gcc에서 #include와 함수 선언에 관한 개념이 안 잡히는 군요.

gcc 에서는 기본적으로 표준 라이브러리는 자동적으로 링크를 합니다.
따라서 printf 같은 표준 라이브러리는 헤더 파일이 없어도 알아서 링크를 합니다.
단지 헤더 파일이 없을 경우 return 값을 알 수 없으므로 이것을 int 로 가정합니다.

int main() 
{ 
    printf( "test\n" ); 
    return 0; 
} 

위의 경우 printf는 return 값을 알수 없으므로 int로 가정합니다.
위의 경우 원래 printf의 return 값이 int 이므로 별 문제 없지만 return 값이 int 가 아닌 경우 문제가 발생할 수 있습니다.

그리고 헤더 파일을 제공할 경우 인자에 대한 type checking 을 하 수 있습니다.

예를 들어

int main() 
{ 
    printf( 'c' ); 
    return 0; 
} 

위의 코드의 경우 헤더 파일이 없으므로 컴파일러가 printf의 인자 형을 알지 못하여 아무 에러 없이 컴파일이 됩니다.

하지만,

#include <stdio.h>

int main() 
{ 
    printf( 'c' ); 
    return 0; 
} 

[arimae@ts arimae]$ gcc -c test5.c
test5.c: In function `main':
test5.c:5: warning: passing arg 1 of `printf' makes pointer from integer without a cast

위의 경우 stdio.h 를 포함함으로써 인자의 형태를 정확히 알고 있으므로 위와 같이 warning을 발생시킵니다

printf 에 헤더 파일을 포함하지 않았을때 에러 없이 컴파일 되는 것은 gcc가 표준 라이브러리를 자동적으로 링크하여 printf 함수에 대한 정보를 얻을 수 있기 때문에 에러가 발생하지 않는 것입니다.

printf 가 아닌 자체 제작한 함수를 이용해 테스트 해보도록 하겠습니다..

test5.c

int main(void)
{
    func1();
    return 0;
}

test6.c

int func1(void)
{
    printf("here\n");
    return 0;
}

위의 경우 test5.c 에서 test6.c 에 있는 func1 을 호출합니다.
이 경우 test5.c 어떤 include 도 하지 않았습니다. (위에서 printf 를 호출하면서 stdio.h 를 include 하지 않은것 처럼)

이것을 각자 컴파일 해보고.. 링크를 해보면..

[arimae@ts arimae]$ gcc -c test5.c
[arimae@ts arimae]$ gcc -c test6.c 
[arimae@ts arimae]$ gcc -o test test5.o test6.o
[arimae@ts arimae]$ ./test
here
[arimae@ts arimae]$ 

위와 같이 아무런 에러도 나지 않고 정상적으로 컴파일이 되며 실행도 정상적으로 됩니다.

이렇듯 include 파일은 어떤 함수의 존재를 찾기 위한 필수가 아닌 강력한 타입 체킹을 위한 한 조건이라고 할 수 있습니다.

함수를 호출할때 다른 파일에서 그 함수에 대한 정보를 찾을 수 있다면 (위의 test5.c test6.c 에서처럼) include 로 해당 함수에 대한 정보를 제공하지 않아도 컴파일러에서 알아서 찾아서 링크를 해줍니다.

하지만 맨 위에서 실험을 했듯이, 정확한 타입 체킹을 위해서라면 반드시 해당 함수에 대한 선언을 헤더 파일로 제공하여 include 해줘야 할 것입니다.

p.s. math.h 에 있는 sin을 이용해서 테스트를 하려니 built-in function 이라고 하면서 경고를 내는군요. sin은 gcc 내부에서 이미 type information을 가지고 있는것이 아닐까 추측해봅니다.