아니라는 생각..(아닌가요?)

futari의 이미지

ㅡ,.ㅡ;; wrote:
무슨말씀이신지.. "벌써 져버린" 상황이라니요.. 아직 김모군과 이모양은
돈도 꺼내지 않은상황에서 머리만 굴리고 있습니다. 아직손해가 발생하지도 않았고 미리 손익을 계산해보고 있는중인것이죠..

그 손익 계산을 '이미 진 상황'에서 상대가 건 것 보다 적은것을 걸었다가 졌다고 가정한 다음에 한다는 말입니다.

머리를 굴리는 중에 논리가 '이미 진' 상황이라 이거죠.

결국 진 상황에서도 손해보는 것은 아니다. 라고 생각하는 근거가

"나는 졌지만 상대보다 적은 돈을 걸고 큰 상금의 게임을 했다." 이라는 말입니다.

하지만 그렇다고 이득을 보거나 손해를 덜 보는게 아니란 말이죠.

이 문제에선

이기는 사람이 {X + a}원을, 지는 사람이 {X - a}원을 가지게 되고,

하나의 변수를 들고 이기고 지는 것이 아니라,

이기고 지는 것에 따라서 사람이 돈에 대입된다고 봐야합니다.

서로 모르기 때문이기도 하고, 서로 연관이 있어서 동시에 움직여야 하기 때문이죠.

ㅡ,.ㅡ;; wrote:
ㅡ,.ㅡ;; 결과와 확률은 다른것입니다. 결과는 결과고 확률은 확률이죠..
잃고 나서 0원인 상태가 확률에 영향을주나요...ㅡ,.ㅡ;;
내가 로또에서 돈을 잃어 빈털털이가 됬다해서 로또 확률은 달라지지않죠..

이부분은 앞에서 이해를 잘못하시면서 완전히 잘못된 방향으로 보셨네요.

잃고나서 0원인 상태가 확률에 영향을 준다는게 아닙니다.

잃고 난 후에는 어차피 가진 돈을 다 소모하는 '손해'를 보게 되는건데,

상대에 비해 손해가 적다는 잘못된 논리를 발생시키고 있다는거죠.

상대는 손해를 안봤고,

상대가 지는 경우는 발생하지 않기 때문에 그냥 그걸로 끝이죠.

-------------------------
The universe is run by the complex interweaving of three elements: matter, energy, and enlightened self-interest.
- G'kar, Babylon 5

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

blacknblue wrote:
그러니까 기대값을 구하기 위해서는 특정사건이 발생할 확률과 그 사건발생시 얻을수 있는 "금액"이 "특정" 되어야 하는게 아닌가...하는 질문을 드립니다.
제 추측으로는 그럴것 같습니다.

위의 내용을 가정하고 생각해 보면 위의 문제는 특정되지 않는 금액으로 인해 기대값을 구할수 없다가 정답인 듯 합니다.
.

내가받을돈이 내가 투자한돈보다 클것이라는건 분명하죠..


----------------------------------------------------------------------------

ed.netdiver의 이미지

Quote:

내가받을돈이 내가 투자한돈보다 클것이라는건 분명하죠..

헉. 정말요?
아 전 더이상 모르겠습니다. give up.
여기 수학과출신분 안계세요? fibonacci님이 수학과시라고 했던것 같은뎅^^;

--------------------------------------------------------------------------------
\(´∇`)ノ \(´∇`)ノ \(´∇`)ノ \(´∇`)ノ
def ed():neTdiVeR in range(thEeArTh)

futari의 이미지

ㅡ,.ㅡ;; wrote:

내가받을돈이 내가 투자한돈보다 클것이라는건 분명하죠..

거참 ㅡ.ㅡ; 문제 내신분이 이러시니...

내가 받을 돈이 내가 투자한돈보다 클 때는 내가 이길때 뿐입니다.

"내가 이기면 내돈보다 작은 상대의 돈을 얻고,

내가 지면 상대의 돈보다 작은 내 돈을 잃는다."

일 뿐이란 말입니다 =_=;

결국 큰돈이 {X + a}, 작은돈이 {X - a} 라고 했을 때,

{X + a} 보다 작은돈{X - a}을 잃거나 얻는 것 뿐이란 말이죠.

그 값은 정해져 있는게 아니니 고려할 필요가 없구요.

양쪽 다 이득 같은건 둘다 꿈꾸고 있는거구요.

-------------------------
The universe is run by the complex interweaving of three elements: matter, energy, and enlightened self-interest.
- G'kar, Babylon 5

ed.netdiver의 이미지

Quote:

"내가 이기면 내돈보다 작은 상대의 돈을 얻고,

내가 지면 상대의 돈보다 작은 내 돈을 잃는다."


글 올리자마자 바로 또 새글이길래, 어쩐지 꼬투리같긴 하지만,

Quote:

내가 이기면 내돈보다 상대의 돈을 얻고,
내가 지면 상대의 돈보다 내 돈을 잃는다.

가 맞지 않나요?
죄송..ㅡ.ㅡ;;

--------------------------------------------------------------------------------
\(´∇`)ノ \(´∇`)ノ \(´∇`)ノ \(´∇`)ノ
def ed():neTdiVeR in range(thEeArTh)

futari의 이미지

neTdiVeR1102 wrote:
Quote:

"내가 이기면 내돈보다 작은 상대의 돈을 얻고,

내가 지면 상대의 돈보다 작은 내 돈을 잃는다."


글 올리자마자 바로 또 새글이길래, 어쩐지 꼬투리같긴 하지만,

Quote:

내가 이기면 내돈보다 상대의 돈을 얻고,
내가 지면 상대의 돈보다 내 돈을 잃는다.

가 맞지 않나요?
죄송..ㅡ.ㅡ;;

내돈이 상대 돈보다 많을때 이기고, 적을때 지는거 아니었나요?

내가 얻는건 결국 상금에서 내가 건 돈 뺀거죠.

내가 잃는건 내가 건 돈 전부고...

-------------------------
The universe is run by the complex interweaving of three elements: matter, energy, and enlightened self-interest.
- G'kar, Babylon 5

ed.netdiver의 이미지

Quote:

내돈이 상대 돈보다 많을때 이기고, 적을때 지는거 아니었나요?


헉. 많은쪽이 적은쪽에 몰아주기였던거 같은데요?^^;
그러니깐, 내가 적으면 내돈보다 많은 상대 돈을 가지는게 되니까, 그게 이긴거.
라고 생각했는뎅, 아닌강^^;

Quote:
내가 얻는건 결국 상금에서 내가 건 돈 뺀거죠.

내가 잃는건 내가 건 돈 전부고...


이건 맞구요..^^;

아, 어쩐지 머리식히러 왔다가 더 띵띵 아파져버렸습니당^^;

그럼 좋은 하루하루 되세요...

--------------------------------------------------------------------------------
\(´∇`)ノ \(´∇`)ノ \(´∇`)ノ \(´∇`)ノ
def ed():neTdiVeR in range(thEeArTh)

futari의 이미지

neTdiVeR1102 wrote:
많은쪽이 적은쪽에 몰아주기였던거 같은데요?^^;

아.. 그렇네요. ㅎㅎ 문제를 첨봤을때 술을 좀 먹어서 그랬을까요 ;;

그래도 논리는 그대로...

neTdiVeR1102님께서 말씀하신대로

이길때 내돈보다 큰 상대방의 돈을 따게되고,
질때 상대방 돈보다 큰 내돈을 잃게 되는것.

여하튼 거는 돈보다 받는 돈이 많아지는 경우는 이겼을때 뿐이죠.

그럼 안녕히 주무세요~ : )

저도 자러...

-------------------------
The universe is run by the complex interweaving of three elements: matter, energy, and enlightened self-interest.
- G'kar, Babylon 5

angpoo의 이미지

이제서야 문제를 이해한것 같습니다. 제대로 이해했는지 검토바랍니다.

각각의 확률은 1/2로 가정합니다.

첫번째 둘이 가진 돈중 적은 액수를 x라고 하고 차이를 a라고 하면
1. 나 x, 상대 x+a (이익 x+a)
2. 나 x+a, 상대 x (손해 x+a)
기대값은 0입니다.
여기서 기대값 0의 의미는 확률적으로 이익이나 손해가 없는 공정한 게임이란 뜻이죠.

두번째 그런데 내가 가진돈을 x라고하고 상대와의 차이를 a라고 하면
1. 나 x, 상대 x - a (손해 x)
2. 나 x, 상대 x + a (이익 x + a)
이렇게 보면 기대값이 a/2입니다. 게임을 하는편이 유리하죠.

세번째 반대로 상대의 돈을 x, 차이를 a라고 한다면
1. 나 x + a, 상대 x (손해 x+a)
2. 나 x - a, 상대 x (이익 x)
이제는 기대값이 -a/2가되어 게임을 하는편이 불리해져 버립니다.

이문제의 진짜 문제는 이 게임이 유리한지 공정한지 아니면 불리한지 맞추는 것입니다.
아울러 첫번째, 두번째, 세번째중 한가지가 맞다면 다른 풀이는 틀리게 되는데 각각 무엇이 잘못됐는지를 지적해야 합니다.

- 이전글에서 기대값을 상금의 배당액을 기준으로 하는것이 맞고 이익이냐 손실이냐를 기준으로 하는것이 틀리는것처럼 쓴적이 있는데 기준을 무엇으로 잡느냐의 문제고 둘다 틀리지 않습니다.
- 여기서는 기준을 이익이냐 손실이냐로 따졌습니다.

morethan의 이미지

fibonacci wrote:

즉 승패가 반반이 된다는 것 자체가 극히 이상적인 가정이라는 것이죠.

동의합니다. 다만, 문제의 출제자가 이러한 이상적인 가정을 원했다고 생각합니다. 문제가 완벽하게 정의되지 않았더라도 출제자의 의도를 파악할 수 있다면, 출제자의 의도를 따라주는 것이 옳다고 생각합니다.

fibonacci wrote:

그러나 이 문제를 살펴보면
승패를 결정하는 변수에 김모군과 이모양이 가진 돈이 필요합니다. 결론적으로 상금의 형태가 (김모군과 이모양이 가진 비율이) 승패를 결정하는 꼴입니다.

따라서 이 경우에는 승패 여부가 상금(김모군과 이모양이 가진돈에 의해 결정)에 의존하지 않는 기존의 기대값 공식에 적용하기에는 좀 어려울듯 싶습니다.

김모군이 갖고 있는 돈을 M1이라고 놓고, 이모양이 가지는 돈을 M2라고 놓습니다. 돈은 유한하므로 돈의 합을 U라고 가정한다면, M2는 0에서 U - M1 중 임의의 한 값을 가질 수 있습니다.

따라서 김모군이 이길 확률은 1 - M1/(U - M1)이 됩니다.
(물론, 이러한 계산을 위해서 돈의 구간은 연속적이라고 가정하였고, 이모양의 돈은 동일한 확률로 0부터 (U-M1) 사이의 임의의 값이 됩니다.

jenix의 이미지

ㅡ,.ㅡ;; wrote:

여기서 김모군과 이모양은 머리를 굴립니다. 이내기에서 내가 이길확률은 반이며 이기면 현재돈보다 많이 벌것이고 지면 지금돈만 잃으면되니 이내기는 나한테 유리한것이된다..

그렇다면 둘다 이익을보게 된다는건데.. 어찌된걸까요..

위에서도 언급하신 분들이 있지만..

어째서 "내가 이길 확률이반이다" 라고 확정 지을수 있는거죠?

단순히 상대방의 많다/적다 라는 걸로 확률이 반이되는건가요?

그렇다면, 로또의 당첨확률도 반이되는셈인데?

문제에 모순이 있는 것 같군요.

---------------------------------------------------------------------------
http://jinhyung.org -- 방문해 보세요!! Jenix 의 블로그입니다! :D

saxboy의 이미지

자자. 너무 흥분하고 계신것 같은데, 김모군과 이모양이 잘 되면 누가 이기든 상관없이 즐겁게 마르쉐에서 (또는 TGI든 아웃백이든) 저녁 한끼를 할 수 있는 가능성은 아무도 생각하지 않으시네요.

alalal의 이미지

>여기서 김모군과 이모양은 머리를 굴립니다. 이내기에서 내가 이길확률은 반이며
>이기면 현재돈보다 많이 벌것이고 지면 지금돈만 잃으면되니 이내기는 나한테 유
>리한것이된다..

>그렇다면 둘다 이익을보게 된다는건데.. 어찌된걸까요..

김모군과 이모양이 머리 잘못 굴리고 있는 겁니다.

1. 이길 확률은 반이다 : 일단 이건 맞다고 하고 넘어갑니다.

2. 이기면 현재돈보다 많이 번다 : 맞습니다. 두사람의 총액은 2X+a이며, 이긴 경우 버는 돈은 X+a입니다.

2-1. 잃으면 지금 가진 돈이다 : 맞습니다. 역시 두사람의 총액은 2X+a이며, 진 경우 잃는 돈은 X+a입니다. (내가 돈이 많으니까.)

3. 이 내기는 나한테 유리하다 : 이건 아닙니다. 문제를 제시한 분께서는 이 부분에 대해 한마디도 언급하지 않고 '유리하다'라고 주장합니다. 왜 유리한지 설명해보세요. 2, 2-1에 1의 확률을 곱하면 내기는 결국 제로 섬이 됩니다. 기대값은 0이지요.

4. 무엇보다, 지금 껌값 누가 내냐로 내기를 하는 중이다. 결국 껌값 3만원이 빠져나간다. : 총액이 줄어듭니다. 결국 기대값이 줄어든다는 이야기죠? 손해는 디폴트로 발생합니다.

P.S. 그리고 angpoo님은 세가지로 상황 나누셨는데, a는 정수라고 놓으면 결국 똑같은 이야기가 됩니다. X는 자연수로 보는 게 맞지만요.

P.S.2 결국 최초의 답변이 정답인 셈입니다. 출제자께서는 계속 '틀렸다'만 주장하시는데, 어느부분이 왜 틀렸는지 그리고 어째서 유리한지에 대한 언급은 전혀 없군요.

...and justice for all

alalal의 이미지

아 그리고 은근슬쩍 끼어들어갔던 궤변들.

1. 기대값은 0보다 크다. : 물론 투자금 생각 안하고 순수하게 '받을 수 있는 금액'을 따진다면 (두사람의 전체 자금 합계 / 2)이므로 기대값은 0보다 큽니다. 그러나 문제에선 '이익이다'라고 했죠? 이익이라 함은 (총 수익 - 투자금)이며, 이 경우 투자액은 ((내가 많을 경우의 금액 / 2) + (내가 적을 경우의 금액 /2)) 입니다. 결국 기대값하고 똑같죠. 그래서 이익이 없습니다.

2. 이건 암묵적으로 원 문제에서 주장하는 궤변인데, '네가 얻을 수 있는 돈은 X+a이고 네가 잃는 돈은 X이다. 그러니 결국 a/2만큼 딸 수 있다' 라는 내용입니다. 딸 때는 많이, 잃을 때는 조금 이라는 심리적 헛점이죠.

P.S. 이거 멘사 문제 중에 풀이집이랑 같이 본 적 있습니다.

...and justice for all

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

jenix wrote:

위에서도 언급하신 분들이 있지만..

어째서 "내가 이길 확률이반이다" 라고 확정 지을수 있는거죠?

단순히 상대방의 많다/적다 라는 걸로 확률이 반이되는건가요?

그렇다면, 로또의 당첨확률도 반이되는셈인데?

문제에 모순이 있는 것 같군요.


어째서 확률이 반이 아니라고 하시는거죠?
로또의 당첨확률과는 다르죠.. 왜냐면 상황이 다르니까요..경우의수도 다르죠..
김모군이 특별히 유리하다든가 이모군이 특별히 유리하다는 하등의 말도 없지요..
그렇다고 내기를 제안한 ㅡ,.ㅡ;;가 돈을들고튄다든가 돈을 더넣어준다든가
하는돌발적인 상황을 예상한다는건 논리퀴즈문제의 상식을 벗어난 논외라고 봐야겠죠..


----------------------------------------------------------------------------

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

alalal wrote:

3. 이 내기는 나한테 유리하다 : 이건 아닙니다. 문제를 제시한 분께서는 이 부분에 대해 한마디도 언급하지 않고 '유리하다'라고 주장합니다. 왜 유리한지 설명해보세요. 2, 2-1에 1의 확률을 곱하면 내기는 결국 제로 섬이 됩니다. 기대값은 0이지요.

4. 무엇보다, 지금 껌값 누가 내냐로 내기를 하는 중이다. 결국 껌값 3만원이 빠져나간다. : 총액이 줄어듭니다. 결국 기대값이 줄어든다는 이야기죠? 손해는 디폴트로 발생합니다.

P.S. 그리고 angpoo님은 세가지로 상황 나누셨는데, a는 정수라고 놓으면 결국 똑같은 이야기가 됩니다. X는 자연수로 보는 게 맞지만요.

P.S.2 결국 최초의 답변이 정답인 셈입니다. 출제자께서는 계속 '틀렸다'만 주장하시는데, 어느부분이 왜 틀렸는지 그리고 어째서 유리한지에 대한 언급은 전혀 없군요.

3. 왜유리한지 질문하시는분에 위에계셔서 답변했었는데..
4. 껌값 3만원안빠져나갑니다. 문제다시읽어보시면 아실겁니다.
ps2 답변들의 무엇이 잘못되었는지 어느정도는 달았는데요..계산식이들어간경우 왜잘못된식인지도 지적을했었고.. 어째서유리한지의 언급을... 했었는데..,ㅡ,.ㅡ;;
혹시 저의 답변의 답변글을 그냥지나치셨다면.. 보시면 있을겁니다...


----------------------------------------------------------------------------

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

alalal wrote:
아 그리고 은근슬쩍 끼어들어갔던 궤변들.

1. 기대값은 0보다 크다. : 물론 투자금 생각 안하고 순수하게 '받을 수 있는 금액'을 따진다면 (두사람의 전체 자금 합계 / 2)이므로 기대값은 0보다 큽니다. 그러나 문제에선 '이익이다'라고 했죠? 이익이라 함은 (총 수익 - 투자금)이며, 이 경우 투자액은 ((내가 많을 경우의 금액 / 2) + (내가 적을 경우의 금액 /2)) 입니다. 결국 기대값하고 똑같죠. 그래서 이익이 없습니다.


무슨말씀이신지...ㅡ.ㅡ?

Quote:

2. 이건 암묵적으로 원 문제에서 주장하는 궤변인데, '네가 얻을 수 있는 돈은 X+a이고 네가 잃는 돈은 X이다. 그러니 결국 a/2만큼 딸 수 있다' 라는 내용입니다. 딸 때는 많이, 잃을 때는 조금 이라는 심리적 헛점이죠.

심리.....ㅡ,.ㅡ;; 적... 헛점요??ㅡㅡ;;
그렇다면.. 마음을 독하게 잡수시고..문제를푸시면...될듯..^^;;


----------------------------------------------------------------------------

alalal의 이미지

계산식이 잘못되었다 라는 지적만 있지요. 그런 건 '이 식의 이부분 이부분의 가정이 틀렸고 이거이거는 확률계산이 아니다'란 지적이 필요한 겁니다. 뭐가 잘못되었는지, 왜 유리한지 설명한 글 좀 다시 주시겠습니까? 설마 '내가받을 돈이 내가 투자한 돈보다 클 것이다'가 설명입니까? 그거 틀렸다니까요. 내가 받을 돈은 내가 투자한 돈과 같습니다 이 경우에는. 그게 왜 큰지 한번 수식 세워보세요. 숫자를 쓰시건 미지수로 방정식을 세우건.

그리고 무슨 말인지 이해 안되신다는 부분 다시 설명.

1. 결국 이기면 내 돈은 두사람 돈 전부. 지면 0. 이건 간단하죠? 그러니까 내가 가질 수 있는 돈의 기대값은 두사람 돈 전부 나누기 2. 확률이 1/2랬으니까.

수식으로 변환.

내 돈 X, 상대방 돈 X+a : 확률 1/2 -> 받는 돈 (2X+a)
내 돈 X+a, 상대방 돈 X : 확률 1/2 -> 받는 돈 0

결국 기대값 = (2X+a)/2

2. 그럼 거기 들어가는 '비용'은? 내 돈 전부. 그런데 내 돈이 많을지 적을지는 까 보기 전엔 모르니까 많을 확률 절반 적을확률 절반 해서 결국 기대값과 같은 비용이 들어가는 겁니다. 버는 건 확률인데 내가 넣는 돈은 고정이다 라는 착각을 심어준다는거죠. 넣는 돈 액수는 고정이지만 그게 '비용'으로 작용하는 액수는 결국 확률이 붙게 되므로 기대값과 동일해진다는 이야깁니다. 손익 계산중이니까 비용도 당연히 확률로 계산해야 된다는 거죠. 1하고 동일하게. 비용은 고정값인데 기대값이 확률인 사건이 아닙니다. 비용도 기대값도 확률인 사건이지요.

역시 수식으로 변환

내 비용 X 상대방 비용 X+a : 확률 1/2 -> 내 비용 X
내 비용 X+a 상대방 비용 X : 확률 1/2 -> 내 비용 X+a

결국 내 비용 = X/2 + (X+a)/2 = (2X+a)/2

최종적으로 내 비용 = 내 기대값

자 이 수식 어디가 틀렸는지 한번 지적해보세요.

3. 멘사 퀴즈에선 대놓고 '이득은 a/2다'라고 적어놨었죠. 그래도 어지간하면 속아넘어가니까요. 이거 정답안이 있는 문제니까 그동안 나온 정답들 보시고 이해하려고 노력해보세요.

...and justice for all

angpoo의 이미지

angpoo wrote:
첫번째 둘이 가진 돈중 적은 액수를 x라고 하고 차이를 a라고 하면
1. 나 x, 상대 x+a (이익 x+a)
2. 나 x+a, 상대 x (손해 x+a)
기대값은 0입니다.
여기서 기대값 0의 의미는 확률적으로 이익이나 손해가 없는 공정한 게임이란 뜻이죠.

두번째 그런데 내가 가진돈을 x라고하고 상대와의 차이를 a라고 하면
1. 나 x, 상대 x - a (손해 x)
2. 나 x, 상대 x + a (이익 x + a)
이렇게 보면 기대값이 a/2입니다. 게임을 하는편이 유리하죠.

세번째 반대로 상대의 돈을 x, 차이를 a라고 한다면
1. 나 x + a, 상대 x (손해 x+a)
2. 나 x - a, 상대 x (이익 x)
이제는 기대값이 -a/2가되어 게임을 하는편이 불리해져 버립니다.


세가지로 나눌때 첫번째가 맞습니다. 득실이 없는 공정한 게임입니다.
두번째, 세번째가 틀리는것은 현재 김모군, 이모양이 가진돈은 정해져 있는데 1,2번 상황에서 가진돈의 액수가 변하므로 가정에 위배 됩니다.

두번째 경우가 나올 수 있는 상황은
내돈과 상대가 꺼낸돈이 똑같이 x인데 상대가 동전을 던져 +a 시키거나 -a시키는 경우가 되겠고 이렇게 되면 두번째 풀이 그래도 돈 버는 게임입니다.

alalal의 이미지

아 그리고 전형적으로 유도되는 착각들.

1. '어쨌건 내가 넣는 돈은 고정 액수 아니냐? 그러니까 내 비용은 X지, X 또는 X+a가 아니다' : 그렇게 놓고서 확률계산하면 됩니다.

내 돈은 무조건 X, 상대방은 X+a 또는 X-b 둘 중에 하나 되겠죠? 당연히 확률은 1/2입니다.

첫번째 상황
내가 버는 돈 = 2X+a, 내 비용 X
상대방이 버는 돈 = 0, 상대방 비용 X+a

두번째 상황
내가 버는 돈 = 0, 내 비용 X
상대방이 버는 돈 = 2X-b, 상대방 비용 X-b

결국 전체 이득금 = 전체 비용입니다. 누가 이익을 볼 여지가 없지요.

2. '어쨌거나 내가 이기는 상황은 1/2이고 첫번째 상황과 두번째 상황을 더하면 난 결국 a/2를 벌지 않았느냐? ': 상대방의 입장도 보시기 바랍니다.

내가 버는 동안 상대방은 그만큼 잃습니다. 내가 잃는 경우 상대방은 그만큼을 법니다. 이익보는만큼 손해를 봅니다. '둘 다 이익'인 상황이 아니지요. 물론 이기는 경우의 수익률은 2보다 큽니다만, 수익률과 이익큼, 확률은 별 상관 없습니다. (로또의 기대값과 로또 1등의 수익률이 아무 상관 없듯이 말이죠. 로또의 수익률을 확률에 곱해서 나오는 최종값은 로또의 기대값과 다릅니다.) 요거에 걸리신 듯 합니다. 대개의 도박은, 수익률이 높음을 무기삼아 기대값을 낮추고, 사람들은 수익률에 끌리지 기대값에 끌리지 않습니다. (상트 페테르스부르크 카지노 역설을 생각해보시면 됩니다. 기대값은 무한대이나 수익률이 황이죠. 안합니다. 반대로 로또에 사람들 무지하게 몰려서 일등 당첨금액이 200억이 됐다고 치면, 이미 일등의 수익률 곱하기 확률만으로도 투자액을 넘어갑니다. 그러나 로또의 기대값은 불변이죠.)

...and justice for all

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

alalal wrote:
계산식이 잘못되었다 라는 지적만 있지요. 그런 건 '이 식의 이부분 이부분의 가정이 틀렸고 이거이거는 확률계산이 아니다'란 지적이 필요한 겁니다. 뭐가 잘못되었는지, 왜 유리한지 설명한 글 좀 다시 주시겠습니까?

ㅡ,.ㅡ;; wrote:
neTdiVeR1102 wrote:
두사람이 가지고 있는 돈을 각각 a, b라고 합니다.
...............난 바본가바...ㅠ.ㅠ;

어째서 유리한가는 로또 복권의 당첨금이 많을수록 유리한거나 마찬가지 이유겠죠..
......

Quote:

설마 '내가받을 돈이 내가 투자한 돈보다 클 것이다'가 설명입니까? 그거 틀렸다니까요. 내가 받을 돈은 내가 투자한 돈과 같습니다 이 경우에는. 그게 왜 큰지 한번 수식 세워보세요. 숫자를 쓰시건 미지수로 방정식을 세우건.

그리고 무슨 말인지 이해 안되신다는 부분 다시 설명.

1. 결국 이기면 내 돈은 두사람 돈 전부. 지면 0. 이건 간단하죠? 그러니까 내가 가질 수 있는 돈의 기대값은 두사람 돈 전부 나누기 2. 확률이 1/2랬으니까.

수식으로 변환.

내 돈 X, 상대방 돈 X+a : 확률 1/2 -> 받는 돈 (2X+a)
내 돈 X+a, 상대방 돈 X : 확률 1/2 -> 받는 돈 0

결국 기대값 = (2X+a)/2


님도...
투자할돈이 X고 확률이 1/2 인데 받을돈이 2X+a라고 하셨네요..
그렇다면 유리한거죠..
Quote:

2. 그럼 거기 들어가는 '비용'은? 내 돈 전부. 그런데 내 돈이 많을지 적을지는 까 보기 전엔 모르니까 많을 확률 절반 적을확률 절반 해서 결국 기대값과 같은 비용이 들어가는 겁니다. 버는 건 확률인데 내가 넣는 돈은 고정이다 라는 착각을 심어준다는거죠. 넣는 돈 액수는 고정이지만 그게 '비용'으로 작용하는 액수는 결국 확률이 붙게 되므로 기대값과 동일해진다는 이야깁니다. 손익 계산중이니까 비용도 당연히 확률로 계산해야 된다는 거죠. 1하고 동일하게. 비용은 고정값인데 기대값이 확률인 사건이 아닙니다. 비용도 기대값도 확률인 사건이지요.

역시 수식으로 변환

내 비용 X 상대방 비용 X+a : 확률 1/2 -> 내 비용 X
내 비용 X+a 상대방 비용 X : 확률 1/2 -> 내 비용 X+a

결국 내 비용 = X/2 + (X+a)/2 = (2X+a)/2

자..흥분을 가라않히시고.. 생각해봅시다.
위의 두식으로 마치 내돈이 X 였다가 X+a 였다가 변하는것처럼 식을세웠지만
실제로 변하지 않으니 위의두줄 즉,윗줄과 아랫줄에서의 X는 같은 X가 아닙니다
따라서 같게 놓을수가 없죠.. 즉 내돈X = 내돈 X+a 가 되버리는셈이니..
님의 식은 상당한 오류를범하고 있죠..

Quote:

최종적으로 내 비용 = 내 기대값

자 이 수식 어디가 틀렸는지 한번 지적해보세요.

3. 멘사 퀴즈에선 대놓고 '이득은 a/2다'라고 적어놨었죠. 그래도 어지간하면 속아넘어가니까요. 이거 정답안이 있는 문제니까 그동안 나온 정답들 보시고 이해하려고 노력해보세요.


거기서말하는 답안을 뭐라 적어놨는지 궁금하군요...
하지만 님이 생각하는 거기 정답을 보시고와서 답변하는것일테니..
님이 제대로 이해하셨다면. 그정답이 정답이 아니겠군요..


----------------------------------------------------------------------------

morethan의 이미지

<억만장자되는 법>의 재발견!!!

1. 지갑에서 돈을 한 뭉치를 뽑아 들어서 임의로 2등분 한 후, 바지의 양쪽 주머니에 넣어둔다.

2. ㅡ,.ㅡ;;님이 제안한 게임을 바지의 양쪽 주머니를 이용하여 시뮬레이션한다.

3. 양쪽 주머니의 경우 모두 이익이라고 하니 재산이 계속 불어날 것은 명백하다(양쪽 주머니 입장에서 각각 머리를 열심히 굴려본 결과, 자신이 이득이라고 판정할 것은 분명하다).

4. 게임이 끝나고, 승자가 된 주머니에서 돈을 꺼내서 다시 지갑에 넣는다.

5. 1부터 4까지의 과정을 계속 반복하면 언젠가는 억만장자가 될 것이다. 지금 당장 지갑을 꺼내자!!!

ed.netdiver의 이미지

아, 님은 차액 a라는 것이 A가 소지했을 경우와 B가 소지했을 경우를 +a로 놓거나
-a로 상정하면서 확률을 계산하는것이 오류라고 말씀하신 것이었군요.
그리고 돈이 모아졌으니 내가 낼돈보다 많아진 상금에 대해 배팅하는거니까
내가 더 유리하다고 말씀하신거였구요.
역시 난 바보였어..ㅠ.ㅠ;

--------------------------------------------------------------------------------
\(´∇`)ノ \(´∇`)ノ \(´∇`)ノ \(´∇`)ノ
def ed():neTdiVeR in range(thEeArTh)

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

morethan wrote:
<억만장자되는 법>의 재발견!!!

1. 지갑에서 돈을 한 뭉치를 뽑아 들어서 임의로 2등분 한 후, 바지의 양쪽 주머니에 넣어둔다.

2. ㅡ,.ㅡ;;님이 제안한 게임을 바지의 양쪽 주머니를 이용하여 시뮬레이션한다.

3. 양쪽 주머니의 경우 모두 이익이라고 하니 재산이 계속 불어날 것은 명백하다(양쪽 주머니 입장에서 각각 머리를 열심히 굴려본 결과, 자신이 이득이라고 판정할 것은 분명하다).

4. 게임이 끝나고, 승자가 된 주머니에서 돈을 꺼내서 다시 지갑에 넣는다.

5. 1부터 4까지의 과정을 계속 반복하면 언젠가는 억만장자가 될 것이다. 지금 당장 지갑을 꺼내자!!!

첫번째게임을한후 한쪽바지주머니는 빈털털이가 될텐데 다음게임을 어떻게 하죠?
반대편주머니에서 강제로 뺏어온다고요?
그러니까 부자가안되죠..ㅡ,.ㅡ;;


----------------------------------------------------------------------------

morethan의 이미지

ㅡ,.ㅡ;; wrote:
morethan wrote:
<억만장자되는 법>의 재발견!!!

1. 지갑에서 돈을 한 뭉치를 뽑아 들어서 임의로 2등분 한 후, 바지의 양쪽 주머니에 넣어둔다.

2. ㅡ,.ㅡ;;님이 제안한 게임을 바지의 양쪽 주머니를 이용하여 시뮬레이션한다.

3. 양쪽 주머니의 경우 모두 이익이라고 하니 재산이 계속 불어날 것은 명백하다(양쪽 주머니 입장에서 각각 머리를 열심히 굴려본 결과, 자신이 이득이라고 판정할 것은 분명하다).

4. 게임이 끝나고, 승자가 된 주머니에서 돈을 꺼내서 다시 지갑에 넣는다.

5. 1부터 4까지의 과정을 계속 반복하면 언젠가는 억만장자가 될 것이다. 지금 당장 지갑을 꺼내자!!!

첫번째게임을한후 한쪽바지주머니는 빈털털이가 될텐데 다음게임을 어떻게 하죠?
반대편주머니에서 강제로 뺏어온다고요?
그러니까 부자가안되죠..ㅡ,.ㅡ;;

승자가 된 주머니로부터 돈을 다시 지갑에 집어넣는다고 했을 텐데요.
그리고 다시 지갑으로부터 임의로 양쪽 주머니에 분배하는 겁니다.

이제 부자가 될 수 있을까요?

페이지