(1/1)(1/2) + (1/2)(1/3) + (1/3)(1/4) + ...... = 1

RedPain의 이미지

흠... Knuth교수의 Concrete Mathematics에서 Research Problem으로 무지 어려운 문제라고 낸 문제를 풀어 버린 것 같습니다.
저자들끼리도 답에 대한 의견이 엇갈리던 데 맞게 푼 것인 지 모르겠습니다.
문제는 결국 (1/1)(1/2) + (1/2)(1/3) + (1/3)(1/4) + ...... = 1인가 하는 문제인 데 n개를 더한 것을 j(n)이라 하면 ( 예를 들면 j(2) = (1/1)(1/2) + (1/2)(1/3) ), j(n) = n/(n+1)이라고 추측이 됩니다.
대입해보면 대충 추측이 되죠.
j(1) = 1/2
j(2) = 1/2 + 1/6 = 4/6 = 2/3
j(3) = 2/3 + 1/12 = 9/12 = 3/4
그럼 이 추측을 귀납법으로 풀면 n이 1일 때는 이미 대입해 봤고
j(n) = n/(n+1) -> j(n+1) = (n+1)/(n+2)라는 것만 증명하면 됩니다.
n/(n+1) + (1/(n+1))(1/(n+2)) = (n^2+2n+1)/((n+1)(n+2)) = ((n+1)^2)/((n+1)(n+2)) = (n+1)/(n+2)
이제 j(n) = n/(n+1)임을 증명했습니다.
그러므로 n이 무한대이면 당연히 j(n) = 1입니다.
흠...제가 볼 때 증명에 문제가 없는 것 갔습니다만 Knuth가 어렵다고 한 문제를 너무 쉽게 풀어버렸군요. -_-a
이게 풀이가 맞나요?

Darkcircle의 이미지

일단 1/2 와 1/6은 우리가 알고 있죠...
나머지는 어차피 무한수열이니까...
그냥 Lim x→∞ 으로 해놓고 ∑(1/x)*(1/x+1)

= Lim x→∞ ∑(1/x²+x)

( 이거 완전히 고등학교 수준이군요 ㅡ,,ㅡa )

---------------------------------------------------------------
폐인이 되자 (/ㅂ/)

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

풀이에 아무런 이상이 없군요..


----------------------------------------------------------------------------

fibonacci의 이미지

RedPain 님의 풀이는 맞습니다. 혹시 Knuth교수가 원하던 풀이는 다른 방식의 풀이가 아닐까요? 그 책의 그 문제가 나온 곳에서 지은이가 의도하는 방식으로의 풀이죠. 수학적 귀납법 단원이라면 할말없습니다만..

No Pain, No Gain.

ihavnoid의 이미지

이상하네요. 정말로 고등학교 수준 맞는데.

(1/1)(1/2) = (1/1)-(1/2)
(1/2)(1/3) = (1/2)-(1/3)
.....
(1/n)(1/(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)

그러니

시그마 k=1 to n 1/k 1/(k+1) = 1 - 1/(n+1)

n을 무한대로 놓으면 답은 1.

Consider the ravens: for they neither sow nor reap; which neither have storehouse nor barn; and God feedeth them: how much more are ye better than the fowls?
Luke 12:24

codebank의 이미지

그래서 수학에서는 정답이란 단어보다는 해답이란 단어를 많이 사용하지 않나요?
즉, 답은 하나일지라도 그 풀이방법은 천차만별이라고 알고 있습니다.

문득, 내일이라는 영화에서 주인공 아들이 교수가 원하는 식으로 문제를 풀이하지
않았다고 점수가 낮게 나왔다는 이야기가 생각나네요.
대부분의 예전 수학학자들이 이전에 풀이방법과는 조금 다른 풀이방법으로 문제를
풀이해서 그 풀이방법이 인정되어 그 사람이름으로 풀이방법이 공식적으로 인정되는
것으로 알고 있습니다.

------------------------------
좋은 하루 되세요.

ydhoney의 이미지

그 풀이과정이 논리적으로 맞고 해가 맞으면 문제가 없는것이 아닌가요? -_-;

RedPain의 이미지

흠...그 책이 지금 부대에 있어서 다음 달에 문제를 확실히 확인하고 오겠습니다.
지금 생각해 보니 길이가 1인 정사각형에 각각 변이 (1,1/2), (1/2,1/3), (1/3,1/4)....로 채워나가는 그림이 있었는 데 그럼 계속해서 빈공간 없이 정사각형을 채워나갈 수 있느냐 없느냐가 문제인 것 같네요.
제가 부대에서 조그만 수첩에 문제 적어 놓고 근무 서면서 문제를 풀어서 문제를 똑같이 써놓고 푸는 게 아니라 요약해 놓고 풀어서 제가 문제를 잘 못 이해했을 수도 있겠네요..

fibonacci의 이미지

원래 문제가 그것이라면, 우선 "모든 n에 대하여 n번째 사각형이 들어갈 빈 자리는 보장된다." 란 명제를 증명해야 겠군요. 채우는 면적이 1이냐 아니냐가 관건이 아닌것 같습니다.

No Pain, No Gain.

kyk0101의 이미지

codebank wrote:
문득, 내일이라는 영화에서 주인공 아들이 교수가 원하는 식으로 문제를 풀이하지
않았다고 점수가 낮게 나왔다는 이야기가 생각나네요.

그영화 제목이 혹시

the day after tomorrow 아닌가요?

I'm A.kin

offree의 이미지

kyk0101 wrote:
codebank wrote:
문득, 내일이라는 영화에서 주인공 아들이 교수가 원하는 식으로 문제를 풀이하지
않았다고 점수가 낮게 나왔다는 이야기가 생각나네요.

그영화 제목이 혹시

the day after tomorrow 아닌가요?

네 맞습니다. 정확한 제목이..

사용자가 바꾸어 나가자!!

= about me =
http://wiki.kldp.org/wiki.php/offree , DeVlog , google talk : offree at gmail.com

ihavnoid의 이미지

RedPain wrote:
흠...그 책이 지금 부대에 있어서 다음 달에 문제를 확실히 확인하고 오겠습니다.
지금 생각해 보니 길이가 1인 정사각형에 각각 변이 (1,1/2), (1/2,1/3), (1/3,1/4)....로 채워나가는 그림이 있었는 데 그럼 계속해서 빈공간 없이 정사각형을 채워나갈 수 있느냐 없느냐가 문제인 것 같네요.
제가 부대에서 조그만 수첩에 문제 적어 놓고 근무 서면서 문제를 풀어서 문제를 똑같이 써놓고 푸는 게 아니라 요약해 놓고 풀어서 제가 문제를 잘 못 이해했을 수도 있겠네요..

이건 좀 힘들 것 같네요. 여러가지로 고민을 해 봐야 할 듯 합니다.

Consider the ravens: for they neither sow nor reap; which neither have storehouse nor barn; and God feedeth them: how much more are ye better than the fowls?
Luke 12:24