수학의 암묵적인 룰이라

red10won의 이미지

밑에 예제는 이거랑은 다른거죠 ?

0.9999999999999... = 1

0.33333333... = 1/3이고

1/3 + 1/3 + 1/3 = 0.99999999... =1

0.99999.. 무한반복되는거랑 어떻게 1이 같냐고 하지만
분수화 시켜보면 증명은 되거든요...

ifree의 이미지

0.9999999999999... 는 숫자라기 보다는 수렴값을 나타내는 수식으로 보아야 할 듯.

익명 사용자의 이미지

0.9999...와 1.0000... 이 같다는건 실수의 소수표현이 유일한게 아니라는 말이죠.
어차피 분수화시켜 증명한다거나 수렴값이라거나 하는 말과 같다고 해석할 수도 있지만서도,
어찌보면 왜 같냐고 묻는 사람들은 실수 하나를 소수로 표현하는 방법이 유일하다는 묘한 암묵적인 가정을 하고 있는거잖아요.

mykldp의 이미지

0.33333333... = 1/3
1/3 + 1/3 + 1/3 = 0.99999999... =1

이건... 증명이라고 부르기 어려운데요?
먼저 0.33333333... = 1/3 을 증명해야지요~.
그리고 사실 그걸 증명하는거나 0.99999999... =1 를 증명하는 거나 거의 같기 때문에
그냥 0.99999999... =1 를 직접 증명하는 것이 낫습니다.
혹시 나누기 규칙을 사용해서 1/3 = 0.33333... 인 것을 보일 수 있다고 생각하신다면...
그것도 일리가 있기는 하지만 현대적인 의미에서 "증명" 과는 거리가 있습니다.
무한을 그런 '끝없이 반복되는 어떤 과정' 방식으로 다루면 맞는 경우도 많지만 이상한 결과를 얻기도 쉽습니다.
19세기 후반에 미적분학의 엄밀한 기초가 만들어지기 전에 그런 실수를 하기 쉬웠지요.
그런 직관은 답을 얻기 위한 동기 정도로 삼으면 좋습니다.

테크니컬하게 증명을 해보자면
0.9999... = 1 는 slee0303님 말씀처럼
수열 0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ..., 즉 a_n = (10^n - 1) / 10^n 이 1 에 수렴한다는 뜻입니다.
이는 "아무리 작은" 양수 값 ε 에 대해서도 n 을 충분히 크게 잡아서 | 1 - a_n | < ε 이 되도록 할 수 있다는 뜻입니다.
말로 풀자면, 9를 충분히 많이 쓰면 1 과 0.9999... 의 차이 (에러) 를 "얼마든지" 작게 만들 수 있다는 뜻이지요.
부등식 | 1 - (10^n - 1) / 10^n | < ε 을 풀면 n 이 얼마나 커야하는 지 알 수 있겠지요.
풀어보면 n 이 - ln(ε)/ln(10) 보다 클 때에 1 과 a_n 의 차이가 ε 보다 작다는 것을 알 수 있습니다.
증명 끝.

암묵적인 룰이라기보다는 제 생각에는 무한소수의 "무한" 이 무슨 뜻인지 사람들이 잘 몰라서 이상하게 생각하는 것 같습니다.
수학에서 무한을 다루는 방법의 핵심은 "아무리 A 해도 B인 무엇이 존재한다." 또는
"아무리 A 해도 얼마든지 B하게 할 수 있다." 같은 형태의 언어 표현입니다.

kkb110의 이미지

무한에 관한 정의는 중,고등학교때 limit을 배울때부터 가르쳐줘야 한다고 생각합니다. 왜 안그럴까요? 흠;

지리즈의 이미지

주류 수학에서는 0.99999...에 대한 특별한 표기를 하지 않습니다.
그래서, 0.9999.... = 1 이거나 0.99999.... ≠ 1 인 경우가 있습니다.
0.99999...는 1에 무한하게 수렴하고 있는 형태입니다.
진행중이기 때문에 결과적으로는 1이지만,
만약, 이러한 진행중(수렴중)에 인터셉트가 발생하는 계산에서는 1이 아닐 수도 있는 식이죠.

이러한 것을 굳이 구분하지 않는 것은 초등학생 레벨에서의 의미론적인 논란만 있을 뿐이지,
일반적인 수학적인 접근에서는 명확하게 구별되기 때문입니다.

참고로 이런 것을 구분되도록 표기하는 비주류수학도 있습니다.
구분하게 표기할 수 있지만, 한마디로 너무 낭비라 안할 뿐입니다.

There is no spoon. Neo from the Matrix 1999.

세벌의 이미지

0.9999..... 와 1이 다르다면? 두 수의 차가 0이 아니겠죠?
그럼 빼 보죠.
1 - 0.99999.... = 0.00000000.... = 0
근데 써 놓고 보니 이걸 증명이라고 할 수 있나 모르겠네....요.... 횡설수설 -.-

niuzeta의 이미지

x = 0.99999....

10x = 9.99999.....

10x - x = 9x = 9

9x / 9 = 9 / 9 = 1

참 쉽죠?

물론 순환소수는 유리수라고 못을 박아둔 상황에서의 이야기지만 말입니다.

...And all in war with Time for love of you,
As he takes from you, I engraft you new.

-Sonnet XV
전산계획설계사 지망 영문학과생

ekh0324의 이미지

1/(1-x) 와 같은 상황같이 특수한 상황에는 다른.

cleansugar의 이미지

Ambiguously Defined Mathematical Terms at the High School Level
http://jeff560.tripod.com/ambiguities.html

수식 떡밥 투척. -_-; 48÷2(9+3) = ??
http://kldp.org/node/122519

재벌 2세가 재벌이 될 확률과
금메달리스트 2세가 금메달을 딸 확률이 비슷해지도록
자유오픈소스 대안화폐를 씁시다.

아이디의 아이디어 무한도전
http://blog.aaidee.com

귀태닷컴
http://www.gwitae.com

dridro의 이미지

무한대에 관한 이해입니다. 고교수학은 일반적으로 현대수학 이전의 근대수학을 주로 배우는데, 사실 수학은 19세기 중반을 기점으로 엄청나게 변했습니다. 중고교생들이 보통 최고로 꼽는 오일러/가우스 역시 근대수학자에 속하고요. 근대수학과 현대수학의 가장 커다란 차이점은 바로 '무한대'에 관한것입니다. 가우스같은 경우 '무한대는 화법의 일종일뿐 수학에서 절대로 사용해서는 안된다'는 명언까지 남겼는데, 현대수학에서는 마구마구 사용합니다. 사실 무한대 사용금지는 고대 희랍시절부터 내려오던 수학상의 '제1금기'였는데, 이를 최초로 깬것은 가우스의 제자이며, 현대수학의 아버지라 불리는 데데킨트입니다. 데데킨트는 사실 그다지 주목받던 수학자는 아니었는데, 유리수와 실수를 수학에서 '완전히 다른것' 취급(오늘날 현대수학에선 아니죠. 둘다 그냥 집합.)하는것에 의문을 갖고 최초로 집합개념을 만들어(데데킨트 이전에도 집합개념은 있었으나, 유의미하게 사용한것은 데데킨트가 최초라고 봐도 됩니다.) 유리수 집합에서 dedekind's cut 을 이용하여 실수집합을 만들어보입니다. 사실, 고대희랍에서부터 저 두가지를 완전히 다른 취급을 했던 이유가 바로 유리수에서 실수로 넘어가기 위해서는 필연적으로 무한대라는 벽을 넘어야 했는데, 당시에는 철학적으로 무한대 사용이 금지되었으므로 못했던거죠. 데데킨트는 그것들을 무시한채 그냥 무한집합을 사용하여 그 벽을 넘었고, 당연히 가우스를 비롯한 거센 비판이 이어졌고요. 데데킨트는 불굴의 의지로 싸워나갔고, 이와중에 칸토어가 커다란 제스쳐로 데데킨트 편을 들었죠. 그러다가 칸토어가 '실수를 셀 수 있을까요' 라는 편지를 데데킨트에게 보내고, 얼마후 스스로 불가능하다고 증명을 합니다. 단순한 집합개념에서 최초로 '집합론'이 탄생한 생일날이죠. 이 증명으로 칸토어는 집합론의 아버지 칭호를 얻고, 후에 무한대는 무한대만큼 여러가지 종류가 있다고 하면서 로마 교황청 주교에게 '무한대는 신을 의미하는데 무한대가 여럿이라는것은 다신론자라는거냐'같은 협박편지도 받았고요. 무한집합을 사용함으로서 더이상 '직관'이라는데 기댈 수 없던 데데킨트는 새로운 발판으로 '논리'를 삼습니다. 즉, 근대수학까지에서 수학이 수나 도형같은 직관적인 개념들에 의지하여왔다면, 데데킨트 이후의 현대수학에서는 그런 직관을 버리고 '논리규칙'에 의거하기 시작했다고 보시면 됩니다. 그 이후로, 프레게, 러셀, 힐버트, 브라우어, 괴델 기타등등의 여러가지 굴곡이 있다가 탄생한것이 현대수학이죠.

다들 같은 집합이라는 전제는 제쳐두고, 수학에서 '유한', 그리고, '무한'은 중고교생들이 자주 착각하는것과 같은 '양적' 차이가 아닌 '질적' 차이로 봐야 합니다. 즉, 개념적으로 완전히 다른 오브젝트로 취급해야 합니다. 0.999... 에서 ... 표시는 무한대를 의미하는 약속같은것이고, 이렇게 무한대가 들어가면 일반적으로 생각하는 직관적인 9 가 아주 많다와는 다르게, '논리적으로' 접근해야 합니다.(물론, 유한 역시 논리적으로 정의되어있고 순수 논리적으로 접근하는것이 옳습니다만, 그 논리적 정의들이 대부분 인간의 직관을 포용할 수 있도록 만들었기때문에(어차피 인간은 직관을 완전히 벗어날 순 없죠.), 유한의 경우에는 다소 직관적으로 접근해도 문제는 없습니다.) '...' 같은 기호는 일반적으로 널리 쓰이는 정의같은게 없기때문에 사실 논리적으로 접근하는것도 좀 거시기하긴 합니다만, 어쨋건 저 문제 자체가 중요한것은 아니고, 현대수학은 그렇습니다.(사실 저런 수식의 경우 어떤 체계에 대한 이야기 없이 단도직입적으로 증명을 말하는것은 좀 어색하긴 합니다. 엄밀한 증명은 가장 먼저 수학의 언어, 보통 일차언어에서 시작하여 자연수/실수따위를 구성해야 하고, 자연수/실수따위의 구성도 집합론을 통해서 구성하느냐 type theory 를 통해 구성하느냐 등등 여러가지 방법이 있고, 일반적으로 그렇게 해서 사칙연산까지 구성만 제대로 해주면 저런 개별연산은 거기서 저절로 증명이 되는것이 대부분입니다.) 공부해야되는데 오늘 글쓰는데 시간을 너무 버리네요. 흥미있어하는 분야의 주제가 나와서 그런것같습니다.