수학에서 어설프게 "무한대" 및 유관 개념들을 다루려 하면 어떤 혼란이 생기는지 보여주는 아주 좋은 사례죠.
괜히 초등학생 때부터 무한소수 같은 걸 가르치려 들어서 이런 사단을 만드는 이유를 모르겠습니다. 차라리 그냥 "1/3은 10진 표기법으로 정확하게 나타낼 수 없다"고 해놓고 나중에 무한급수를 가르칠 때쯤 확장하면 안 되나요?
요점은, 유한한 대상에 적용 가능한 법칙을 함부로 확장해서 무한한 대상에 적용 가능하다고 단정지을 수 없다는 것입니다. 그건 별개의 이야기고, 따로 증명해야 할 문제입니다.
0.999...가 대체 어떤 수일까요. 0.99는 9*(10^-1) + 9*(10^-2)이고, 0.999는 9*(10^-1) + 9*(10^-2) + 9*(10^-3)으로 유한 번의 덧셈으로 표현하고 다룰 수 있습니다만, 저희가 유한 번의 덧셈을 다루듯이 무한 번의 덧셈을 다룰 수 있을까요? 무한소수끼리의 사칙연산이나 대소비교 따위를 함부로 시도할 수 있을까요?
단언컨대, 그럴 수 없습니다. 실제로 0.999...의 무한소수가 어떻게 정의되는지 맛이라도 보려면 최소 무한급수까지는 진도를 나가야 됩니다. 여기서는 vagabond20님이 간단히 보여 주고 계시죠. 이게 아마 고등학교 수학 과정일텐데, 이 때는 무한급수 개념의 핵심인 "극한"과 "수렴"을 엄밀하게 다루지 않을 겁니다.
이공계 대학에 진학해서 epsilon-delta 극한 정의를 배우고 나서야 "한없이 커지는 상태"니 "한없이 작아지는 상태"니 "한없이 가까워지는 상태"니 뭐니 하는 애매모호한 표현에서 벗어날 수 있겠지요. 그 이후에 실수 집합에서 수렴과 연속성에 대해서 더 잘 이해하려면 해석학으로 나아가면 되고요.
수학에서 명제의 참과 거짓을 논할 때 누릴 수 있는 가장 큰 혜택은, 모두가 같은 정의로부터 시작해서 연역을 통해 같은 결론에 도달할 수 있다는 것이죠. 무엇 하러 막연한 개념과 어설픈 직관에 의존하겠습니까?
일정에 맞춰 커리큘럼을 따라 교육을 해야 하는 입장이라면 동의합니다.
위의 글들을 보면 고등학생이 이해 하지 못할내용은 없어 보입니다.
그러나, 위의 댓글들을 보면 입실론-델타까지 알고서 이야기 했는지는 모르겠지만 그와 비슷한 논리까지 간 글도 보입니다.
이렇게 생각을 공유하면서 "이런 길도 있네?", "그럼 그 길 중간 이곳에서 다르게 가면 어떻게 되지?" 등의 생각을 해볼수 있을것입니다.
"이미 답이 정해져 있는것을 뭐하러 고민해"라고 말할수는 있지만, 서로 고민하고 생각을 공유하는건 좋지 않나요?
요즘 kldp 글을 보면 문제에대한 해결방법을 원하는 글이 많지만, 이번글은 생각할수 있는 글이라 좋았습니다.
개발 입장에서 봤을때 "왜 컴파일 에러가 나죠?" 보다 "왜 많은 언어들이 람다를 사용(추가)하죠?" 등의 질문이 많았으면 좋겠습니다.
그냥 전 그랬습니다.
"엡실론-델타 극한 정의"를 정확하게 알아야만 한다는 것이 중요한 것은 아니겠지요.
정말 중요한 것은, 무한소수와 같이 반직관적인 개념을 접했을 때,
억지로 어설프게 직관을 확장하여 그것을 다루려고 하지 않는 것입니다.
그 개념을 잘 정의하여 구체화시키고, 엄밀한 논리로써 다루는 것이 수학의 방식이지요.
엡실론-델타 정의가 바로 그런 방식을 따른 모범적인 사례 중 하나이긴 합니다만,
다른 방법으로 시도하려 한다면 제가 무슨 자격으로 뭐라 하겠습니까.
다만, 이런 방식의 중요성을 이해하고 따르는 데에는 어느 정도 수학에 대한 경험과 지식이 필요하지요.
일반적으로 최소 이공계 대학생 정도는 되어야 그걸 할 수 있을 거라고 기대한다는 점에서 알 수 있습니다.
물론 워낙 극단적인 개인차가 있는 탓에, 중고등학생 때부터 벌써 이 길로 접어드는 학생도 적잖이 있는가 하면,
평생 모르고 살겠다고 결정하는 사람도 상당히 많죠.
네. 저도 생각할 수 있는 글 좋아합니다. 제 전공인 컴퓨터뿐만 아니라 수학에 대해서도 그렇습니다.
하지만 무작정 "0.999...는 1인가?"라는 질문부터 답하려 하기보다는, 이런 질문들은 어떻습니까.
"무한소수 표기는 어떻게 실수에 대응되는가?"
"하나의 무한소수 표기에 대응되는 실수가 반드시 존재하는가/유일한가?"
"무한소수 표기법으로 쓰여진 수도 유한소수를 다루듯 사칙연산을 할 수 있는가?
e.g., 유한소수에 대해서는 예컨대 0.33 × 3 = 0.99인데, 0.333... × 3 = 0.999...와 같이 쓸 수 있는가?"
이런 질문들이 좀 더 기초적이라고 할 수 있지요.
앞서 댓글 달아 주신 분들 중에서는 이런 질문들이 자명하다는 듯 생략하신 분들도 계셨지만
생각해보면 그렇게 자명한 질문들이 아니고, 저는 꽤 오랫동안 이런 질문들을 두고 고민했었습니다.
0.99999.... x 10 = 9.99999.... 라는 식을 고등학생이 이해할 수는 있겠지만, 문제는 저 식 자체가 근본적으로 엉터리라는 거죠.
유한한 수에 대해서 정의된 연산을 무한 표현에 적용해 놓고 문제를 이해한다고 생각하기보다는, 어떠한 값에 무한히 다가가지만, 결코 그 값이 될 수는 없다는 극한값의 의미를 먼저 생각해야 할 것입니다.
입실론 델타의 의미도 또한 인간이 이해할 수 있는 유한한 값의 한계 내에서 문제를 증명하는 것입니다.
다시 말해, 위 문제에 적용한다면, 아무리 1에 가까운 유한한 수 x를 생각해 내도, 이 보다 1에 더 가까운 유한한 수 0.9999...9를 찾아낼 수 있다는 것입니다.
조금 다른 방향으로 이야기 해 보고자 합니다.
*
우주의 시작, 정확히 말하자면 우리가 살고 있는 우주의 시작은 빅뱅이라는 사건을 의미하는데, 그 빅뱅이라는것은 '무한히 작은점' 에서 시작한것이라고 합니다.
이는 근/현대 우주의 관측을 통해서 유추하여, 인간이 생각 해 낼 수 있는 한계입니다.
즉, 에드윈 허블이라는 사람이 우리가 살고 있는 우주가 계속 팽창하고 있다는 사실을 밝혀내므로서, 그렇다면 이 우주는 어떻게 생겨날 수 있었을까 하고 천문학자들과 천체물리학자들이 계산해 내고 추정하니 (즉 거꾸로 시간을 거슬러 올라가니, 팽창이라는 속성 상 그 시작은 지금보다 작았을것이라 여겨) '무한히 작은점' 으로까지 올라가는 겁니다.
그리고 이 '무한히 작은점' 이라는 개념은 수학의 미분방정식의 중요한 기반이 되는데, 수학 세계에서는 우리 머리속에 있는 관념점, 사고실험적인 가설에 갇히게 되지만, 우주관측과 아인슈타인의 상대성이론이 등장하면서, 인간이 실제로는 발견하지 못하였지만 그럴 수 밖에 없다는 사실로 증명이 되기에 이른다고 합니다.
즉, 위의 생각만 정리하자면 '무한히 작은점' 은 실제 있었고, 현대 천체물리학이나 양자역학 등에서도 블랙홀 이론에 역시 등장하고 있습니다.
다만, 우리가 사는 실제 사회에서는 존재하지 못하는것으로 생각하니 유리수, 무리수, 유한, 무한, 정수, 실수 등의 개념과 동등하게 이론적으로만 가능한것입니다.
또한 '무한히 작은점' 을 정확하게 컴퓨터 기억장치나 출력장치 (화면이나 그래프상)에 기록하거나 표시 할 수 없습니다 (지금 기술로는).
즉, 우리는 그 '무한히 작은점' 또는 수렴 개념을 있다고 하자, 하고서는 위의 많은 의견이나 증명등을 대하게 되면 그만일겁니다.
더 자세한 내용은 수학자나, 천체물리학자 등이 더 잘 정리해서 설명할 수 있으리라 봅니다.
재미있는 문제군요,
실수의 범위 내에서는 위에서 여러 방법으로 증명된 바와 같이 0.99999999... = 1로 봐야 할 것 같긴 하지만,
"infinitesimal"이란 개념까지 확장한다면 좀 더 복잡해 지는것 같습니다.
예를 들어 sign(x)가 x의 부호를 묻는,
즉 sign(x)= 1 for x > 0, sign(0)=0, sign(x) = -1 for x<0으로 주어진다면,
sign(0.99999999... - 1) = -1,
sign(1 - 1) = 0,
sign(1 - 0.999999...) = 1이 되는 것 아닐까요 ?
0.3333333... 이 과연 특별한 분석이 필요한 수였던가요? 그냥 1/3일 뿐인데..
그리고 1/3이 평범하다면 거기에 3을 곱했을 뿐인 0.9999...도 그냥 평범한 수인 겁니다. 그냥 1의 다른 표기일 뿐이죠.
이거는 개인적으로 그냥 진법을 고정한 상태에서의 소수 표현의 한계라 봅니다. (본문의 예와 동일하진 않지만) 십진수 표현시 지극히 평범한 소수도 진법만 바꾸면 바로 무한표기가 필요한 숫자로 둔갑하곤 하죠. 그 반대도 마찬가지고요. 분명 본질적으로 똑같은 수이고 전혀 복잡하지 않은 수인데 말이죠. 그래서 분수가 유용하게 쓰이는 것이기도 하고요.
대충 모양새가 맞는 것 같아 보이면 그 논리를 엄격하게 따져보지도 않고 그냥 받아들이는 것 말이죠.
물론 그게 중고등학생들 탓이라고 말하려는 건 아닙니다. 아직 배우지 않았고, 아직 훈련받지 않았으니까요.
1을 3으로 나누면 나눗셈이 끝나지 않고 3을 계속 잇더라, 그런 관찰은 좋지요.
그렇다면 편의상 이것을 0.333...으로 표기할 수 있지 않겠느냐, 좋습니다.
우리는 어떤 수든 어떤 기호로든 나타낼 수 있으니까요.
정말 문제가 되는 것은, 편의상 이렇게 생략하여 나타낸 무한소수를
마치 유한소수 더하듯 더할 수 있냐는 것입니다.
네. 0.3333... + 0.3333... = 0.6666...이지요.
하지만 이 등식은 무한소수간의 덧셈으로부터 얻어낸 것이 아닙니다.
1/3 + 1/3 = 2/3으로부터, 그리고 2/3을 (같은 논리로) 0.6666...으로 표기할 수도 있지 않겠느냐는 관찰로부터 나왔지요.
그러니, 0.3333... + 0.3333... + 0.3333... = 0.9999... 라는 등식을 어떻게 정당화할 수 있겠습니까.
1 = 0.9999...라는 가정을 먼저 깔고 시작하지 않으면, 위 등식을 바로 증명할 수 없습니다.
그 가정은, 우리가 원래 증명하려고 했던 그 가설이지요. 이런 걸 순환논법라고 하던가요.
물론 0.3 + 0.3 + 0.3 = 0.9이고, 0.33 + 0.33 + 0.33 = 0.99이니
0.333... + 0.333... + 0.333... = 0.999...이지 않겠느냐고 말씀하실 수도 있습니다.
하지만, 유한한 개체에 대해서 참인 서술이, 무한한 개체에 대해서도 여전히 참일 거라고 함부로 가정할 수 없음을 암시하는 수없이 많은 관찰들이 있습니다.
애초에, 0.9 < 1이고 0.99 < 1이지만 0.99... < 1은 아닐 거라는 게 저희의 입장이 아니었던가요?
그런 사유로, 0.333...을 경유하는 종류의 증명은 대체로 수학적 엄밀성을 깎아먹고 있는 겁니다.
중고등학생들의 직관에 호소하기에는 좋지만 그 이상의 가치는 없는 것이지요.
실제로 1/3 = 0.333333.... 으로 가르치고 배웁니다. 관찰이 아니고 아예 교과서를 통해 그렇게 배워 버립니다. 잘못된 부분이 있다면 바로 여기겠죠? 헌데 직접 손으로 나눠보면 무한 반복되므로 덮어놓고 그런 거 없다고 할 수도 없는 노릇. "편의상 이것을 0.333...으로 표기할 수 있지 않겠느냐"(가 아니고 아예 그렇게 쓰라고 하죠) 이게 바로 제가 말한 진수기반 소수 표현의 한계란 겁니다. 결코 무한하지 않은 수를 무한한 형태로 표기해야 하니 불완전한 약속이 동원될 수밖에 없죠.
말씀하신 대로 이미 약속한 걸 다시 증명하라 하니 "간단"해질 수밖에 없는 것이고,
그 약속이 다가 아님을 중고등학교에선 제대로 배우지 않기 때문에 "중고딩레벨"일 수밖에 없는 거죠. 중고딩레벨이면 충분하다는게 아니고, 중고딩레벨에서의 표현이라는 의미였습니다.
이외의 의미는 없습니다.
"뭘 그리 복잡하게 생각하냐 이리 간단한 것을" 이라는 의미가 아니었는데 쓰신 글을 보니 그렇게 보이기도 하네요.
잘못됐다고 말하지 않았습니다.
결론은 올바르되, 결론에 이르기 위한 엄밀한 논리 전개의 중간 과정이 생략되었을 뿐입니다.
중고등학교 교과서에서 그런 부분을 충분히 중요하게 다루지 않으니까요. 하지만 수학에서는 매우 중요하지요.
살짝 미묘하고도 주관적인 표현의 차이일 수도 있겠습니다만, 저는 "중고등학생 레벨 증명"이라는 표현은
수학적으로 올바르면서도 중고등학생 교과과정 수준에서 이해할 수 있는 증명일 때만 사용합니다.
그리고 제 글을 상세히 읽어 보셨다면, 제가 1/3 = 0.3333... 부분을 지적한 게 아니라
0.3333... + 0.3333... + 0.3333... = 0.9999... 부분을 지적했다는 걸 아실 수 있으실 겁니다.
이 등식은 마치 성립될 것 같아 보이고, 결론적으로 보면 성립하기는 하지만
결코 당연하게 성립하는 것이 아닙니다. 따라서 별도의 보완 없이 논리의 중간 단계로 거쳐가기에는 부적합합니다.
Disclaimer: 혹시 몰라서 덧붙입니다만, 그렇다고 제가 중고등학교 과정에 모든 논리적 상세를 다 채워넣어야 한다고 주장하는 건 아닙니다.
예컨대 자연수를 가르칠 땐 손가락으로 헤아리기부터 가르쳐야죠. 페아노의 공리계를 가르칠 것이 아니라.
P.S.: 진수기반 소수 표현의 한계라기보다는, 진수기반 유한 소수 표현의 한계라고 표현하는 게 더 정확하지 않을까요.
극한과 무한급수를 제대로 정의하고 나면 무한소수는 정말로 강력해집니다. 흔히 말하는 분수(정확히는 "두 정수의 비")는 유리수는 모두 표현할 수 있을지언정 무리수는 표현할 수 없는데, 무한소수는 무리수를 표현할 수 있거든요.
개인적인 생각이지만, 그 풍부한 표현력이 저는 꽤 재밌다고 생각합니다. 수학적으로 중요한 몇몇 증명에서도 유용하게 쓰이고요. (e.g., 실수 집합의 기수가 자연수 집합의 기수보다 크다는 칸토어의 증명)
지금와서 언어적으로 생각해 보면 숫자도 문자며 표현이고 문자 표현은 그 수치에 근접하게만 표현하는것 같습니다.
계산결과가 34.144329472 면 표현이 그럴뿐 원래 수치는 약간 딴것일 수도 있다는 거죠. 본질에 근접하게 표현한거지 본질과 차이날수 있어서 그냥 그렇게 알아들으면 될것 같기도 합니다. 0.999.... 이던 1 이던 서로 근접하지 안습니까? 그걸 0.999.. 로 표현하던 1 로 표현하던 수치의 본질을 알아들으면 될것같습니다. 그리고 또하나 0.999.. 이던 1 이던 같은 본질을 얘기하고 있을 겁니다.
0.999... 는 숫자라기 보다는 수렴값을 나타내는
0.999... 는 숫자라기 보다는 수렴값을 나타내는 expression 이죠.
때문에 이러한 표현을 숫자처럼 연산하는 것은 수학적으로 엄밀하게 따지면 맞지는 않는 것입니다.
0.999... 의 값(극한값)이 1인건 맞습니다.
아닐겁니다.
...
0.9999 != 1
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젊음'은 모든것을 가능하게 만든다.
매일 1억명이 사용하는 프로그램을 함께 만들어보고 싶습니다.
정규 근로 시간을 지키는. 야근 없는 회사와 거래합니다.
각 분야별. 좋은 책'이나 사이트' 블로그' 링크 소개 받습니다. shintx@naver.com
0.999 는 1 아니지만 0.9 다음에 9가 끝없이
0.999 는 1 아니지만 0.9 다음에 9가 끝없이 가면 1이 되는 거죠.
세벌 https://sebuls.blogspot.kr/
이상한건
.999... 가 끝없이 1에 가까이 가지만 닿지 않는단는 겁니다.
끝이 없기때문에 닿는지 안닿는지 모르는거 아닐까요?
끝이 없기때문에 닿는지 안닿는지 모르는거 아닐까요?
글쎼요..
닿으면 1이 되지 않을까요?
증명
증명
x = .99999.... (1)
x + x = 1.99999... (2)
(2) - (1)
x = 1
http://mathbang.net/238
http://mathbang.net/238
또 다른 증명.
Agreeing with slee0303
Proof: 0.9999... = Sum 9/10^n (n=1 -> Infinity) = lim sum 9/10^n (m -> Infinity) (n=1 -> m) = lim .9(1-10^-(m+1))/(1-1/10) (m -> Infinity) = lim .9(1-10^-(m+1))/(9/10) (m -> Infinity) = .9/(9/10) = 1여의도자바
.9999...를
.9 + .09 + .009 ... 의 합으로 생각할수도 있네요.
제 멋대로 생각하기에...
제 멋대로 생각하기에
x = 0.9...
1 - x = 0.0......
고로 0.0.... = 0 이라면
x = 1
이것도 쉽게 설명된 좋은 방법이네요
이것도 쉽게 설명된 좋은 방법이네요
근데 만약 .000...1 이 0 이라면 .0000000000000000000000000000000000000000000000000001 이라도 그보다 더 작더라도 값이 있는데 0 이라니 이상하네요.
0.0 무한에 뒷자리 n(n는 1이상 자연수)이 붙을경우 0으로 봐야 하는가?
0.0 무한에 뒷자리 n(n은 n>=1 이고 n<10 인 자연수)이 붙을경우 0으로 봐야 하는가?
이 말씀인가요?
이것에 대한 제 생각은 자연수라는 무한 집합에 자연수 하나 더해도 자연수라는 본질은 변하지 않기에
0 이라고 생각합니다.
유구한 역사의 영점구땡 떡밥이 상륙했군요. -_-;;;
수학에서 어설프게 "무한대" 및 유관 개념들을 다루려 하면 어떤 혼란이 생기는지 보여주는 아주 좋은 사례죠.
괜히 초등학생 때부터 무한소수 같은 걸 가르치려 들어서 이런 사단을 만드는 이유를 모르겠습니다. 차라리 그냥 "1/3은 10진 표기법으로 정확하게 나타낼 수 없다"고 해놓고 나중에 무한급수를 가르칠 때쯤 확장하면 안 되나요?
요점은, 유한한 대상에 적용 가능한 법칙을 함부로 확장해서 무한한 대상에 적용 가능하다고 단정지을 수 없다는 것입니다. 그건 별개의 이야기고, 따로 증명해야 할 문제입니다.
0.999...가 대체 어떤 수일까요. 0.99는 9*(10^-1) + 9*(10^-2)이고, 0.999는 9*(10^-1) + 9*(10^-2) + 9*(10^-3)으로 유한 번의 덧셈으로 표현하고 다룰 수 있습니다만, 저희가 유한 번의 덧셈을 다루듯이 무한 번의 덧셈을 다룰 수 있을까요? 무한소수끼리의 사칙연산이나 대소비교 따위를 함부로 시도할 수 있을까요?
단언컨대, 그럴 수 없습니다. 실제로 0.999...의 무한소수가 어떻게 정의되는지 맛이라도 보려면 최소 무한급수까지는 진도를 나가야 됩니다. 여기서는 vagabond20님이 간단히 보여 주고 계시죠. 이게 아마 고등학교 수학 과정일텐데, 이 때는 무한급수 개념의 핵심인 "극한"과 "수렴"을 엄밀하게 다루지 않을 겁니다.
이공계 대학에 진학해서 epsilon-delta 극한 정의를 배우고 나서야 "한없이 커지는 상태"니 "한없이 작아지는 상태"니 "한없이 가까워지는 상태"니 뭐니 하는 애매모호한 표현에서 벗어날 수 있겠지요. 그 이후에 실수 집합에서 수렴과 연속성에 대해서 더 잘 이해하려면 해석학으로 나아가면 되고요.
수학에서 명제의 참과 거짓을 논할 때 누릴 수 있는 가장 큰 혜택은, 모두가 같은 정의로부터 시작해서 연역을 통해 같은 결론에 도달할 수 있다는 것이죠. 무엇 하러 막연한 개념과 어설픈 직관에 의존하겠습니까?
일정에 맞춰 커리큘럼을 따라 교육을 해야 하는
일정에 맞춰 커리큘럼을 따라 교육을 해야 하는 입장이라면 동의합니다.
위의 글들을 보면 고등학생이 이해 하지 못할내용은 없어 보입니다.
그러나, 위의 댓글들을 보면 입실론-델타까지 알고서 이야기 했는지는 모르겠지만 그와 비슷한 논리까지 간 글도 보입니다.
이렇게 생각을 공유하면서 "이런 길도 있네?", "그럼 그 길 중간 이곳에서 다르게 가면 어떻게 되지?" 등의 생각을 해볼수 있을것입니다.
"이미 답이 정해져 있는것을 뭐하러 고민해"라고 말할수는 있지만, 서로 고민하고 생각을 공유하는건 좋지 않나요?
요즘 kldp 글을 보면 문제에대한 해결방법을 원하는 글이 많지만, 이번글은 생각할수 있는 글이라 좋았습니다.
개발 입장에서 봤을때 "왜 컴파일 에러가 나죠?" 보다 "왜 많은 언어들이 람다를 사용(추가)하죠?" 등의 질문이 많았으면 좋겠습니다.
그냥 전 그랬습니다.
흠. 하긴 그렇군요.
흠. 하긴 그렇군요.
"엡실론-델타 극한 정의"를 정확하게 알아야만 한다는 것이 중요한 것은 아니겠지요.
정말 중요한 것은, 무한소수와 같이 반직관적인 개념을 접했을 때,
억지로 어설프게 직관을 확장하여 그것을 다루려고 하지 않는 것입니다.
그 개념을 잘 정의하여 구체화시키고, 엄밀한 논리로써 다루는 것이 수학의 방식이지요.
엡실론-델타 정의가 바로 그런 방식을 따른 모범적인 사례 중 하나이긴 합니다만,
다른 방법으로 시도하려 한다면 제가 무슨 자격으로 뭐라 하겠습니까.
다만, 이런 방식의 중요성을 이해하고 따르는 데에는 어느 정도 수학에 대한 경험과 지식이 필요하지요.
일반적으로 최소 이공계 대학생 정도는 되어야 그걸 할 수 있을 거라고 기대한다는 점에서 알 수 있습니다.
물론 워낙 극단적인 개인차가 있는 탓에, 중고등학생 때부터 벌써 이 길로 접어드는 학생도 적잖이 있는가 하면,
평생 모르고 살겠다고 결정하는 사람도 상당히 많죠.
네. 저도 생각할 수 있는 글 좋아합니다. 제 전공인 컴퓨터뿐만 아니라 수학에 대해서도 그렇습니다.
하지만 무작정 "0.999...는 1인가?"라는 질문부터 답하려 하기보다는, 이런 질문들은 어떻습니까.
"무한소수 표기는 어떻게 실수에 대응되는가?"
"하나의 무한소수 표기에 대응되는 실수가 반드시 존재하는가/유일한가?"
"무한소수 표기법으로 쓰여진 수도 유한소수를 다루듯 사칙연산을 할 수 있는가?
e.g., 유한소수에 대해서는 예컨대 0.33 × 3 = 0.99인데, 0.333... × 3 = 0.999...와 같이 쓸 수 있는가?"
이런 질문들이 좀 더 기초적이라고 할 수 있지요.
앞서 댓글 달아 주신 분들 중에서는 이런 질문들이 자명하다는 듯 생략하신 분들도 계셨지만
생각해보면 그렇게 자명한 질문들이 아니고, 저는 꽤 오랫동안 이런 질문들을 두고 고민했었습니다.
0.99999.... x 10 = 9.99999...
0.99999.... x 10 = 9.99999.... 라는 식을 고등학생이 이해할 수는 있겠지만, 문제는 저 식 자체가 근본적으로 엉터리라는 거죠.
유한한 수에 대해서 정의된 연산을 무한 표현에 적용해 놓고 문제를 이해한다고 생각하기보다는, 어떠한 값에 무한히 다가가지만, 결코 그 값이 될 수는 없다는 극한값의 의미를 먼저 생각해야 할 것입니다.
입실론 델타의 의미도 또한 인간이 이해할 수 있는 유한한 값의 한계 내에서 문제를 증명하는 것입니다.
다시 말해, 위 문제에 적용한다면, 아무리 1에 가까운 유한한 수 x를 생각해 내도, 이 보다 1에 더 가까운 유한한 수 0.9999...9를 찾아낼 수 있다는 것입니다.
결국 바른 방향으로 고민할수 있게 가이드 해주는 것이
결국 바른 방향으로 고민할수 있게 가이드 해주는 것이 제일 좋은 방법이죠.
무한히 작은 점
조금 다른 방향으로 이야기 해 보고자 합니다.
*
우주의 시작, 정확히 말하자면 우리가 살고 있는 우주의 시작은 빅뱅이라는 사건을 의미하는데, 그 빅뱅이라는것은 '무한히 작은점' 에서 시작한것이라고 합니다.
이는 근/현대 우주의 관측을 통해서 유추하여, 인간이 생각 해 낼 수 있는 한계입니다.
즉, 에드윈 허블이라는 사람이 우리가 살고 있는 우주가 계속 팽창하고 있다는 사실을 밝혀내므로서, 그렇다면 이 우주는 어떻게 생겨날 수 있었을까 하고 천문학자들과 천체물리학자들이 계산해 내고 추정하니 (즉 거꾸로 시간을 거슬러 올라가니, 팽창이라는 속성 상 그 시작은 지금보다 작았을것이라 여겨) '무한히 작은점' 으로까지 올라가는 겁니다.
그리고 이 '무한히 작은점' 이라는 개념은 수학의 미분방정식의 중요한 기반이 되는데, 수학 세계에서는 우리 머리속에 있는 관념점, 사고실험적인 가설에 갇히게 되지만, 우주관측과 아인슈타인의 상대성이론이 등장하면서, 인간이 실제로는 발견하지 못하였지만 그럴 수 밖에 없다는 사실로 증명이 되기에 이른다고 합니다.
즉, 위의 생각만 정리하자면 '무한히 작은점' 은 실제 있었고, 현대 천체물리학이나 양자역학 등에서도 블랙홀 이론에 역시 등장하고 있습니다.
다만, 우리가 사는 실제 사회에서는 존재하지 못하는것으로 생각하니 유리수, 무리수, 유한, 무한, 정수, 실수 등의 개념과 동등하게 이론적으로만 가능한것입니다.
또한 '무한히 작은점' 을 정확하게 컴퓨터 기억장치나 출력장치 (화면이나 그래프상)에 기록하거나 표시 할 수 없습니다 (지금 기술로는).
즉, 우리는 그 '무한히 작은점' 또는 수렴 개념을 있다고 하자, 하고서는 위의 많은 의견이나 증명등을 대하게 되면 그만일겁니다.
더 자세한 내용은 수학자나, 천체물리학자 등이 더 잘 정리해서 설명할 수 있으리라 봅니다.
여의도자바
재미있는 문제군요,
재미있는 문제군요,
실수의 범위 내에서는 위에서 여러 방법으로 증명된 바와 같이 0.99999999... = 1로 봐야 할 것 같긴 하지만,
"infinitesimal"이란 개념까지 확장한다면 좀 더 복잡해 지는것 같습니다.
예를 들어 sign(x)가 x의 부호를 묻는,
즉 sign(x)= 1 for x > 0, sign(0)=0, sign(x) = -1 for x<0으로 주어진다면,
sign(0.99999999... - 1) = -1,
sign(1 - 1) = 0,
sign(1 - 0.999999...) = 1이 되는 것 아닐까요 ?
[냉무] 1-0.999.. = 0.999... - 1 = 0
1-0.999.. = 0.999... - 1 = 0
연속하지 않은 함수에 대해서는 값이 달라질수 있겠죠.
연속하지 않은 함수에 대해서는 값이 달라질수 있겠죠..
간단한 중고딩레벨 증명.
1/3 + 1/3 + 1/3 = 1
0.333... + 0.333... + 0..333 = 1/3 + 1/3 + 1/3
0.999... = 1.
0.3333333... 이 과연 특별한 분석이 필요한 수였던가요? 그냥 1/3일 뿐인데..
그리고 1/3이 평범하다면 거기에 3을 곱했을 뿐인 0.9999...도 그냥 평범한 수인 겁니다. 그냥 1의 다른 표기일 뿐이죠.
이거는 개인적으로 그냥 진법을 고정한 상태에서의 소수 표현의 한계라 봅니다. (본문의 예와 동일하진 않지만) 십진수 표현시 지극히 평범한 소수도 진법만 바꾸면 바로 무한표기가 필요한 숫자로 둔갑하곤 하죠. 그 반대도 마찬가지고요. 분명 본질적으로 똑같은 수이고 전혀 복잡하지 않은 수인데 말이죠. 그래서 분수가 유용하게 쓰이는 것이기도 하고요.
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글쎄요
글쎄요
그게 간단하다고 생각하는 것이야말로 중고등학생 레벨의 착각이겠죠.
대충 모양새가 맞는 것 같아 보이면 그 논리를 엄격하게 따져보지도 않고 그냥 받아들이는 것 말이죠.
물론 그게 중고등학생들 탓이라고 말하려는 건 아닙니다. 아직 배우지 않았고, 아직 훈련받지 않았으니까요.
1을 3으로 나누면 나눗셈이 끝나지 않고 3을 계속 잇더라, 그런 관찰은 좋지요.
그렇다면 편의상 이것을 0.333...으로 표기할 수 있지 않겠느냐, 좋습니다.
우리는 어떤 수든 어떤 기호로든 나타낼 수 있으니까요.
정말 문제가 되는 것은, 편의상 이렇게 생략하여 나타낸 무한소수를
마치 유한소수 더하듯 더할 수 있냐는 것입니다.
네. 0.3333... + 0.3333... = 0.6666...이지요.
하지만 이 등식은 무한소수간의 덧셈으로부터 얻어낸 것이 아닙니다.
1/3 + 1/3 = 2/3으로부터, 그리고 2/3을 (같은 논리로) 0.6666...으로 표기할 수도 있지 않겠느냐는 관찰로부터 나왔지요.
그러니, 0.3333... + 0.3333... + 0.3333... = 0.9999... 라는 등식을 어떻게 정당화할 수 있겠습니까.
1 = 0.9999...라는 가정을 먼저 깔고 시작하지 않으면, 위 등식을 바로 증명할 수 없습니다.
그 가정은, 우리가 원래 증명하려고 했던 그 가설이지요. 이런 걸 순환논법라고 하던가요.
물론 0.3 + 0.3 + 0.3 = 0.9이고, 0.33 + 0.33 + 0.33 = 0.99이니
0.333... + 0.333... + 0.333... = 0.999...이지 않겠느냐고 말씀하실 수도 있습니다.
하지만, 유한한 개체에 대해서 참인 서술이, 무한한 개체에 대해서도 여전히 참일 거라고 함부로 가정할 수 없음을 암시하는 수없이 많은 관찰들이 있습니다.
애초에, 0.9 < 1이고 0.99 < 1이지만 0.99... < 1은 아닐 거라는 게 저희의 입장이 아니었던가요?
그런 사유로, 0.333...을 경유하는 종류의 증명은 대체로 수학적 엄밀성을 깎아먹고 있는 겁니다.
중고등학생들의 직관에 호소하기에는 좋지만 그 이상의 가치는 없는 것이지요.
결국 정석적으로 가려면 무한급수를 끌고 들어오지 않을 수 없습니다.
제목이 오해를 낳았네요. 부가설명이 빠지는 바람에
실제로 1/3 = 0.333333.... 으로 가르치고 배웁니다. 관찰이 아니고 아예 교과서를 통해 그렇게 배워 버립니다. 잘못된 부분이 있다면 바로 여기겠죠? 헌데 직접 손으로 나눠보면 무한 반복되므로 덮어놓고 그런 거 없다고 할 수도 없는 노릇. "편의상 이것을 0.333...으로 표기할 수 있지 않겠느냐"(가 아니고 아예 그렇게 쓰라고 하죠) 이게 바로 제가 말한 진수기반 소수 표현의 한계란 겁니다. 결코 무한하지 않은 수를 무한한 형태로 표기해야 하니 불완전한 약속이 동원될 수밖에 없죠.
말씀하신 대로 이미 약속한 걸 다시 증명하라 하니 "간단"해질 수밖에 없는 것이고,
그 약속이 다가 아님을 중고등학교에선 제대로 배우지 않기 때문에 "중고딩레벨"일 수밖에 없는 거죠. 중고딩레벨이면 충분하다는게 아니고, 중고딩레벨에서의 표현이라는 의미였습니다.
이외의 의미는 없습니다.
"뭘 그리 복잡하게 생각하냐 이리 간단한 것을" 이라는 의미가 아니었는데 쓰신 글을 보니 그렇게 보이기도 하네요.
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잘못됐다고 말하지 않았습니다.
잘못됐다고 말하지 않았습니다.
결론은 올바르되, 결론에 이르기 위한 엄밀한 논리 전개의 중간 과정이 생략되었을 뿐입니다.
중고등학교 교과서에서 그런 부분을 충분히 중요하게 다루지 않으니까요. 하지만 수학에서는 매우 중요하지요.
살짝 미묘하고도 주관적인 표현의 차이일 수도 있겠습니다만, 저는 "중고등학생 레벨 증명"이라는 표현은
수학적으로 올바르면서도 중고등학생 교과과정 수준에서 이해할 수 있는 증명일 때만 사용합니다.
그리고 제 글을 상세히 읽어 보셨다면, 제가 1/3 = 0.3333... 부분을 지적한 게 아니라
0.3333... + 0.3333... + 0.3333... = 0.9999... 부분을 지적했다는 걸 아실 수 있으실 겁니다.
이 등식은 마치 성립될 것 같아 보이고, 결론적으로 보면 성립하기는 하지만
결코 당연하게 성립하는 것이 아닙니다. 따라서 별도의 보완 없이 논리의 중간 단계로 거쳐가기에는 부적합합니다.
Disclaimer: 혹시 몰라서 덧붙입니다만, 그렇다고 제가 중고등학교 과정에 모든 논리적 상세를 다 채워넣어야 한다고 주장하는 건 아닙니다.
예컨대 자연수를 가르칠 땐 손가락으로 헤아리기부터 가르쳐야죠. 페아노의 공리계를 가르칠 것이 아니라.
P.S.: 진수기반 소수 표현의 한계라기보다는, 진수기반 유한 소수 표현의 한계라고 표현하는 게 더 정확하지 않을까요.
극한과 무한급수를 제대로 정의하고 나면 무한소수는 정말로 강력해집니다. 흔히 말하는 분수(정확히는 "두 정수의 비")는 유리수는 모두 표현할 수 있을지언정 무리수는 표현할 수 없는데, 무한소수는 무리수를 표현할 수 있거든요.
개인적인 생각이지만, 그 풍부한 표현력이 저는 꽤 재밌다고 생각합니다. 수학적으로 중요한 몇몇 증명에서도 유용하게 쓰이고요. (e.g., 실수 집합의 기수가 자연수 집합의 기수보다 크다는 칸토어의 증명)
1/3 = 0.333333...
1/3 = 0.333333...
위식이 참일때,
1/3 + 1/3 + 1/3 = 1
위 식이 참이며,
0.333333... + 0.333333... + 0.333333... = 1
위 식이 참일 것입니다.
이상의 과정에서
0.999999... = 1
이 식이 참인지 증명했습니까?
숫자는 수치를 근접한게 표현한것일뿐일수도..
지금와서 언어적으로 생각해 보면 숫자도 문자며 표현이고 문자 표현은 그 수치에 근접하게만 표현하는것 같습니다.
계산결과가 34.144329472 면 표현이 그럴뿐 원래 수치는 약간 딴것일 수도 있다는 거죠. 본질에 근접하게 표현한거지 본질과 차이날수 있어서 그냥 그렇게 알아들으면 될것 같기도 합니다. 0.999.... 이던 1 이던 서로 근접하지 안습니까? 그걸 0.999.. 로 표현하던 1 로 표현하던 수치의 본질을 알아들으면 될것같습니다. 그리고 또하나 0.999.. 이던 1 이던 같은 본질을 얘기하고 있을 겁니다.