소수 표현시 유효자리에 대한 궁금증이 있습니다.

참고자료 : http://en.wikipedia.org/wiki/Binary32

123.99를 이진수로 변환하면 아래와 같은 결과가 나옵니다.
무한소수입니다. scale을 100 이상으로 아무리 크게 늘려도 끝나지 않습니다.

$ echo "scale=100; ibase=10; obase=2; 12399 * 10^-2" |bc
1111011.111111010111000010100011110101110000101000111101011100001010\
00111101011100001010001111010111000010100011110101110000101000111101\
01110000101000111101011100001010001111010111000010100011110101110000\
10100011110101110000101000111101011100001010001111010111000010100011\
11010111000010100011110101110000101000111101011100001010001111010111\
0

참고로 16진수로 변환하면 아래와 같은데, 이진수에서는 알아보기 어려웠던 패턴이 보입니다.
소수점 아래 두번째 자리부터 D70A3이 반복되는 순환소수임을 알 수 있죠.

$ echo "scale=100; ibase=10; obase=16; 12399 * 10^-2" |bc
7B.FD70A3D70A3D70A3D70A3D70A3D70A3D70A3D70A3D70A3D70A3D70A3D70A3D70A\
3D70A3D70A3D70A3D70

즉, 십진수로는 딱 떨어지던 123.99가 2진수/16진수로 변환하게 되면 순환소수인 무한소수가 됩니다.
이것을 32-bit float 타입에 저장하려면 가수부는 총 23bit까지만 저장 가능하므로
위의 무한소수가운데 1111011.11111101011100001 까지의 유효숫자만 보존되고,
2^6 * 1.11101111111101011100001 형태로 소숫점 자리가 이동되어 각각 지수부와 가수부에 저장됩니다.

주의할 점은, 가수부에 저장되는 것은 빨간색으로 표시된 23비트뿐이고
녹색으로 표시된 1비트는 실제로 저장되지는 않지만 항상 가수부에 1.0을 더하는 규칙의 형태로 존재한다는 것입니다.
사실상 24개의 유효숫자를 23자리에 표기한다고 생각하면 되겠습니다.

이런 식으로 유효숫자가 잘려나간 채로 float에 저장되므로
이후 printf에서 다시 10진수로 변환하면 처음의 123.99와는 다른 결과가 나오게 되는 것입니다.

2^6 * 1.11101111111101011100001
=> 1111011.11111101011100001
=> 123.98999786376953125

2진수에서 10진수로의 변환은 아래와 같이 확인해볼수 있습니다.

$ echo "ibase=2; obase=A; 1111011.11111101011100001" |bc
123.98999786376953125