확률 문제 이해 도움 부탁 드립니다.
글쓴이: novice / 작성시간: 수, 2017/02/22 - 8:52오전
예를 들어 컴퓨터 A, B가 있습니다.
A가 내일 날씨를 맞출 확률은 60%, B가 내일 날씨를 맞출 확률은 70%입니다.
만약 두 컴퓨터 모두 내일 비가 내릴 거라고 예상했을 때, 실제 내일 비가 내릴 확률은 70%보다 높나요?
그리고 x, y 두 사람이 내일 날씨로 내기를 한다는 상황에서
x는 A, B 두 컴퓨터의 결과를 볼 수 있고, y는 B 컴퓨터의 결과만 볼 수 있다면
x가 이 내기에서 더 유리하다고 볼 수 있는 건가요?
다른 곳에서 비슷한 질문을 올렸는데, 아래와 같이 답변을 받았습니다.
사건 1. A 컴퓨터가 비가 내린다고 했는데 비가 내리지 않을 확률 : 100-60 = 40%
사건 2. B 컴퓨터가 비가 내린다고 했는데 비가 내리지 않을 확률 : 100-70 = 30%
사건 1과 2 모두가 동시에 일어날 확률 : 12%.
두 컴퓨터 모두 비가 내리는 것으로 나올 때 비가 내릴 확률 : 100% - 12% = 88%
그런데 저는 이 풀이가 맞는 건지 잘 모르겠습니다.
혹시 어떻게 60%와 70% 확률을 더해 88%가 나오는 건지..
혹시 확률에 대해 잘 아시는 분이 계시면 좀 더 자세히 설명해 주셨으면 좋겠습니다. ㅜㅜ
Forums:
풀 수 없습니다. 문제 조건이 모자라요.
풀 수 없습니다. 문제 조건이 모자라요.
거의 넌센스 퀴즈에 가깝다고 볼 수 있을 정도로 문제 조건이 모자라네요.
Probability space 안에 지금 최소 3개의 사건(event)이 있지요.
A : 컴퓨터 A가 비가 온다고 예측하는 사건
B : 컴퓨터 B가 비가 온다고 예측하는 사건
R : 실제로 비가 오는 사건
연산자를 ∩(교집합), ∪(합집합), '(여집합)와 같이 쓰도록 하겠습니다만
두 문제 조건은 각각 아래와 같이 표현됩니다.
주의. 아래 풀이는 잘못되었습니다. 풀이를 고쳐서 새로 올렸습니다.
문제 조건이 부족하다는 견해에는 변함이 없습니다.
1) P(R|A) = P(R∩A)/P(A) = 0.6
2) P(R|B) = P(R∩B)/P(B) = 0.7
먼저 물으신 내용, 그러니까 컴퓨터 A, B가 둘 다 비가 온다고 예측했을 때 실제로 비가 올 확률은
P(R|A∩B) = P(A∩B∩R)/P(A∩B) 가 되는군요.
그런데 지금 주어진 문제 조건으로는P(A∩B∩R)와 P(A∩B)를 각각 구할 수 없을 뿐더러
두 수의 비가 하나로 결정되지도 않습니다.
문제 조건을 만족시키면서 0부터 1까지 다 가능할 것 같은데요.
질문자님께서 다른 사이트에서 구하신 풀이는 예컨대 이렇게 진행되는군요.
P(R'|A) = P(R'∩A) = P(R'∩A)/P(A) = 1 - P(R∩A)/P(A) = 0.4
P(R'|B) = P(R'∩B) = P(R'∩B)/P(B) = 1 - P(R∩B)/P(B) = 0.3
P(R'|A∩B) = P(R'∩A∩B)/P(A∩B) =(?) {P(R'∩A)/P(A)} × {P(R'∩B)/P(B)} = 0.4 × 0.3 = 0.12
P(R|A∩B) = P(R∩A∩B)/P(A∩B) = 1 - P(R'∩A∩B)/P(A∩B) = 1 - 0.12 = 0.88
제가 위에서 =(?)이라고 표기한 등호는 일반적으로 성립하지 않습니다.
뒤이어 질문하신 내용, 그러니까 B만 아는 것과 A, B를 둘 다 아는 것 중 어느 쪽이 유리하냐는 문제는
Conditional entropy의 개념을 도입해서 정량적으로 풀 수 있습니다.
하지만 여전히 문제 조건이 부족해서 어떻게 해 볼 방법이 없네요. 여기다 수식을 다 써 드리기는 좀 복잡하고
https://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_entropy 를 참조해보세요.
더 구체적인 분석을 바라신다면 사건 A, B, R의 교집합들의 확률에 대한 정보를 더 주셔야지요.
자세히 답변해 주셔서 감사합니다. 생각보다 복잡한
자세히 답변해 주셔서 감사합니다. 생각보다 복잡한 문제였네요.
현재 조건으로 P(A∩B∩R)와 P(A∩B)를 풀 수 없다는 건
P(R|A,B) = ( P(A,B|R) * P(R) ) / ( P(A,B|R)*P(R) + P(A',B'|R)*P(R) )에서
P(A,B|R), P(R) 값을 모르기 때문이라는 것과 같나요?
번거롭게 해 드려 죄송하지만, 만약 날씨가 비가 내리거나 맑거나 두 가지 경우밖에 없고,
각각 확률이 50%라는 조건에서 예시를 들어 한 번만 설명을 부탁드려도 될까요?
예를 하나 들어주시면 어떤 부분에서 정보가 필요하고, 제가 뭘 더 공부해야 이해하기가 쉬울 것 같습니다.
I don't belong here..
아.. 계산 귀찮은데 결국 끝까지 가게 되나요.
아.. 계산 귀찮은데 결국 끝까지 가게 되나요.
어쩌겠어요. 답을 달았으면 책임을 져야죠.
이 문제의 요점은, 저희가 P(R), P(A), P(B)를 알고, 그 외 몇 가지 조건이 더 주어젔지만
그것만으론 각 사건들의 곱사건들의 확률, 예컨대 P(R∩B) 등이 결정되지 않는다는 것입니다.
그래서 대개 확률 관련 수학문제를 낼 때는 각 사건들이 서로 독립이라는 전제를 주거나
곱사건들의 확률을 직접 주거나, 혹은 그것을 도출해 낼 수 있도록 조건을 충분히 주어야 하죠.
게다가 이 문제의 경우, 현실적으로 사건 R, A, B가 서로 독립일 거라고 기대하기도 어렵습니다.
작정하고 한번 풀어 보죠. 이 문제는 여덟 개의 사건으로 나타낼 수가 있네요.
P(R'∩A'∩B') = x1
P(R'∩A'∩B) = x2
P(R'∩A∩B') = x3
P(R'∩A∩B) = x4
P(R∩A'∩B') = x5
P(R∩A'∩B) = x6
P(R∩A∩B') = x7
P(R∩A∩B) = x8
여덟 사건이 서로 배타적이고 그 합집합이 Sample space와 같으므로,
> x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 = 1
주의. 아래 풀이는 잘못되었습니다. 풀이를 고쳐서 새로 올렸습니다.
문제 조건이 부족하다는 견해에는 변함이 없습니다.
P(R|A) = P(R∩A)/P(A) = 0.6 로부터
> 0.6x3 + 0.6x4 - 0.4x7 - 0.4x8 = 0
P(R|B) = P(R∩B)/P(B) = 0.7 로부터
> 0.7x2 + 0.7x4 - 0.3x6 - 0.6x8 = 0
확률의 정의로부터
> 0 ≤ x1, ..., x8 ≤ 1
변수가 여덟 개인데 조건이 세 개뿐인 데서 이미 싹수가 보이죠. 부등호 조건도 있긴 하지만.
그래도 끝까지 가자면 일단 방정식을 풉니다.
x1 = 1 + x4 - x5 - (10/7)x6 - (5/3)x7 - (44/21)x8
x2 = -x4 + (3/7)x6 + (3/7)x8
x3 = -x4 + (2/3)x7 + (2/3)x8
x4~x8는 범위조건을 모두 만족시킬 수 있는 범위에서 저희가 맘대로 고를 수 있습니다.
구하고자 하는 답은 P(R|A∩B) = P(A∩B∩R)/P(A∩B) = x8 / (x4 + x8)
두 개의 시나리오를 제시해 드리죠.
1) x4 = 0, x8 > 0
이러면 P(R|A∩B)는 자명하게 1이 됩니다. 언어로 풀어 쓰자면, A와 B가 둘 다 비 온다고 하면 무조건 비가 오게 되는 겁니다.
예컨대,
x1 = P(R'∩A'∩B') = 0.380952381
x2 = P(R'∩A'∩B) = 0.085714286
x3 = P(R'∩A∩B') = 0.133333333
x4 = P(R'∩A∩B) = 0
x5 = P(R∩A'∩B') = 0.1
x6 = P(R∩A'∩B) = 0.1
x7 = P(R∩A∩B') = 0.1
x8 = P(R∩A∩B) = 0.1
P(R) = 0.4
P(A) = 0.333333333
P(B) = 0.285714286
P(R∩A) = 0.2
P(R∩B) = 0.2
P(A∩B) = 0.1
P(R∩A∩B) = 0.1
P(R|A) = 0.6
P(R|B) = 0.7
P(R|A∩B) = 1
네. 귀찮아서 엑셀로 풀었어요. 보시면 아시겠지만 제 맘대로 바꿀 수 있는 변수 중 x4는 0으로 넣었고 나머지는 0.1로 밀었습니다.
2) x4 > 0, x8 = 0
이러면 P(R|A∩B)는 자명하게 0이 됩니다. 언어로 풀어 쓰자면, A와 B가 둘 다 비 온다고 하면 절대로 비가 오지 않는 겁니다.
예컨대,
x1 = P(R'∩A'∩B') = 0.230952381
x2 = P(R'∩A'∩B) = 0.035714286
x3 = P(R'∩A∩B') = 0.083333333
x4 = P(R'∩A∩B) = 0.05
x5 = P(R∩A'∩B') = 0.2
x6 = P(R∩A'∩B) = 0.2
x7 = P(R∩A∩B') = 0.2
x8 = P(R∩A∩B) = 0
P(R) = 0.6
P(A) = 0.333333333
P(B) = 0.285714286
P(R∩A) = 0.2
P(R∩B) = 0.2
P(A∩B) = 0.05
P(R∩A∩B) = 0
P(R|A) = 0.6
P(R|B) = 0.7
P(R|A∩B) = 0
그 밖에도 P(R|A∩B)를 맘대로 정하고 싶으면 먼저 적절한 x4와 x8을 정한 뒤 나머지 변수들(x5, x6, x7)을 적절히 튜닝해서 모든 변수를 0 이상 1 이하로 맞추면 됩니다.
문제 조건을 추가하셨군요.
우선 날씨는 비가 내리거나 비가 내리지 않거나 둘 중 하나겠죠. 비가 안 내릴 때 맑은지 안 맑은지는 제가 알 바 아니고요.
비가 내릴 확률, 그러니까 P(R)이 항상 0.5라면 좀 더 나아질까요? 글쎄요.
위에서 x5 + x6 + x7 + x8 = 0.5라는 조건 하나가 더 붙는 셈입니다만.
연립방정식 또 풀기는 매우 귀찮고 그걸 설명하는 건 더 귀찮아요. 설명 없이 앞서와 비슷하게 결과 두 개만 뽑아 드리죠.
1) x4 = 0, x8 > 0
x1 = P(R'∩A'∩B') = 0.226190476
x2 = P(R'∩A'∩B) = 0.107142857
x3 = P(R'∩A∩B') = 0.166666667
x4 = P(R'∩A∩B) = 0
x5 = P(R∩A'∩B') = 0.125
x6 = P(R∩A'∩B) = 0.125
x7 = P(R∩A∩B') = 0.125
x8 = P(R∩A∩B) = 0.125
P(R) = 0.5 P(A) = 0.416666667
P(B) = 0.357142857
P(R∩A) = 0.25
P(R∩B) = 0.25
P(A∩B) = 0.125
P(R∩A∩B) = 0.125
P(R|A) = 0.6
P(R|B) = 0.7
P(R|A∩B) = 1
2) x4 > 0, x8 = 0
x1 = P(R'∩A'∩B') = 0.367460317
x2 = P(R'∩A'∩B) = 0.021428571
x3 = P(R'∩A∩B') = 0.061111111
x4 = P(R'∩A∩B) = 0.05
x5 = P(R∩A'∩B') = 0.166666667
x6 = P(R∩A'∩B) = 0.166666667
x7 = P(R∩A∩B') = 0.166666667
x8 = P(R∩A∩B) = 0
P(R) = 0.5
P(A) = 0.277777778
P(B) = 0.238095238
P(R∩A) = 0.166666667
P(R∩B) = 0.166666667
P(A∩B) = 0.05
P(R∩A∩B) = 0
P(R|A) = 0.6
P(R|B) = 0.7
P(R|A∩B) = 0
P(R) = 0.5이면서도 P(R|A∩B)이 0일 수도 있고 1일 수도 있죠? 끝.
요약하자면, 문제조건을 만족하는 해가 수도 없이 많으며 그 중에는 답이 0인 것도 있고 1인 것도 있다는 겁니다.
그러니 (엄밀히 증명하기는 귀찮지만) 0부터 1까지의 모든 실수가 답이 될 수 있겠죠. 답을 하나로 정하고 싶으시면 조건을 더 주세요.
원글의 풀이는 A사건과 B사건이 서로 독립이라는
원글의 풀이는 A사건과 B사건이 서로 독립이라는 가정하에 푼 곳으로 보입니다.
현실에서는 당연히 그렇지 않습니다만
고등학교 수학이라면 이해할만 합니다.
믈론 문제에 명시하는게 좋겠네요
사건 A, B가 서로 독립이어도 안 됩니다. 여전히
사건 A, B가 서로 독립이어도 안 됩니다. 여전히 조건이 모자라요.
자세한 풀이는 아래에 따로 작성하였습니다.
(중복 삭제)
(중복 삭제)
77.777...% 아닌가요 ?
77.777...% 아닌가요 ?
A,B 둘의 예측치가 같으니 가능한 경우의 수는
둘 다 맞을 확률 = 0.6 *0.7 = 0.42,
둘 다 틀릴 확률 = 0.4 * 0.3 = 0.12,
이 둘의 확률 (A와 B의 예측치가 같을 확률) = 위 두 수의 합 = 0.54,
둘의 예측치가 서로 같은 경우 중에서 둘 다 맞을 확률 = 0.42/0.54 = 0.77777
그리고 x와 y의 내기는,
그리고 x와 y의 내기는,
어차피 x도 B의 결과를 보고 배팅할것이기 때문에 단지 비가 올건지 안올건지
선택만 할 꺼라면 전혀 유리할 게 없고,
매 경기당 배팅 금액을 바꿀 수 있다면 A와 B의 결과가 같을 때 더 큰 금액으로 배팅할 수 있을테니
더 유리하겠네요.
악...
악...,
어차피 배팅 금액에 상관없이 둘 다 B의 결과를 선택할테니,
경기에 x가 더 유리하지는 않겠네요...
음... 정말 넌센스 퀴즈같기도 하네요.
음... 정말 넌센스 퀴즈같기도 하네요.
예를 들어 컴퓨터 A, B가 있습니다.
A가 내일 날씨를 맞출 확률은 60%, B가 내일 날씨를 맞출 확률은 70%입니다.
만약 두 컴퓨터 모두 내일 비가 내릴 거라고 예상했을 때, 실제 내일 비가 내릴 확률은 70%보다 높나요?
==> 가장 잘 맞추는 컴퓨터(B)가 예측한 것이 70%이므로 내일 비가 올 확률은 70% (더도 덜도 아닌) 라고 생각이 들고요.
그리고 x, y 두 사람이 내일 날씨로 내기를 한다는 상황에서
x는 A, B 두 컴퓨터의 결과를 볼 수 있고, y는 B 컴퓨터의 결과만 볼 수 있다면
x가 이 내기에서 더 유리하다고 볼 수 있는 건가요?
==> 똑같은 풀이로 보면 누구도 더 유리한 사람이 없겠죠. 만약 y가 A 컴퓨터 결과만 볼수 있다면 x가 살짝 1/7 = 14.3% 더 맞출 수 있는 확률이 있다고 생각이 드네요.
그냥 넌센스같은 풀이였습니다 ~~
제가 문제를 일부 잘못 이해했군요.
제가 문제를 일부 잘못 이해했군요.
앞서 올린 잘못된 풀이는 전부 취소선 그어 놨습니다.
저는 예컨대 "A가 내일 날씨를 맞출 확률"을 "A가 비가 온다고 했을 때 실제로 비가 올 확률"로 잘못 읽었습니다.
실제로는 더 큰 의미가 있는데 말이죠. 다만 해석의 여지가 좀 갈립니다. 분명히 하기 위해 수학의 언어를 빌리죠.
1) P(R|A) = 0.6 (제가 처음에 이해한 의미. 가장 약한 조건)
2) P((R∩A)∪(R'∩A')) = P(R|A)P(A) + P(R'|A')P(A') = 0.6 ("모든 결과를 봤을 때" A가 비가 오는지 안 오는지 맞출 가능성이 0.6; 적당한 조건)
3) P(R|A) = 0.6이고 P(R'|A') = 0.6 (A의 결과만이 나왔을 때 (어떻게 예측하든) 그것이 맞을 가능성이 0.6; 가장 강한 조건)
3)은 너무 강력해서 1)과 2)를 함의합니다.
제가 시험에서 이런 문제를 푼다면 조건이 정확히 어느 것인지 질문을 하겠습니다만, 지금 제 목표는 문제 조건이 부족하다는 것을 보이는 것이므로
가장 강한 조건인 3)을 선택하지요.
같은 이치로 P(R|B) = 0.7이고 P(R'|B') = 0.7을 가정하겠습니다.
하나 더. A와 B가 독립적이라는 조건은 현실적으로 말도 안되지만 어쨌든 그 조건도 넣어서 풀죠. 그러면 P(A∩B)=P(A)∩P(B)
A와 R(혹은 B와 R)이 독립적이라는 건 더더욱 말이 안 됩니다. 그 경우 A(혹은 B)가 완전히 무용지물이거든요.
아무리 조건을 최대한 세게 가정하고 푼다고 해도 그런 가정은 진짜 말이 안 되니까 무시할게요. 시간 많으신 분들은 해 보시길.
미지수가 여덟 개, 방정식은 여섯 개. 게다가 실제 시나리오를 만들 때는 x4=0 혹은 x8=0도 가정해야 하니 방정식이 일곱 개까지 늘어나네요.
바꿔 말하면 선형방정식을 풀 때 x4와 x8는 반드시 독립 변수로 만들어야 된다는 얘기입니다. 까다롭군요.
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 = 1
(x7+x8) = (3/5)(x3+x4+x7+x8)
(x1+x2) = (3/5)(x1+x2+x5+x6)
(x6+x8) = (7/10)(x2+x4+x6+x8)
(x1+x3) = (7/10)(x1+x3+x5+x7)
(x4+x8) = (x3+x4+x7+x8)(x2+x4+x6+x8)
먼저 선형방정식부터 풀죠.
x2 = -(1/5)x1 - (4/5)x4 + (9/50)
x3 = -(8/15)x1 - (7/15)x4 + (7/25)
x5 = x1 - x4 + x8 - (3/10)
x6 = -(7/15)x1 + (7/15)x4 - x8 + (21/50)
x7 = -(4/5)x1 + (4/5)x4 - x8 + (21/50)
그러면 A와 B의 독립 조건은
(x4+x8) = {-(4/3)x1 + (4/3)x4 + (7/10)}{-(2/3)x1 + (2/3)x4 + (3/5)}
시나리오 1) x4 = 0, x8 > 0
독립 조건이 x8 = {-(4/3)x1 + (7/10)}{-(2/3)x1 + (3/5)}로 간단해집니다.
x1을 적당히 바꿔 가며 x1~x8이 모두 [0, 1]구간 안에 들어오는 해를 찾아야겠군요.
뭐 별로 어렵지도 않게 금방 하나 찾았습니다.
x1 = P(R'∩A'∩B') = 1/10
x2 = P(R'∩A'∩B) = 4/25
x3 = P(R'∩A∩B') = 17/75
x4 = P(R'∩A∩B) = 0
x5 = P(R∩A'∩B') = 23/225
x6 = P(R∩A'∩B) = 16/225
x7 = P(R∩A∩B') = 17/450
x8 = P(R∩A∩B) = 68/225
P(A) = 17/30
P(B) = 8/15
P(A∩B) = 68/225
P(A∩B)-P(A)P(B) = 0
P(R) = 77/150
P(R') = 73/150
P(A) = 17/30
P(A') = 13/30
P(B) = 8/15
P(B') = 7/15
P(R∩A) 17/50
P(R'∩A') = 13/50
P(R∩B) = 28/75
P(R'∩B') = 49/150
P(A∩B) = 68/225
P(A∩B∩R) = 68/225
P(R|A) = 3/5
P(R'|A') = 3/5
P(R|B) = 7/10
P(R'|B') = 7/10
P(R|A∩B) = 1
이 시나리오에서, A와 B가 둘 다 비가 온다고 하면, 100% 비가 옵니다.
시나리오 2) x4 > 0, x8 = 0
독립 조건이 x4 = {-(4/3)x1 + (4/3)x4 + (7/10)}{-(2/3)x1 + (2/3)x4 + (3/5)}이 됩니다.
이차방정식이죠. 뭐 이걸 푸는 건 중학교 수준 산수입니다.
유리해 하나만 어떻게 찾아봅시다.
x1 = P(R'∩A'∩B') = 41/90
x2 = P(R'∩A'∩B) = 2/45
x3 = P(R'∩A∩B') = 1/90
x4 = P(R'∩A∩B) = 1/18
x5 = P(R∩A'∩B') = 1/10
x6 = P(R∩A'∩B) = 7/30
x7 = P(R∩A∩B') = 1/10
x8 = P(R∩A∩B) = 0
P(A) = 1/6
P(B) = 1/3
P(A∩B) = 1/18
P(A∩B)-P(A)P(B) = 0
P(R) = 13/30
P(R') = 17/30
P(A) = 1/6
P(A') = 5/6
P(B) = 1/3
P(B') = 2/3
P(R∩A) 1/10
P(R'∩A') = 1/2
P(R∩B) = 7/30
P(R'∩B') = 7/15
P(A∩B) = 1/18
P(A∩B∩R) = 0
P(R|A) = 3/5
P(R'|A') = 3/5
P(R|B) = 7/10
P(R'|B') = 7/10
P(R|A∩B) = 0
이 시나리오에서, A와 B가 둘 다 비가 온다고 하면, 절대 비가 오지 않습니다. (0%)
모든 조건을 만족하면서 P(R|A∩B) = 0인 경우도 있고 P(R|A∩B) = 1인 경우도 있으니 끝났군요.
A와 B가 독립이라는 조건 가지고도 안 됩니다. P(R|A∩B)를 결정하려면 조건이 더 필요합니다.
문제 조건이 부족하면 어떻게 되느냐면, 문제를 푸는 사람이 임의로 조건을 추가하여 자기만의 답을 얻을 수 있게 됩니다.
이미 이 스레드에도 세 분이 각각 88%, 77.777...%, 70%의 답을 내 놓으셨죠. 제가 0%와 100%를 추가했고요.
말씀하신 풀이가 정석일 수 있습니다만,
말씀하신 풀이가 정석일 수 있습니다만,
문제의 수준을 생각했을 때, (그렇게 복잡한 문제였다면 문제 자체가 저렇게 나오지 않았을 듯.)
P(R|A)=0.6, P(R|B)=0.7일때 P(R|A,B)를 구하는 문제이고,
P(R|A,B) = 1-P(~R|A,B) = 1-P(~R|A)*P(~R|B) = 1-0.4*0.3=0.88
로 정리되는 원글자의 풀이방법이 꼭 틀린것이라고 보기는 어렵다는 생각이네요.
P(R|A,B) 를 직접 구하기는 어려우므로
P(~R|A,B)를 구한 것이고, 이것을 P(~R|A)*P(~R|B)와 같다고 보는 것은
의미상으로 A와 B가 독립인 경우, 두 수식이 같다고 할 수 있겠습니다.
(당연히 A, B가 독립인 경우 일반적으로 성립하는 공식이라고 주장하는 것은 절대로 아닙니다.
단지 이 경우에만 물리적인 의미상으로 성립할 수 있다고 본다는 것입니다.)
정리하자면,
A와 B는 현실적으로는 동일한 "날씨"에 대해서 "증거"에 기반하여 예측하는 것이라면 서로 독립이기 어렵겠습니다만,
오로지 문제를 위해서 두 예언자가 그냥 찍었다고 한다면 독립이라고 가정해줄 수는 있을것 같습니다.
이 경우 P(~R|A,B)=P(~R|A)*P(~R|B) 라고 보는 것은 *이 문제에 한해서* reasonable 해보입니다.
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현실적으로는 A의 정보는 B의 subset일 것이고, P(R|A,B) = P(R|B) = 0.7이 될 듯.
다시 말씀드립니다만, A와 B가 독립이라는 것은
다시 말씀드립니다만, A와 B가 독립이라는 것은 받아들일 수 있습니다.
그게 얼마나 비현실적이든 간에 일단 모순은 없으니까요.
그러나 A와 B가 독립적이라고 가정한다고 해서 말씀하신 풀이가 말이 되는 것은 아닙니다.
A와 B가 독립적이라고 하더라도 어째서 (귀하의 표현을 빌리면) P(~R|A,B) = P(~R|A)*P(~R|B)가 성립하는 것이죠?
만약 그게 성립한다면 왜 P(R|A,B) = P(R|A)*P(R|B)는 안 성립합니까?
물론 A와 B가 독립이라면 예컨대 P(A∪B) = P((A'∩B')') = 1 - P(A'∩B') = 1 - P(A')P(B') = 1 - (1-P(A))(1-P(B))와 같은 풀이가 가능해지기는 하지요. 이 경우와 혼동하신 것 아니신지요?
질문자님께서 링크하신 풀이는 제가 앞서 지적드렸듯 전개 과정에서 빠진 고리가 있습니다.
P(R'|A) = P(R'∩A) = P(R'∩A)/P(A) = 1 - P(R∩A)/P(A) = 0.4
P(R'|B) = P(R'∩B) = P(R'∩B)/P(B) = 1 - P(R∩B)/P(B) = 0.3
P(R'|A∩B) = P(R'∩A∩B)/P(A∩B) =(?) {P(R'∩A)/P(A)} × {P(R'∩B)/P(B)} = 0.4 × 0.3 = 0.12
P(R|A∩B) = P(R∩A∩B)/P(A∩B) = 1 - P(R'∩A∩B)/P(A∩B) = 1 - 0.12 = 0.88
=(?) 부분을 잘 보세요. A와 B가 독립이라면 분모의 P(A∩B) = P(A)P(B)는 정당화됩니다. 그러면 P(R'∩A∩B) = P(R'∩A)P(R'∩B)여야 합니다. 이걸 증명하실 수 있으신지요?
제 짧은 식견으로는 이 등식이 일반적으로 성립할 것 같지도 않을 뿐더러, 이 문제에 한해서만 생각하거나 물리적, 현실적 근거를 갖다대더라도 성립할 거라고 기대할 만한 이유가 없어 보입니다. 만약 그럴 만한 이유를 알고 계신다면, 저도 무척 듣고 싶습니다.
도대체왜
저도 한번 풀어보았는데 재밌는 문제인 것 같습니다.
1. 오늘 비가 왔다.(가정)
2. 그렇다면 어제 A,B 컴퓨터는 어떻게 예상을 했을까?
A 맞춤,B 맞춤 : 42%
A 틀림,B 틀림 : 12%
A 맞춤,B 틀림 : 18%
A 틀림,B 맞춤 : 28%
3. 먼저 y가 B 컴퓨터를 보고 날씨를 맞출 확률은 70%겠죠.
4. x의 승률은 좀 복잡할것 같군요.
4-1. 먼저 A,B 둘다 비가 온다고 했을때만 비가 온다고 예상한다면, 42% 입니다.
4-2. x가 모든 확률을 알고 있을 때
전체 경우의 수를 100 이라고 합시다.
이 중 54번은 A,B가 같으므로 x가 그대로 따라간다면 42번 맞출수 있습니다.
A,B가 다른 46번의 경우에는 어떻게 판단해야 할까요?
먼저 46번 중에 18번은 A를 고릅니다.
18 x 18/46 = 7.04
x가 A를 골라서 맞출 확률은 7.04번입니다.
46번 중에 28번은 B를 고릅니다.
28 x 28/46 = 17.04
x가 B를 골라서 맞출 확률은 17.04번입니다.
따라서 42+7.04+17.04 = 66.08% 승률이 됩니다.
4-3. x가 여기까지 풀었을때... A를 버리고 B만 사용.
4-4. x가 A,B중 어느것이 더 성능이 좋은지 모른다면 약 65% 승률.
결론 : x는 y보다 유리하지 않음.
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