프로그래밍으로 수학의 무한대를 판단할 수는 없을까요?

무한대라는 수는 규정할 수 없을 것 같습니다.
무한대가 딱 어떤 수라고 판단한다면 그 순간 그 수는 끝이 있는 수, 유한수가 됩니다. 따라서 무한대라면 판단하는 그 순간에도 계속 증가하고 있어야 하죠.
그러므로 무한대의 수를 판단하기란 불가능하지 않을까요?

IEEE 부동소숫점 형식에는 NaN, Inf, -Inf, +0, -0 등의 값이 있습니다. 구체적인 뜻은 찾아보세요. -_-;;

4. 비 판정법과 근 판정법

[정리9] 비판정법.

lim an+1/an = R, 또는 lim an+1/an = ∞

n→∞ n→∞

이라 하면,

a) R < 1 일때 이 급수는 수렴하고

b) R > 1 이거나 lim an+1/an = ∞ 일 때 이 급수는 발산하고

c) R = 1 일때 이 판정법으로는 판정할 수 없다.

증명a)

R<1 이므로 R<r<1 인 r이 존재한다.

이때 졸라 큰 k가 있어서 그 k보다 큰 모든 n에 대하여

ak+1/ak < r, 즉 ak+1 <rak 즉 rak+1 < r^2 ak

ak+2/ak+1 < r, 즉 ak+2 <rak+1<r^2*ak

.

.

.

ak+m/ak+(m-1) < r, 즉 ak+m < rak+(m-1) < r^m ak

가 된다..

따라서 ak+1+ak+2+ak+3+ ... +ak+m+...

의 각 항은 akr+akr^2+akr^3+... +akr^m+...

결국 아래의 급수는 등비급수이고 r<1 이므로 수렴한다.

그런데 위의 급수는 아래급수의 각 항보다 항상 작으므로 비교판정법에 의해

위의 급수도 수렴한다.

증명b)

극한의 정의에 의하여 졸라큰 모든 n과 n+1에 대한 비가 1보다 크므로 항은 점점 커진다

따라서 발산한다.

증명c) p급수에 의하여 예증된다...

[정리9] 근판정법.

lim an^(1/n) = R, 또는 lim an^(1/n) = ∞

n→∞ n→∞

이라 하면,

a) R < 1 일때 이 급수는 수렴하고

b) R > 1 이거나 lim an+1/an = ∞ 일 때 이 급수는 발산하고

c) R = 1 일때 이 판정법으로는 판정할 수 없다.

증명a)

R<1 이므로 R<r<1 인 r이 존재한다.

이때 졸라 큰 k가 있어서 그 k보다 큰 모든 n에 대하여

an^(1/n) < r 즉 an < r^n

여기서 r은 1보다 작은 등비 급수이므로

r + r^2 + r^3 + ... +r^m+.. 은 수렴하고

주어진 급수와 위 급수를 비교해서(비교판정법) 수렴함을 알 수 있다.

증명bc)생략

*요약 : 결국 우리는 지금까지 수렴 발산을 판단하는 기술에 대해 공부한 것이다.

혹시 증명을 전부 이해하지 못했다고 하더라도 이용하는 방법만 알면 될 것 같다.

무한대(infinity) 자체가 수가 아니기 때문에 아무리 큰 데이터형으로도 직접 표현할 순 없습니다. 예를들어 1에서 무한대까지의 거리는 10조의 10조 배에서 무한대까지의 거리와 같이, "무한히 멉니다".

수치계산의 실전에서는(?) 무한대같이 추상적인 개념에 그리 연연할 필요가 없이 주어진 문제에 따라 적당히 용납될 수 있게 충분히 큰 MAX_DOUBLE, MIN_DOUBLE(==1./MAX_DOUBLE) 등을 정의해서 씁니다. 즉 뭘 계산하는데 MAX_DOUBLE보다 커지게 되면 발산하는 것으로 간주하고 반복계산을 중단하고... 이런 식으로. 유효숫자 20~30자리에 지수범위 1.0e+-240 정도만 되어도 현재 물리학에서 알려져 있는 기본 상수들(elementary constants)을 다 표현하고도 남죠.

무한대라는 것은...

lim n->∞ 일때 f(n)값이 무한대 즉 ∞ 발산으로표시하는것인데.....

의미상... n이 한없이 커지면, f(n)은 어떻게 되느냐는 것이.. 극한의 개념이죠.. f(n)도 한없이 커진다면 바로 발산하는 극한이 되는것이죠... 즉.. '무한대'라는 정말 '무한히 큰 어떤수'가 존재하는 것이 아니라 n이 방향성에 따른 f(n)이 방향성이 어떠한가.. 둘사이의 관계식일 뿐이죠...

그런의미에서 무한대를 while(1) a++ 로 표현하는건 틀렸다고 생각합니다.

다만 위에서 언급되었듯이.. 수학적으로 무한대를 판정하는 방법을 컴퓨터의 알고리즘으로 만드는 것은 당연히 가능하다고 생각합니다.

n차 정사각행렬의 역행렬을 C로 구하는 프로그램을 짜는 사람은 봤는데.. 극한은 해석학과 관련된 사항이니... 좀더 어려운것 같기는.. 흐흐 -,-;;