[완료] 이런 연결의 서버 구성이 가능할까요? (공유기 안쪽, 사설ip의 네임서버)

가능합니다.
실제로 그렇게 사용되고 있는 사례도 부지기수이고요.(방화벽/VPN 안쪽에선 벼라별 일이 다 벌어집니다)

그 서버의 DNS 포트(udp/tcp)에 접속할 수 있는 클라이언트가 자신의 DNS 서버를 그 서버로 지정할 수만 있으면 됩니다.
다만.. 그 서버가 power off 상태거나 기타 등등 query 에 제대로 응답 못하는 상황을 고려한다면,
myhome 등 있을리 없는 도메인을 사용하시고, 각 클라이언트 컴퓨터에선 두번째 네임서버로 그 서버를 지정해야겠죠.