0으로 나눗셈을 할 수 있는 방법 발견

권순선의 이미지

영국의 한 교수가 수학에서 불가능하다고 믿어져 왔던 '0으로 나눗셈하기' 문제를 'nullity'라는 새로운 개념을 도입해서 풀었다고 합니다. 아래 그림의 아랫부분에 있는 기호가 바로 nullity를 표시하는 것이라고 하는데요.

자세한 내용은 다음을 참고하시기 바랍니다. 혹 수학 전공하시는 분이나 좀더 관심이 있는 분이 한번 확인해 보시고 설명을 해 주실 수 있으면 감사드리겠습니다.

http://www.bbc.co.uk/berkshire/content/articles/2006/12/06/divide_zero_feature.shtml

송효진의 이미지

1 / 0 = null 이 되는건가요?

프로그래밍 하기에는 1 / 0 = 1 (error level : notice - divide by zero -- php) 정도가 편한데 말이죠...

emerge money

leonid의 이미지

1/0 = +inf 였군요..

저는 limit x -> +0 : 1/x -> +inf 만 있는 줄 알았는데..

제가 수학을 잘 못해요 ㅎㅎ

lifthrasiir의 이미지

극한의 개념을 가지고 나눗셈을 하자면 1 / +0 = +inf이고, 1 / -0 = -inf이지만, 1 / 0의 경우 둘 중 하나로 결정될 수 없기 때문에 부정(cannot be defined)입니다. 값을 결정할 수 없어 결과가 부정인 수식은 이외에도 많은데 0으로 나누는 경우만 왜 따로 취급해야 하는지 의문입니다. (그리고 IEEE 754는 이런 종류의 숫자를 깔끔하게 표현할 수 있는 NaN -- Not a Number라는 개념을 지원하지요.) 그냥 의미 없는 주장에 불과한 듯 싶군요.

참고로 만약 양의 무한대와 음의 무한대가 나뉘어 있지 않고 항등원에서 무한히 멀어지는 숫자를 무한대라고 가정하여 실수나 복소수 체(field)를 확장한다면, 항상 1 / 0 = inf가 성립합니다. 하지만 이렇게 확장된 집합은 체가 되지 않습니다. 그 밖에 영문 위키백과에 0으로 나눈 결과가 정의되는 체계가 정리되어 있습니다.

lagendia의 이미지

영문 위키백과 Transreal numbers에서도 Transreal numbers라는 부분이 한 대학만 연구되고 있어서, 이 글에 대한 삭제가 논의 중이군요. 12월 7일까지 이의 제기가 없으면 삭제 될거란 뜻으로 보입니다. 이건 새로운 기호를 도입한 것이지, 기존의 것으로 부터 존재할 수 있었던 것을 이끌어낸 게 아니기 때문에 수학이 아니라는 말도 받고 있는 것 같군요. 무한이라는 정의 자체가, 계속 무한히 커지는 상태를 의미하는 건데(어떤 수를 잡아도 그보다 큰 수가 항상 존재) 기호로 고정시킨다는 게 수학적으로 어색한 것 같습니다. 0/0을 특정 기호로 정의한다는 것 자체가 극한을 공부할 때에는 오히려 헷갈리게 할 것 같네요. lim(x->0) 2x/4x라면 1/2인데 말이죠, 단순히 0/0이어서 nullity라고 해버리면 극한을 사용하는 미분과 적분은 어떻게 될런지..

kkb110a의 이미지

기사를 보니 stretching from negative infinity, through zero, to positive infinity 라고 되있는데
그러니까 교수가 의도한 nullity가 뜻하는것이 모든 수를 뜻하는 것같네요

나누기 기호를 곱셈의 역으로 볼때는 합리적으로 보이는군요.
0에다가 어떤 수를 곱해도 0이 되니

0 x a = 0 을 만족시키는 a는 "음의 무한대부터 양의 무한대까지 모든 수"(아마도 교수가 의도한 nullity) 라고 해도 맞으니까요.

그리고 극한의 경우는 좀더 고찰이 필요할거같습니다만
lim(x->0) 2x/4x 같은 경우는 x가 0에 수렴한다는것이지 0 아니기때문에 nullity개념하고 충돌은 없어보이네요

lim(x->1) 2x/4x 를 구할때 식에 x=1을 대입해서 풀지만 x가 진짜 1이라서 그렇게 푸는게 아니고
다만 그것이 결과적으로 x가 1으로 수렴하는 극한과 계산값이 같아서 그렇게 푸는것이니까요.

eezen의 이미지

저는 잘 모르는 문제지만 오독하신 것 같습니다.

기사에는 nullity' - which sits outside the conventional number line (stretching from negative infinity, through zero, to positive infinity).라고 되어 있습니다. 전통적인 숫자들(마이너스 무한대에서 0을 거쳐 플러스 무한대까지)의 밖에 존재한다고 읽어지는데요...

김기범의 이미지

아하 그렇군요! -_-;

idlock의 이미지


어떤 개념의 확립은 됬었지만 nullity가 어떤 체(자연수,정수....)에도 속할수가
없다는것이 문제입니다. 단순히 말하자면 숫자가 아니라는거죠
(ex. nullity + 1= ????)
그냥 define를 잘한 개념 설명정도 수준에서 끝나지 않을까 싶습니다.

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'고생은 사람을 고상하게도, 비열하게도 만든다'

jachin의 이미지

벼룩의 등에 벼룩의 피를 빨아먹는 벌레가 있고, 또 그 벌레의 피를 빨아먹는 생물이 있고...

종국에는 제일 작은 그 벌레의 몸 속에 거대한 우주가 들어있었더라는...

아마도 저 사람이 정한 nullity 라는 수는 수의 모든 것을 뒤덮는 수의 우주일 겁니다.

체를 뒤덮는 수. 그것을 이해하려면 우린 모두 물질적 가치를 버리고 존재하는 것으로

만족을 느낄 수 있는 생활을 하고 있어야 하겠죠. 일반적인 사람들의 상식으론 연결되지

않으리라 생각합니다.
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( - -)a 이제는 학생으로 가장한 백수가 아닌 진짜 백수가 되어야겠다.

zeon의 이미지

응? = 후

여친이 길르는 용..

youlsa의 이미지

Nullity를 16진수로 어찌 표현하게 될지 모르겠네요. 0xFFFFFFFF 로 표현할수도 없구요.. Nullity의 성질을 보면 값이 정해져 있지 않은 값인데.. 기존에 작성된 소프트웨어들이 0으로 나누는 연산을 하게 되는 경우에도 정상 동작을 하게 하려면 어떻게든 16진수로 그걸 표현해서 계산이 가능하도록 해줘야 할거 같은데요...

결국 Nullity를 염두에 두고 새로 작성하는 하드웨어/소프트웨어에서만 적용이 가능하지 않을까요?

그리고, 저 교수의 업적이라면 결국 NaN의 기호와 좀 더 멋진 이름(Nullity)를 제안했다는 정도일거 같습니다. 그 전에 없던 개념도 아니고...

=-=-=-=-=-=-=-=-=
http://youlsa.com

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http://youlsa.com

zeon의 이미지

특수 문자로 표현하겠죠.
연산 방법이 있다는 건지 모르겠지만 있다면 알고리즘이 있겠죠.

0xFFFFFFFF은 4294967295이라는 군요.

God said it. I believe it. That settles it.

여친이 길르는 용..

highwind의 이미지

http://scienceblogs.com/goodmath/2006/12/nullity_the_nonsense_number_1.php

위 article에 의하면 Bad math라고 얘기하고 있네요.
저도 nullity에 관한 기사를 처음 읽었을때 별로 새로운걸 발견한것도 아니라는 생각을 했습니다. 이미 우리들은 NaN이란 것으로 divide by zero를 잘 해결해 나가고 있지 않나요?
말 그대로 Bad Math인거 같습니다.

http://www.timothylive.net

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http://timothylive.net

jerry.so의 이미지

그림을 보고 처음에 이거 비슷한 건 줄 알았습니다. ^^

___
Knowing me, knowing you...

___
Knowing Me, Knowing You...

익명사용자의 이미지

여기 1번의 답이 뭔가요?
수학을 공부한지 너무 오래돼서 그런지… :-(

Prentice의 이미지

(a + b)n = k0an + k1an−1b + k2an−2b2 + … + kn−1abn−1 + knbn

ki = n! / ( i! * (n-i)! )

xx1의 이미지

다들 알고계시겠지만, 0/0=응 인데, 0/0=車 로 바꾸다니, 독창적이네요.

lovewar의 이미지

0으로 나눌수 없다는 이론은 어디서 봐야 하나요?

"0으로 나누면 0이 되는 것 아닌가"하는 생각이 드는데, 나눌 수 없는지에 대한 설명해 주실 분 계신가요?

전 그냥 이런 생각으로 접근하였습니다.

4/-1, 4/0, 4/1 이런 때, 결과들은 연속선상에 존재해야 될것 같은 생각이 문득 들어서요.

hys545의 이미지

2/0=ㅋ으로 가정하면
ㅋx0=2이렇게 되는데.
여기서 2/ㅋ=0이란 것도 성립가능한데.
그럼 여기서 ㅋ을 유리수나 무리수 어느걸로 보아도 거기다 0을 곱하는데 2가 되는건 논리가 안 맞습니다(원래 곱셈의 정의가 2x2는 2가 2개 있다고 보고 2x0은 2가 하나도 없다고 봄)
그래서 0으로 나눌수 없다고 정의한겁니다.

즐린

lovewar의 이미지

2/0 = x

이것을 통분할려면 0으로 곱해져야 하는데,

개념적으로 0을 옮기면 되지만, 실질적으로는

(2/0) * 0 = x * 0

이렇게 되는데,

x * 0 = 2 를 유도해 낼수 없는 것 같습니다.

그럼 아예 성립할 수 없기에 0으로 나눌수 없다고 봐야 하는 건가요?

Ooryll Qrygg의 이미지

대강 이렇게 되지 않을까요:
let's assume that a/0 is not 0 for all a that is not 0.
then a = 0* x such that x is not 0. (by definition of / , and by definition, 0 is
an element such that for all x, 0+x=x+0 =x
and you can easily prove that 0*x=x*0 = 0 using mathematical induction)
hence a = 0, which contradicts our assumption that a is not 0.

let's assume that a/0 = 0 for all a that is not 0.
then a = 0*0 = 0 (by definition of / and 0*x=x*0=0).
hence a = 0, which again contradicts our assumption that a is not 0.

hence, a/0 is not 0 and not some x that is not 0 for all a that is not 0.
therefore, a/0 is undefinable for all a that is not 0.

and ...
when a is 0, we get a/0 to be both 0 and something not 0, so it's undefinable too.

익명사용자의 이미지

혹시 이런 생각들은 해보지 않으셨습니까 ?

일반적으로 0 은 존재하지 않는 수(정의되지 않는 수) 라고들 합니다.

x * 0 = 0

에서 왜 모든 수의 0 배수는 0 이 될까요 ?

위와 같은 정의라면 결과값은 x 의 배수이거나 0 의 배수이어야 하는데 이 경우에는 둘 다를 만족시키지 못합니다.

만약 2 * 0 = 0 이라면 결과값은 2 의 배수가 되어야 하는데 0 은 존재하지 않는 수(정의되지 않는 수) 이므로 2의 배수를

만족시킬 수가 없기 때문이죠.

분모로 쓰일 0 말고 분자로 쓰일때의 0 에 대해서는 생각해보지 않으셨는지요.

lovewar의 이미지

2 * -1 = -2
2 * 0 = 0 (0 은 기준점 역할을 하는 것으로 생각합니다).
2 * 1 = 2
2 * 2 = 4

배수의 개념에는 맞지 않을 수도 있지만, 역배수란 개념이 올 수는 없나요?
// 0은 모든수의 배수가 되는 기준점이 되는 반면, 0의 배수는 존재하는가?
// 0은 수가 아니기에 존재하지 않는다라고 해야 하나요?

익명사용자의 이미지

글쎄요... 전 수학에 대해서 잘 알지 못합니다.
기껏해야 대학교 1학년에 많이 배우는 공업수학의 수준이라서요.
언제나 궁금했던 부분인데 누군가는 명쾌하게 말씀해 주실 거라 믿고 글을 남겨봤습니다.

() 안에 남겨놨습니다. 정의되지 않는 수 라고...

예전에 고등학교 때 공부를 하면서 봤던 책에서는

2 * 0 = 0 이 옳은 이유는
2 * 0 /2 = 0 / 2
==> 1 * 0 = 0 ( 1 * x 는 x 이므로 옳다.. ) 라고 되어 있던 책도 있었거든요 ;;;;

0/0 도 정의가 되는건지 무지 궁금했었는데 그 당시에는 소심쟁이라서 어디 질문도 못했습니다. >.<

질문이 이상해도 돌 던지지 마시고 수학에 무지한 사람은 그냥 이렇게 생각하는 사람도 있구나라고 생각해 주시면 고맙겠습니다.

moonend의 이미지

수학과 학생을 제외한 모든이가 배우는 수학은 17세기 수준의 수학입니다.
그만큼 수학이 어렵기는 하지만...

19세기말, 20세기 초에 수학자들은 이런 증명을 하고 있었습니다.
교환법칙'm+n = n+m'이 옳다. 등등

솔직히 0으로 나누기와 같은 이야기는 논리 수학자들 앞에서는 논리의 기초도 이루어내지 못한 것일 가능성이 큽니다.
저는 그 증명을 보고는 싶지만, 이해하지는 못할겁니다.

lynn_kor의 이미지

0 = -0
0은 유일하다
1^-1 = 1
-(a+b) = -a-b
이런건 공리를 사용하여 증명하는걸 배웠었는데 문득 생각이 나네요.
근데 m+n = n+m은 몇개 안되는 수학의 공리중 하나라고 기억하고 있어요.
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* sunhoNet
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nike984의 이미지

저딴걸 왜 하죠 ? -_-

dakiller6의 이미지

기사 자체에는 이론에 대한 설명이 없군요. 단지 실수가 아닌 새로운 수를 추가한다는 것 말고는 말입니다.

그러나 기사에서 예를 든 내용, "자동항법으로 비행기 착륙 중인데 0으로 나누는 문제가 발생하여 기계가 다운되면 큰 문제일 것이다. 또 심장박동장치를 사용중인데 0으로 나누는 문제가 발생하면 당신은 즉사할 것이다"라고 말하는 것으로 보아, 기계장치에서 연산할 때 0으로 나누는 문제가 발생할 시 이러한 에러를 처리하는 방법을 말하는 것이 아닐까요? 그 글 아래보면 Nicolas Capens라는 분이 댓글로 이 방법은 오로지 컴퓨터과학에서 제한된 유용성을 가진다고 써놓은 것도 그런 맥락인거 같습니다.

ps jerry.so님 댓글보고 많이 웃었습니다 ^^

익명사용자의 이미지

왜 0으로 나눌수 없다고 생각한건지..
전 아주오래전부터 0으로 나눌수있고 있어야하고.. 그값은 1/0 은 +무한대 라고 말했었는데.

송효진의 이미지

곱하기와 나누기.
말 그대로의 의미로 보자면,

2 * 1 = 2 를 그릇에 한번 담는다. 그래서 그릇에는 2가 있다. = 2
2 * 0 = 2 를 하나도 그릇에 담지 않는다. 그래서 그릇은 비어있다. = 0

4 / 2 = 4 를 2개씩 나누어 각각의 그릇에 담는다. 2씩 2개의 그릇에 담겨서 총 2개의 그릇으로 나뉘었다. = 2
4 / 1 = 4 를 1개씩 나누어 각각의 그릇에 담는다. 1씩 4개의 그릇에 담겨서 총 4개의 그릇으로 나뉘었다. = 4

4 / 0 = 4 를 하나도 나누지 않았다.
따라서 그릇을 준비하지 않았다. = 0
하지만 나누지 않은 4 가 아직 있다? = null ?

이거 고민될 만 한 거군요.
지금 해 보니까 php, python, expr 등 레벨이 warning 이네요.
리턴값이 0 으로 오지도 않는군요.

emerge money
http://wiki.kldp.org/wiki.php/GentooInstallSimple - 명령어도 몇개 안되요~