확률 문제 이해 도움 부탁 드립니다.

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예를 들어 컴퓨터 A, B가 있습니다.

A가 내일 날씨를 맞출 확률은 60%, B가 내일 날씨를 맞출 확률은 70%입니다.

만약 두 컴퓨터 모두 내일 비가 내릴 거라고 예상했을 때, 실제 내일 비가 내릴 확률은 70%보다 높나요?

그리고 x, y 두 사람이 내일 날씨로 내기를 한다는 상황에서

x는 A, B 두 컴퓨터의 결과를 볼 수 있고, y는 B 컴퓨터의 결과만 볼 수 있다면

x가 이 내기에서 더 유리하다고 볼 수 있는 건가요?

다른 곳에서 비슷한 질문을 올렸는데, 아래와 같이 답변을 받았습니다.

사건 1. A 컴퓨터가 비가 내린다고 했는데 비가 내리지 않을 확률 : 100-60 = 40%
사건 2. B 컴퓨터가 비가 내린다고 했는데 비가 내리지 않을 확률 : 100-70 = 30%
사건 1과 2 모두가 동시에 일어날 확률 : 12%.
두 컴퓨터 모두 비가 내리는 것으로 나올 때 비가 내릴 확률 : 100% - 12% = 88%

그런데 저는 이 풀이가 맞는 건지 잘 모르겠습니다.

혹시 어떻게 60%와 70% 확률을 더해 88%가 나오는 건지..

혹시 확률에 대해 잘 아시는 분이 계시면 좀 더 자세히 설명해 주셨으면 좋겠습니다. ㅜㅜ

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풀 수 없습니다. 문제 조건이 모자라요.
거의 넌센스 퀴즈에 가깝다고 볼 수 있을 정도로 문제 조건이 모자라네요.

Probability space 안에 지금 최소 3개의 사건(event)이 있지요.
A : 컴퓨터 A가 비가 온다고 예측하는 사건
B : 컴퓨터 B가 비가 온다고 예측하는 사건
R : 실제로 비가 오는 사건

연산자를 ∩(교집합), ∪(합집합), '(여집합)와 같이 쓰도록 하겠습니다만
두 문제 조건은 각각 아래와 같이 표현됩니다.

주의. 아래 풀이는 잘못되었습니다. 풀이를 고쳐서 새로 올렸습니다.
문제 조건이 부족하다는 견해에는 변함이 없습니다.

1) P(R|A) = P(R∩A)/P(A) = 0.6
2) P(R|B) = P(R∩B)/P(B) = 0.7

먼저 물으신 내용, 그러니까 컴퓨터 A, B가 둘 다 비가 온다고 예측했을 때 실제로 비가 올 확률은
P(R|A∩B) = P(A∩B∩R)/P(A∩B) 가 되는군요.

그런데 지금 주어진 문제 조건으로는P(A∩B∩R)와 P(A∩B)를 각각 구할 수 없을 뿐더러
두 수의 비가 하나로 결정되지도 않습니다.
문제 조건을 만족시키면서 0부터 1까지 다 가능할 것 같은데요.

질문자님께서 다른 사이트에서 구하신 풀이는 예컨대 이렇게 진행되는군요.
P(R'|A) = P(R'∩A) = P(R'∩A)/P(A) = 1 - P(R∩A)/P(A) = 0.4
P(R'|B) = P(R'∩B) = P(R'∩B)/P(B) = 1 - P(R∩B)/P(B) = 0.3
P(R'|A∩B) = P(R'∩A∩B)/P(A∩B) =(?) {P(R'∩A)/P(A)} × {P(R'∩B)/P(B)} = 0.4 × 0.3 = 0.12
P(R|A∩B) = P(R∩A∩B)/P(A∩B) = 1 - P(R'∩A∩B)/P(A∩B) = 1 - 0.12 = 0.88

제가 위에서 =(?)이라고 표기한 등호는 일반적으로 성립하지 않습니다.

뒤이어 질문하신 내용, 그러니까 B만 아는 것과 A, B를 둘 다 아는 것 중 어느 쪽이 유리하냐는 문제는
Conditional entropy의 개념을 도입해서 정량적으로 풀 수 있습니다.
하지만 여전히 문제 조건이 부족해서 어떻게 해 볼 방법이 없네요. 여기다 수식을 다 써 드리기는 좀 복잡하고
https://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_entropy 를 참조해보세요.

더 구체적인 분석을 바라신다면 사건 A, B, R의 교집합들의 확률에 대한 정보를 더 주셔야지요.

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자세히 답변해 주셔서 감사합니다. 생각보다 복잡한 문제였네요.
현재 조건으로 P(A∩B∩R)와 P(A∩B)를 풀 수 없다는 건
P(R|A,B) = ( P(A,B|R) * P(R) ) / ( P(A,B|R)*P(R) + P(A',B'|R)*P(R) )에서
P(A,B|R), P(R) 값을 모르기 때문이라는 것과 같나요?

번거롭게 해 드려 죄송하지만, 만약 날씨가 비가 내리거나 맑거나 두 가지 경우밖에 없고,
각각 확률이 50%라는 조건에서 예시를 들어 한 번만 설명을 부탁드려도 될까요?
예를 하나 들어주시면 어떤 부분에서 정보가 필요하고, 제가 뭘 더 공부해야 이해하기가 쉬울 것 같습니다.

I don't belong here..

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아.. 계산 귀찮은데 결국 끝까지 가게 되나요.
어쩌겠어요. 답을 달았으면 책임을 져야죠.

이 문제의 요점은, 저희가 P(R), P(A), P(B)를 알고, 그 외 몇 가지 조건이 더 주어젔지만
그것만으론 각 사건들의 곱사건들의 확률, 예컨대 P(R∩B) 등이 결정되지 않는다는 것입니다.

그래서 대개 확률 관련 수학문제를 낼 때는 각 사건들이 서로 독립이라는 전제를 주거나
곱사건들의 확률을 직접 주거나, 혹은 그것을 도출해 낼 수 있도록 조건을 충분히 주어야 하죠.
게다가 이 문제의 경우, 현실적으로 사건 R, A, B가 서로 독립일 거라고 기대하기도 어렵습니다.

작정하고 한번 풀어 보죠. 이 문제는 여덟 개의 사건으로 나타낼 수가 있네요.

P(R'∩A'∩B') = x1
P(R'∩A'∩B) = x2
P(R'∩A∩B') = x3
P(R'∩A∩B) = x4
P(R∩A'∩B') = x5
P(R∩A'∩B) = x6
P(R∩A∩B') = x7
P(R∩A∩B) = x8

여덟 사건이 서로 배타적이고 그 합집합이 Sample space와 같으므로,
> x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 = 1

주의. 아래 풀이는 잘못되었습니다. 풀이를 고쳐서 새로 올렸습니다.
문제 조건이 부족하다는 견해에는 변함이 없습니다.

P(R|A) = P(R∩A)/P(A) = 0.6 로부터
> 0.6x3 + 0.6x4 - 0.4x7 - 0.4x8 = 0

P(R|B) = P(R∩B)/P(B) = 0.7 로부터
> 0.7x2 + 0.7x4 - 0.3x6 - 0.6x8 = 0

확률의 정의로부터
> 0 ≤ x1, ..., x8 ≤ 1

변수가 여덟 개인데 조건이 세 개뿐인 데서 이미 싹수가 보이죠. 부등호 조건도 있긴 하지만.
그래도 끝까지 가자면 일단 방정식을 풉니다.

x1 = 1 + x4 - x5 - (10/7)x6 - (5/3)x7 - (44/21)x8
x2 = -x4 + (3/7)x6 + (3/7)x8
x3 = -x4 + (2/3)x7 + (2/3)x8

x4~x8는 범위조건을 모두 만족시킬 수 있는 범위에서 저희가 맘대로 고를 수 있습니다.

구하고자 하는 답은 P(R|A∩B) = P(A∩B∩R)/P(A∩B) = x8 / (x4 + x8)
두 개의 시나리오를 제시해 드리죠.

1) x4 = 0, x8 > 0
이러면 P(R|A∩B)는 자명하게 1이 됩니다. 언어로 풀어 쓰자면, A와 B가 둘 다 비 온다고 하면 무조건 비가 오게 되는 겁니다.
예컨대,

x1 = P(R'∩A'∩B') = 0.380952381
x2 = P(R'∩A'∩B) = 0.085714286
x3 = P(R'∩A∩B') = 0.133333333
x4 = P(R'∩A∩B) = 0
x5 = P(R∩A'∩B') = 0.1
x6 = P(R∩A'∩B) = 0.1
x7 = P(R∩A∩B') = 0.1
x8 = P(R∩A∩B) = 0.1

P(R) = 0.4
P(A) = 0.333333333
P(B) = 0.285714286
P(R∩A) = 0.2
P(R∩B) = 0.2
P(A∩B) = 0.1
P(R∩A∩B) = 0.1
P(R|A) = 0.6
P(R|B) = 0.7
P(R|A∩B) = 1

네. 귀찮아서 엑셀로 풀었어요. 보시면 아시겠지만 제 맘대로 바꿀 수 있는 변수 중 x4는 0으로 넣었고 나머지는 0.1로 밀었습니다.

2) x4 > 0, x8 = 0
이러면 P(R|A∩B)는 자명하게 0이 됩니다. 언어로 풀어 쓰자면, A와 B가 둘 다 비 온다고 하면 절대로 비가 오지 않는 겁니다.
예컨대,

x1 = P(R'∩A'∩B') = 0.230952381
x2 = P(R'∩A'∩B) = 0.035714286
x3 = P(R'∩A∩B') = 0.083333333
x4 = P(R'∩A∩B) = 0.05
x5 = P(R∩A'∩B') = 0.2
x6 = P(R∩A'∩B) = 0.2
x7 = P(R∩A∩B') = 0.2
x8 = P(R∩A∩B) = 0

P(R) = 0.6
P(A) = 0.333333333
P(B) = 0.285714286
P(R∩A) = 0.2
P(R∩B) = 0.2
P(A∩B) = 0.05
P(R∩A∩B) = 0
P(R|A) = 0.6
P(R|B) = 0.7
P(R|A∩B) = 0

그 밖에도 P(R|A∩B)를 맘대로 정하고 싶으면 먼저 적절한 x4와 x8을 정한 뒤 나머지 변수들(x5, x6, x7)을 적절히 튜닝해서 모든 변수를 0 이상 1 이하로 맞추면 됩니다.

문제 조건을 추가하셨군요.

우선 날씨는 비가 내리거나 비가 내리지 않거나 둘 중 하나겠죠. 비가 안 내릴 때 맑은지 안 맑은지는 제가 알 바 아니고요.
비가 내릴 확률, 그러니까 P(R)이 항상 0.5라면 좀 더 나아질까요? 글쎄요.
위에서 x5 + x6 + x7 + x8 = 0.5라는 조건 하나가 더 붙는 셈입니다만.

연립방정식 또 풀기는 매우 귀찮고 그걸 설명하는 건 더 귀찮아요. 설명 없이 앞서와 비슷하게 결과 두 개만 뽑아 드리죠.

1) x4 = 0, x8 > 0

x1 = P(R'∩A'∩B') = 0.226190476
x2 = P(R'∩A'∩B) = 0.107142857
x3 = P(R'∩A∩B') = 0.166666667
x4 = P(R'∩A∩B) = 0
x5 = P(R∩A'∩B') = 0.125
x6 = P(R∩A'∩B) = 0.125
x7 = P(R∩A∩B') = 0.125
x8 = P(R∩A∩B) = 0.125

P(R) = 0.5 P(A) = 0.416666667
P(B) = 0.357142857
P(R∩A) = 0.25
P(R∩B) = 0.25
P(A∩B) = 0.125
P(R∩A∩B) = 0.125
P(R|A) = 0.6
P(R|B) = 0.7
P(R|A∩B) = 1

2) x4 > 0, x8 = 0

x1 = P(R'∩A'∩B') = 0.367460317
x2 = P(R'∩A'∩B) = 0.021428571
x3 = P(R'∩A∩B') = 0.061111111
x4 = P(R'∩A∩B) = 0.05
x5 = P(R∩A'∩B') = 0.166666667
x6 = P(R∩A'∩B) = 0.166666667
x7 = P(R∩A∩B') = 0.166666667
x8 = P(R∩A∩B) = 0

P(R) = 0.5
P(A) = 0.277777778
P(B) = 0.238095238
P(R∩A) = 0.166666667
P(R∩B) = 0.166666667
P(A∩B) = 0.05
P(R∩A∩B) = 0
P(R|A) = 0.6
P(R|B) = 0.7
P(R|A∩B) = 0

P(R) = 0.5이면서도 P(R|A∩B)이 0일 수도 있고 1일 수도 있죠? 끝.

요약하자면, 문제조건을 만족하는 해가 수도 없이 많으며 그 중에는 답이 0인 것도 있고 1인 것도 있다는 겁니다.
그러니 (엄밀히 증명하기는 귀찮지만) 0부터 1까지의 모든 실수가 답이 될 수 있겠죠. 답을 하나로 정하고 싶으시면 조건을 더 주세요.

익명 사용자의 이미지

원글의 풀이는 A사건과 B사건이 서로 독립이라는 가정하에 푼 곳으로 보입니다.
현실에서는 당연히 그렇지 않습니다만
고등학교 수학이라면 이해할만 합니다.
믈론 문제에 명시하는게 좋겠네요

 의 이미지

사건 A, B가 서로 독립이어도 안 됩니다. 여전히 조건이 모자라요.
자세한 풀이는 아래에 따로 작성하였습니다.

 의 이미지

(중복 삭제)

parkon의 이미지

77.777...% 아닌가요 ?
A,B 둘의 예측치가 같으니 가능한 경우의 수는
둘 다 맞을 확률 = 0.6 *0.7 = 0.42,
둘 다 틀릴 확률 = 0.4 * 0.3 = 0.12,
이 둘의 확률 (A와 B의 예측치가 같을 확률) = 위 두 수의 합 = 0.54,
둘의 예측치가 서로 같은 경우 중에서 둘 다 맞을 확률 = 0.42/0.54 = 0.77777

parkon의 이미지

그리고 x와 y의 내기는,
어차피 x도 B의 결과를 보고 배팅할것이기 때문에 단지 비가 올건지 안올건지
선택만 할 꺼라면 전혀 유리할 게 없고,
매 경기당 배팅 금액을 바꿀 수 있다면 A와 B의 결과가 같을 때 더 큰 금액으로 배팅할 수 있을테니
더 유리하겠네요.

parkon의 이미지

악...,
어차피 배팅 금액에 상관없이 둘 다 B의 결과를 선택할테니,
경기에 x가 더 유리하지는 않겠네요...

라스코니의 이미지

음... 정말 넌센스 퀴즈같기도 하네요.

예를 들어 컴퓨터 A, B가 있습니다.

A가 내일 날씨를 맞출 확률은 60%, B가 내일 날씨를 맞출 확률은 70%입니다.

만약 두 컴퓨터 모두 내일 비가 내릴 거라고 예상했을 때, 실제 내일 비가 내릴 확률은 70%보다 높나요?

==> 가장 잘 맞추는 컴퓨터(B)가 예측한 것이 70%이므로 내일 비가 올 확률은 70% (더도 덜도 아닌) 라고 생각이 들고요.

그리고 x, y 두 사람이 내일 날씨로 내기를 한다는 상황에서

x는 A, B 두 컴퓨터의 결과를 볼 수 있고, y는 B 컴퓨터의 결과만 볼 수 있다면

x가 이 내기에서 더 유리하다고 볼 수 있는 건가요?

==> 똑같은 풀이로 보면 누구도 더 유리한 사람이 없겠죠. 만약 y가 A 컴퓨터 결과만 볼수 있다면 x가 살짝 1/7 = 14.3% 더 맞출 수 있는 확률이 있다고 생각이 드네요.

그냥 넌센스같은 풀이였습니다 ~~

 의 이미지

제가 문제를 일부 잘못 이해했군요.
앞서 올린 잘못된 풀이는 전부 취소선 그어 놨습니다.

저는 예컨대 "A가 내일 날씨를 맞출 확률"을 "A가 비가 온다고 했을 때 실제로 비가 올 확률"로 잘못 읽었습니다.
실제로는 더 큰 의미가 있는데 말이죠. 다만 해석의 여지가 좀 갈립니다. 분명히 하기 위해 수학의 언어를 빌리죠.

1) P(R|A) = 0.6 (제가 처음에 이해한 의미. 가장 약한 조건)
2) P((R∩A)∪(R'∩A')) = P(R|A)P(A) + P(R'|A')P(A') = 0.6 ("모든 결과를 봤을 때" A가 비가 오는지 안 오는지 맞출 가능성이 0.6; 적당한 조건)
3) P(R|A) = 0.6이고 P(R'|A') = 0.6 (A의 결과만이 나왔을 때 (어떻게 예측하든) 그것이 맞을 가능성이 0.6; 가장 강한 조건)

3)은 너무 강력해서 1)과 2)를 함의합니다.
제가 시험에서 이런 문제를 푼다면 조건이 정확히 어느 것인지 질문을 하겠습니다만, 지금 제 목표는 문제 조건이 부족하다는 것을 보이는 것이므로
가장 강한 조건인 3)을 선택하지요.

같은 이치로 P(R|B) = 0.7이고 P(R'|B') = 0.7을 가정하겠습니다.

하나 더. A와 B가 독립적이라는 조건은 현실적으로 말도 안되지만 어쨌든 그 조건도 넣어서 풀죠. 그러면 P(A∩B)=P(A)∩P(B)
A와 R(혹은 B와 R)이 독립적이라는 건 더더욱 말이 안 됩니다. 그 경우 A(혹은 B)가 완전히 무용지물이거든요.
아무리 조건을 최대한 세게 가정하고 푼다고 해도 그런 가정은 진짜 말이 안 되니까 무시할게요. 시간 많으신 분들은 해 보시길.

미지수가 여덟 개, 방정식은 여섯 개. 게다가 실제 시나리오를 만들 때는 x4=0 혹은 x8=0도 가정해야 하니 방정식이 일곱 개까지 늘어나네요.
바꿔 말하면 선형방정식을 풀 때 x4와 x8는 반드시 독립 변수로 만들어야 된다는 얘기입니다. 까다롭군요.

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 = 1
(x7+x8) = (3/5)(x3+x4+x7+x8)
(x1+x2) = (3/5)(x1+x2+x5+x6)
(x6+x8) = (7/10)(x2+x4+x6+x8)
(x1+x3) = (7/10)(x1+x3+x5+x7)
(x4+x8) = (x3+x4+x7+x8)(x2+x4+x6+x8)

먼저 선형방정식부터 풀죠.

x2 = -(1/5)x1 - (4/5)x4 + (9/50)
x3 = -(8/15)x1 - (7/15)x4 + (7/25)
x5 = x1 - x4 + x8 - (3/10)
x6 = -(7/15)x1 + (7/15)x4 - x8 + (21/50)
x7 = -(4/5)x1 + (4/5)x4 - x8 + (21/50)

그러면 A와 B의 독립 조건은

(x4+x8) = {-(4/3)x1 + (4/3)x4 + (7/10)}{-(2/3)x1 + (2/3)x4 + (3/5)}

시나리오 1) x4 = 0, x8 > 0

독립 조건이 x8 = {-(4/3)x1 + (7/10)}{-(2/3)x1 + (3/5)}로 간단해집니다.
x1을 적당히 바꿔 가며 x1~x8이 모두 [0, 1]구간 안에 들어오는 해를 찾아야겠군요.

뭐 별로 어렵지도 않게 금방 하나 찾았습니다.

x1 = P(R'∩A'∩B') = 1/10
x2 = P(R'∩A'∩B) = 4/25
x3 = P(R'∩A∩B') = 17/75
x4 = P(R'∩A∩B) = 0
x5 = P(R∩A'∩B') = 23/225
x6 = P(R∩A'∩B) = 16/225
x7 = P(R∩A∩B') = 17/450
x8 = P(R∩A∩B) = 68/225

P(A) = 17/30
P(B) = 8/15
P(A∩B) = 68/225
P(A∩B)-P(A)P(B) = 0

P(R) = 77/150
P(R') = 73/150
P(A) = 17/30
P(A') = 13/30
P(B) = 8/15
P(B') = 7/15
P(R∩A) 17/50
P(R'∩A') = 13/50
P(R∩B) = 28/75
P(R'∩B') = 49/150
P(A∩B) = 68/225
P(A∩B∩R) = 68/225
P(R|A) = 3/5
P(R'|A') = 3/5
P(R|B) = 7/10
P(R'|B') = 7/10
P(R|A∩B) = 1

이 시나리오에서, A와 B가 둘 다 비가 온다고 하면, 100% 비가 옵니다.

시나리오 2) x4 > 0, x8 = 0

독립 조건이 x4 = {-(4/3)x1 + (4/3)x4 + (7/10)}{-(2/3)x1 + (2/3)x4 + (3/5)}이 됩니다.
이차방정식이죠. 뭐 이걸 푸는 건 중학교 수준 산수입니다.
유리해 하나만 어떻게 찾아봅시다.

x1 = P(R'∩A'∩B') = 41/90
x2 = P(R'∩A'∩B) = 2/45
x3 = P(R'∩A∩B') = 1/90
x4 = P(R'∩A∩B) = 1/18
x5 = P(R∩A'∩B') = 1/10
x6 = P(R∩A'∩B) = 7/30
x7 = P(R∩A∩B') = 1/10
x8 = P(R∩A∩B) = 0

P(A) = 1/6
P(B) = 1/3
P(A∩B) = 1/18
P(A∩B)-P(A)P(B) = 0

P(R) = 13/30
P(R') = 17/30
P(A) = 1/6
P(A') = 5/6
P(B) = 1/3
P(B') = 2/3
P(R∩A) 1/10
P(R'∩A') = 1/2
P(R∩B) = 7/30
P(R'∩B') = 7/15
P(A∩B) = 1/18
P(A∩B∩R) = 0
P(R|A) = 3/5
P(R'|A') = 3/5
P(R|B) = 7/10
P(R'|B') = 7/10
P(R|A∩B) = 0

이 시나리오에서, A와 B가 둘 다 비가 온다고 하면, 절대 비가 오지 않습니다. (0%)

모든 조건을 만족하면서 P(R|A∩B) = 0인 경우도 있고 P(R|A∩B) = 1인 경우도 있으니 끝났군요.
A와 B가 독립이라는 조건 가지고도 안 됩니다. P(R|A∩B)를 결정하려면 조건이 더 필요합니다.

문제 조건이 부족하면 어떻게 되느냐면, 문제를 푸는 사람이 임의로 조건을 추가하여 자기만의 답을 얻을 수 있게 됩니다.
이미 이 스레드에도 세 분이 각각 88%, 77.777...%, 70%의 답을 내 놓으셨죠. 제가 0%와 100%를 추가했고요.

qiiiiiiiip의 이미지

말씀하신 풀이가 정석일 수 있습니다만,
문제의 수준을 생각했을 때, (그렇게 복잡한 문제였다면 문제 자체가 저렇게 나오지 않았을 듯.)

P(R|A)=0.6, P(R|B)=0.7일때 P(R|A,B)를 구하는 문제이고,
P(R|A,B) = 1-P(~R|A,B) = 1-P(~R|A)*P(~R|B) = 1-0.4*0.3=0.88
로 정리되는 원글자의 풀이방법이 꼭 틀린것이라고 보기는 어렵다는 생각이네요.
P(R|A,B) 를 직접 구하기는 어려우므로
P(~R|A,B)를 구한 것이고, 이것을 P(~R|A)*P(~R|B)와 같다고 보는 것은
의미상으로 A와 B가 독립인 경우, 두 수식이 같다고 할 수 있겠습니다.
(당연히 A, B가 독립인 경우 일반적으로 성립하는 공식이라고 주장하는 것은 절대로 아닙니다.
단지 이 경우에만 물리적인 의미상으로 성립할 수 있다고 본다는 것입니다.)

정리하자면,
A와 B는 현실적으로는 동일한 "날씨"에 대해서 "증거"에 기반하여 예측하는 것이라면 서로 독립이기 어렵겠습니다만,
오로지 문제를 위해서 두 예언자가 그냥 찍었다고 한다면 독립이라고 가정해줄 수는 있을것 같습니다.
이 경우 P(~R|A,B)=P(~R|A)*P(~R|B) 라고 보는 것은 *이 문제에 한해서* reasonable 해보입니다.

--
현실적으로는 A의 정보는 B의 subset일 것이고, P(R|A,B) = P(R|B) = 0.7이 될 듯.

 의 이미지

다시 말씀드립니다만, A와 B가 독립이라는 것은 받아들일 수 있습니다.
그게 얼마나 비현실적이든 간에 일단 모순은 없으니까요.

그러나 A와 B가 독립적이라고 가정한다고 해서 말씀하신 풀이가 말이 되는 것은 아닙니다.

A와 B가 독립적이라고 하더라도 어째서 (귀하의 표현을 빌리면) P(~R|A,B) = P(~R|A)*P(~R|B)가 성립하는 것이죠?
만약 그게 성립한다면 왜 P(R|A,B) = P(R|A)*P(R|B)는 안 성립합니까?

물론 A와 B가 독립이라면 예컨대 P(A∪B) = P((A'∩B')') = 1 - P(A'∩B') = 1 - P(A')P(B') = 1 - (1-P(A))(1-P(B))와 같은 풀이가 가능해지기는 하지요. 이 경우와 혼동하신 것 아니신지요?

질문자님께서 링크하신 풀이는 제가 앞서 지적드렸듯 전개 과정에서 빠진 고리가 있습니다.

P(R'|A) = P(R'∩A) = P(R'∩A)/P(A) = 1 - P(R∩A)/P(A) = 0.4
P(R'|B) = P(R'∩B) = P(R'∩B)/P(B) = 1 - P(R∩B)/P(B) = 0.3
P(R'|A∩B) = P(R'∩A∩B)/P(A∩B) =(?) {P(R'∩A)/P(A)} × {P(R'∩B)/P(B)} = 0.4 × 0.3 = 0.12
P(R|A∩B) = P(R∩A∩B)/P(A∩B) = 1 - P(R'∩A∩B)/P(A∩B) = 1 - 0.12 = 0.88

=(?) 부분을 잘 보세요. A와 B가 독립이라면 분모의 P(A∩B) = P(A)P(B)는 정당화됩니다. 그러면 P(R'∩A∩B) = P(R'∩A)P(R'∩B)여야 합니다. 이걸 증명하실 수 있으신지요?

제 짧은 식견으로는 이 등식이 일반적으로 성립할 것 같지도 않을 뿐더러, 이 문제에 한해서만 생각하거나 물리적, 현실적 근거를 갖다대더라도 성립할 거라고 기대할 만한 이유가 없어 보입니다. 만약 그럴 만한 이유를 알고 계신다면, 저도 무척 듣고 싶습니다.

내가왜의 이미지

저도 한번 풀어보았는데 재밌는 문제인 것 같습니다.

1. 오늘 비가 왔다.(가정)

2. 그렇다면 어제 A,B 컴퓨터는 어떻게 예상을 했을까?

A 맞춤,B 맞춤 : 42%
A 틀림,B 틀림 : 12%

A 맞춤,B 틀림 : 18%
A 틀림,B 맞춤 : 28%

3. 먼저 y가 B 컴퓨터를 보고 날씨를 맞출 확률은 70%겠죠.

4. x의 승률은 좀 복잡할것 같군요.

4-1. 먼저 A,B 둘다 비가 온다고 했을때만 비가 온다고 예상한다면, 42% 입니다.

4-2. x가 모든 확률을 알고 있을 때

전체 경우의 수를 100 이라고 합시다.
이 중 54번은 A,B가 같으므로 x가 그대로 따라간다면 42번 맞출수 있습니다.

A,B가 다른 46번의 경우에는 어떻게 판단해야 할까요?

먼저 46번 중에 18번은 A를 고릅니다.
18 x 18/46 = 7.04
x가 A를 골라서 맞출 확률은 7.04번입니다.

46번 중에 28번은 B를 고릅니다.
28 x 28/46 = 17.04
x가 B를 골라서 맞출 확률은 17.04번입니다.

따라서 42+7.04+17.04 = 66.08% 승률이 됩니다.

4-3. x가 여기까지 풀었을때... A를 버리고 B만 사용.

4-4. x가 A,B중 어느것이 더 성능이 좋은지 모른다면 약 65% 승률.

결론 : x는 y보다 유리하지 않음.

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