집합론적으로 1+1=2라는 것을 정의하려면
최소한 "자연수의 집합" 이라는 것을 정의하여야 하며
자연수의 집합에서 가장 작은 수 "1"이란 것을 정의하여야 하며
그 다음 "어떤 수 a의 바로 다음 수 "a+" 이란 것을 정의해야 합니다. (자연수를 정의할때, "바로 다음수"란 것을 정의 할수 있도록 하는 성질을 꼭 가지도록 정의해야 할 것입니다.)
그 다음 더하기 "+"를 다음과 같이 정의합니다.
"a+b = ((a+)+)...)+"
(쉽게 말해서 다음수의 다음수의 다음수의 .. 이것을 b번 반복합니다.)
그다음 "a+ = a+1" 이 됨을 보이고, "1+ =2" 임을 이용한다면 증명은 끝나겠지요.
이것은 집합론적 공리체계에서의 증명방법일 뿐입니다.
이제는 군론(group theory)적으로 생각해 보겠습니다.
(군(group)이란, 쉽게 말해 어떤 이항 연산이 정의되고 닫혀있으며, 이 이항연산의 항등원과 역원이 존재하는 그런 집합이라고 생각하면 됩니다.)
정수의 군(group) Z를 다음과 같이 정의합니다. 생성자(generator)는 "1"입니다. 이항연산 +를 정의합니다.
이때 1+1+1+...+1 가 몇개를 더하든 절대로 0이 되지 않게끔 정의 해야 합니다. (어려운 말로 생성자의 order가 무한이다... 라고 말합니다.)
"+"의 항등원은 0이고, a의 역원은 -a 입니다.
이 동네에서는 썰렁하게도 1 + 1 =2 가 되어버립니다.
왜냐하면 정수의 군 Z에서는 2의 정의가 1+1이기 때문입니다.
즉, 무엇을 증명한다는 것은 증명하고자 하는 대상이 어떤 논리체계에서 어떻게 정의되느냐가 중요한 셈입니다. "절대적으로 옳은 것"은 존재하지 않고, 다만 "어떤 공리체계 위에서 옳은 것"이 존재할 뿐인 셈입니다. 수학에서의 진리란 그렇습니다. 아마 데카르트도 이것에 회의를 느꼈는지도 모르죠.
즉, 무엇을 증명한다는 것은 증명하고자 하는 대상이 어떤 논리체계에서 어떻게 정의되느냐가 중요한 셈입니다. "절대적으로 옳은 것"은 존재하지 않고, 다만 "어떤 공리체계 위에서 옳은 것"이 존재할 뿐인 셈입니다. 수학에서의 진리란 그렇습니다. 아마 데카르트도 이것에 회의를 느꼈는지도 모르죠.
즉, 무엇을 증명한다는 것은 증명하고자 하는 대상이 어떤 논리체계에서 어떻게 정의되느냐가 중요한 셈입니다. "절대적으로 옳은 것"은 존재하지 않고, 다만 "어떤 공리체계 위에서 옳은 것"이 존재할 뿐인 셈입니다. 수학에서의 진리란 그렇습니다. 아마 데카르트도 이것에 회의를 느꼈는지도 모르죠.
데카르트 시대는 아직 수학의 공리 체계에 대해 깊이있게 다루어지기 한참 전 아닌가요?
얼핏보면 데카르트의 1+1=2인지 알수없다와 1+1=2의 공리의관한것은 본질적으로 같아보일수도있는데
제생각은 다릅니다. 데카르트의 그것은 인지의 불완전성을 말한것이라고 생각되네요.
간단히 생각해보면 데카르트가 신이 1+1=2라고 속일수도 있지 않은가.. 라고 했으니 신이 없다고하면 1+1=2는 그냥 맞는다는 소리이니까요.
공리와 인지의 불완전성은 본질적으로 다르다고 생각합니다.
즉, 무엇을 증명한다는 것은 증명하고자 하는 대상이 어떤 논리체계에서 어떻게 정의되느냐가 중요한 셈입니다. "절대적으로 옳은 것"은 존재하지 않고, 다만 "어떤 공리체계 위에서 옳은 것"이 존재할 뿐인 셈입니다. 수학에서의 진리란 그렇습니다. 아마 데카르트도 이것에 회의를 느꼈는지도 모르죠.
데카르트 시대는 아직 수학의 공리 체계에 대해 깊이있게 다루어지기 한참 전 아닌가요?
그렇죠.. 현대 수학의 공리체계가 제대로 완성이 되려면 칸토르, 러셀, 힐버트 등등이 등장해야 하니까요.
제 추측은 당시가 공리체계가 잡혀지기 전이였기 때문에 인간의 인지에 대한 확고한 믿음을 가질 수 없었을 것이란 생각입니다.
(그당시에 군론이나 집합론이 정립되기 이전이라, 제가 쓴데로 데카르트가 생각하지는 않았을 테지만, 분명 "증명"을 하기 위해서 1이나 +를 나름대로 정의하려 애썼을 겁니다.)
어떤 식으로 생각하면 그럴듯하지만, 어떤 식으로 생각하면 전혀 믿을 수 없는 그런 상태인 거죠.
확고한 공리체계가 전 세계적으로 통용되고 있었다면 데카르트도 그런 고민을 안했을 거라고 생각됩니다.
전 공리의 문제와 인지의 불완전성은 완전히 다른것이라고 생각하는입장인데요.
그때에 확고한 공리체계가 있었다고 치더라도 데카르트는 그런 고민을 했을거라고 생각합니다.
데카르트는 구지 1+1=2라는것을 예로 들었지만 다른것을 예로들면...
Quote:
(손으로 주먹을 쥔 다음)
'나는 지금 내 손이 주먹이 쥐어져있는지 않쥐어져있는지 알 수 없다'
이것을 예로 들고싶네요.
내가 손을 쥐었지만 꿈일수도있습니다. 그건 자신은 모르죠. 아니면 자신도모르게 정신적으로 환각상태여서 내가 손을 쥐게했다고 착각할수도있구요. 그래서 결론적으로 내가 느끼기에는 손을 내가 쥐었음에도 불구하고 실제로는 손을 쥐었는지 안쥐었는지 알 수 없는겁니다.
데카르트가 말한것은 이런것인데. 공리와는 전혀 다른 개념이라고 생각됩니다. 아직 이걸 누가 어떻게 이름붙인건 아니지만
'인지의 불완전성' 정도가 적당할것같습니다.
"내 정신 속에는 오래된 한 가지 의견이 새겨져 있다. 즉 모든 것을 할 수 있고 또 지금의 내 모습대로 나를 창조했을 신이 존재한다는 의견이다. 그렇다면 땅, 하늘, 연장적 사물, 형태, 크기, 장소는 존재하는 것이 아니라 이것들을 지금 보는 그대로 있는 것처럼 생각하도록 저 신이 만들지 않았다고 어떻게 장담할 수 있는가? 심지어 또한 다른 사람들은 자기가 완전하게 알고 있다고 생각하는 것에서도 가끔 오류를 범하고 있듯이 나 역시도 둘에 셋을 더할 때, 사각형의 변을 셀 때 혹은 이보다 더 쉬운 것을 할 때 잘못을 범할 수도 있지 않이한가? 그러나 신은 아주 선하기 때문에 내가 속하는 것을 원하지 않았을 것이다. 하지만 내가 항상 잘못을 저지르도록 신이 나를 창조했다는 것이 그의 선성과 어긋나는 것이라면, 내가 가끔 잘못을 저지르는 것을 신이 허용하고 있다는 것 또한 어느 정도는 신의 선성과 어긋나는 것처럼 보이지만, 내가 가끔 잘못을 저지른다는 것은 분명한 사실이다. .....나는 이제 진리의 원천인 전능한 신이 아니라 유능하고 교활한 악령이 온 힘을 다해 나를 속이려 하고 있다고 가정하겠다. 또 하늘, 공기, 땅, 빛깔, 소리 및 모든 외적인 것은 섣불리 믿어 버리는 내 마음을 농락하기 위해 악마가 사용하는 꿈의 환상일 뿐이라고 가정하겠다."
데카르트의 "성찰" 일부분인데요, 확실히 공리체계와는 거리가 멀어보이는군요... 섣부른 추측은 금물 :oops: 결국 지식은 자기 자신을 믿는 거군요.
러셀 같은데요
러셀 같은데요
1+1=2가 성립하기 위해서는, 그것이 성립할 수 있는 자연수 집합을 정
1+1=2가 성립하기 위해서는, 그것이 성립할 수 있는 자연수 집합을 정의해야만 합니다.
http://puzzle.jmath.net/math/essay/1plus1is2.html
아발발다빠따반반나다발딸발발다빠따따맣발발다뿌
희멓터벅더떠벋떠벌더벌벌떠벌떠더법벍떠더벌벌떠
아 제가찾는사람은 1+1=2의 증명에 관련된 사람이 아니고..1+
아 제가찾는사람은 1+1=2의 증명에 관련된 사람이 아니고..
1+1=2라는 간단한것조차도 인간은 맞는지 틀린지 정확히 알수가 없다는.. 수학적인접근이아닌 다른것에 대해 예기한사람입니다.
예전에 얼핏 들었던기억은 있는데.. 이름은 도무지 생각이 나질 않네요 윽..
데카르트 아닌가요?방법적 회의론자.1+1=2 라는 사실조차
데카르트 아닌가요?
방법적 회의론자.
1+1=2 라는 사실조차 신이 속이고 있는 것이 아닌가?
라고 의심하던 사람.
그래서
나는 의심한다. 그러므로 나는 존재한다.
라고 하던.. ^^;
신이 있다고 가정하지 않는 한, 삶의 목적에 대한 질문은 무의미하다. -B. 러셀, 철학자
아 맞네요 데카르트!정말감사합니다 잇힝~ ^^
아 맞네요 데카르트!
정말감사합니다 잇힝~ ^^
흐흐 에디슨농담...
흐흐 에디슨
농담...
건축과 다니면서 프로그램 공부하는 이상한 사람;;
[quote="undeadri"]러셀 같은데요[/quote]제가 존경
제가 존경하는 버트란드 러셀은 괴델의 불완전성의 정리가 나왔을 때 "그래도 일 더하기 일이 이라는 우리의 믿음은 깨지지 않을 것이다"( 정확하지 않음 ^^;; )라는 말씀을 하신 분입니다. ^^;;
1+1=3 이라고 우기는 분도 있어요 :?
1+1=3 이라고 우기는 분도 있어요 :?
#kill -9 world
1+1=田!후다닥!!
1+1=田!
후다닥!!
ㅡ_ㅡ;
1+1 = 0 (mod 2)1+1 = 10 (binary)또
1+1 = 0 (mod 2)
1+1 = 10 (binary)
또 뭐가 있을까요?
1+1 = 8입니다.아는분의 xx수학에서 발췌하였습니다.
1+1 = 8
입니다.
아는분의 xx수학에서 발췌하였습니다.
0+0 = 7 이구요.
나머지 것은 아직 밝혀지지 않았습니다. :oops:
───────────────────────
yaourt -S gothick elegant
khris'log
[quote="kyang2"]나는 의심한다. 그러므로 나는 존재한다.
내가 의심하는거나 생각하는 사고과정이 과연 내가 존재한다는 증거의 필요조건이나 충분조건 혹은 필요충분조건이 될 수 있을까요?
autography
인간에게는 자신의 운명을 거부할 권리가 있다.
...
일단 "1+1=2"를 증명하려면
"1" 이 무엇인가...를 확실히 정의한다.
"+" 가 무엇인가...를 확실히 정의한다.
집합론적으로 1+1=2라는 것을 정의하려면
최소한 "자연수의 집합" 이라는 것을 정의하여야 하며
자연수의 집합에서 가장 작은 수 "1"이란 것을 정의하여야 하며
그 다음 "어떤 수 a의 바로 다음 수 "a+" 이란 것을 정의해야 합니다. (자연수를 정의할때, "바로 다음수"란 것을 정의 할수 있도록 하는 성질을 꼭 가지도록 정의해야 할 것입니다.)
그 다음 더하기 "+"를 다음과 같이 정의합니다.
"a+b = ((a+)+)...)+"
(쉽게 말해서 다음수의 다음수의 다음수의 .. 이것을 b번 반복합니다.)
그다음 "a+ = a+1" 이 됨을 보이고, "1+ =2" 임을 이용한다면 증명은 끝나겠지요.
이것은 집합론적 공리체계에서의 증명방법일 뿐입니다.
이제는 군론(group theory)적으로 생각해 보겠습니다.
(군(group)이란, 쉽게 말해 어떤 이항 연산이 정의되고 닫혀있으며, 이 이항연산의 항등원과 역원이 존재하는 그런 집합이라고 생각하면 됩니다.)
정수의 군(group) Z를 다음과 같이 정의합니다. 생성자(generator)는 "1"입니다. 이항연산 +를 정의합니다.
이때 1+1+1+...+1 가 몇개를 더하든 절대로 0이 되지 않게끔 정의 해야 합니다. (어려운 말로 생성자의 order가 무한이다... 라고 말합니다.)
"+"의 항등원은 0이고, a의 역원은 -a 입니다.
이 동네에서는 썰렁하게도 1 + 1 =2 가 되어버립니다.
왜냐하면 정수의 군 Z에서는 2의 정의가 1+1이기 때문입니다.
즉, 무엇을 증명한다는 것은 증명하고자 하는 대상이 어떤 논리체계에서 어떻게 정의되느냐가 중요한 셈입니다. "절대적으로 옳은 것"은 존재하지 않고, 다만 "어떤 공리체계 위에서 옳은 것"이 존재할 뿐인 셈입니다. 수학에서의 진리란 그렇습니다. 아마 데카르트도 이것에 회의를 느꼈는지도 모르죠.
No Pain, No Gain.
Re: ...
데카르트 시대는 아직 수학의 공리 체계에 대해 깊이있게 다루어지기 한참 전 아닌가요?
Re: ...
얼핏보면 데카르트의 1+1=2인지 알수없다와 1+1=2의 공리의관한것은 본질적으로 같아보일수도있는데
제생각은 다릅니다. 데카르트의 그것은 인지의 불완전성을 말한것이라고 생각되네요.
간단히 생각해보면 데카르트가 신이 1+1=2라고 속일수도 있지 않은가.. 라고 했으니 신이 없다고하면 1+1=2는 그냥 맞는다는 소리이니까요.
공리와 인지의 불완전성은 본질적으로 다르다고 생각합니다.
Re: ...
그렇죠.. 현대 수학의 공리체계가 제대로 완성이 되려면 칸토르, 러셀, 힐버트 등등이 등장해야 하니까요.
제 추측은 당시가 공리체계가 잡혀지기 전이였기 때문에 인간의 인지에 대한 확고한 믿음을 가질 수 없었을 것이란 생각입니다.
(그당시에 군론이나 집합론이 정립되기 이전이라, 제가 쓴데로 데카르트가 생각하지는 않았을 테지만, 분명 "증명"을 하기 위해서 1이나 +를 나름대로 정의하려 애썼을 겁니다.)
어떤 식으로 생각하면 그럴듯하지만, 어떤 식으로 생각하면 전혀 믿을 수 없는 그런 상태인 거죠.
확고한 공리체계가 전 세계적으로 통용되고 있었다면 데카르트도 그런 고민을 안했을 거라고 생각됩니다.
No Pain, No Gain.
전 공리의 문제와 인지의 불완전성은 완전히 다른것이라고 생각하는입장인데요
전 공리의 문제와 인지의 불완전성은 완전히 다른것이라고 생각하는입장인데요.
그때에 확고한 공리체계가 있었다고 치더라도 데카르트는 그런 고민을 했을거라고 생각합니다.
데카르트는 구지 1+1=2라는것을 예로 들었지만 다른것을 예로들면...
이것을 예로 들고싶네요.
내가 손을 쥐었지만 꿈일수도있습니다. 그건 자신은 모르죠. 아니면 자신도모르게 정신적으로 환각상태여서 내가 손을 쥐게했다고 착각할수도있구요. 그래서 결론적으로 내가 느끼기에는 손을 내가 쥐었음에도 불구하고 실제로는 손을 쥐었는지 안쥐었는지 알 수 없는겁니다.
데카르트가 말한것은 이런것인데. 공리와는 전혀 다른 개념이라고 생각됩니다. 아직 이걸 누가 어떻게 이름붙인건 아니지만
'인지의 불완전성' 정도가 적당할것같습니다.
[quote]"내 정신 속에는 오래된 한 가지 의견이 새겨져 있다. 즉
데카르트의 "성찰" 일부분인데요, 확실히 공리체계와는 거리가 멀어보이는군요... 섣부른 추측은 금물 :oops: 결국 지식은 자기 자신을 믿는 거군요.
No Pain, No Gain.
일더하기 일은 중노동 아니었던가요? :twisted: - 야간비
일더하기 일은 중노동 아니었던가요? :twisted:
- 야간비행.
The Feynman algorithm :
1. Write down the problem.
2. Think real hard.
3. Write down the solution.
-_-;;;
[quote="tinywolf"]1+1=田[/quote]1+11+
1+11+11+ ... +1 = windows :lol:
한 단계 더 나가서
1+1 ≈ Microsoft Windows