수학 공부 해둘껄...

digitie의 이미지

저어기 아래의 쓰레드에 글쓰다 생각나서 적습니다 :)

사실 공대 들어와서도 수학의 중요성을 크게 깨닫지 못하고 있었는데 재수강(혹은 삼수강-_-)을 하면서 책을 들여다 보니 왜왜왜왜왜 미적, 공학수학을 대충대충하고 넘어갔었는지에 대한 후회가 많이 듭니다. 단순히 공식을 외우고 푸는 방법을 외우는 수준으로는 더 깊이 있는 무언가를 할 때 버겁다는걸 절실히 느낍니다.

책을 들여다 보면 분명히 배운 내용이고 어떻게 푸는지는 알겠는데 이게 물리적으로 어떤 의미를 가지는지에 대해서는 전혀 감이 안오더군요. -_-; 분명히 공식이 그렇게 나오는데는 이유가 있더라는걸 이제야 깨달았습니다. 덕분에 전공과목 공부하랴 공학수학 복습하랴 고등학교 수학2 책 펴 놓고 싸인공식 다시 외우랴 확률 통계 보랴 아주 그냥 막 미치도록 고생하고 있습니다.

왜왜왜왜왜 그때는 공수책에 적힌 설명은 안오고 푸는 방법만 외울 생각을 했는지 무지 후회됩니다. ㅠㅠ

나중에 제 자식이 자연대, 공대를 가게 된다면 다른건 다 용서해도 수학공부 안하는건 용서 못할 것 같습니다. 아니, 어릴때 부터 수학 교육은 확실하게 해두어야겠지요. :twisted:

PS. 고등학교때 배우나마나 했던 확률 통계가 이렇게 많이 쓰일줄은 몰랐습니다. 아흑 ㅠㅠ

비행소년의 이미지

digitie wrote:
나중에 제 자식이 자연대, 공대를 가게 된다면 다른건 다 용서해도 수학공부 안하는건 용서 못할 것 같습니다. 아니, 어릴때 부터 수학 교육은 확실하게 해두어야겠지요. Twisted Evil

전 공대, 자연대 간다 그러면 용서가 안 될듯한데요 :twisted:

높이 날다 떨어지면.
아푸다 ㅡ,.ㅡ

ㅡ,.ㅡ;;의 이미지

고등때 적분으로 고민했던적있는데 친구에게 물어보다 한가한넘 취급 받은...
수학선생님의 살아가다가 간혹 1 혹은 0이란것들이 과연무엇인가..에대해 다시한번생각해보라 는말이 생각나는군요..


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warpdory의 이미지

물리학은 원래 수학없이도 서술이 가능합니다. 물론, 수학없이 하려면 수학으로 하는 것보다 수억배 더 복잡하므로 .. 그냥 수학으로 설명하는 게 쉽다.. 이거죠.

파인만의 물리학 노트나 수학없는 양자역학 같은 책을 보시기를 권합니다.
개념 잡는 데는 쓸만합니다.

그리고, 수학은 도구일 뿐입니다.(수학자 말고...) 도구사용이 어렵다면 다른 쉬운 것을 쓰면 되는 것이지요.


---------
귓가에 햇살을 받으며 석양까지 행복한 여행을...
웃으며 떠나갔던 것처럼 미소를 띠고 돌아와 마침내 평안하기를...
- 엘프의 인사, 드래곤 라자, 이영도

즐겁게 놀아보자.

sDH8988L의 이미지

akpil wrote:
그리고, 수학은 도구일 뿐입니다.(수학자 말고...) 도구사용이 어렵다면 다른 쉬운 것을 쓰면 되는 것이지요.

이미 현대에 와서 수학은 도구의 개념을 훌쩍 뛰어넘었다고 봅니다...

'단순히 이거 안쓰면 다른 거 쓰면 되지...' 수준의 도구가 아니라는 거죠...

비근한 말로 사람의 인식 체계는 언어가 결정하는 말이 있습니다...

언어가 많은 상황에 대처하지 못하도록 만들어졌을 경우 생각도 못한다는 말이죠...

수학과 물리학의 관계도 그렇다고 봅니다...

수학이 발전했기 때문에 물리학에서 생각할 수 있는 한계가 넓어졌고 그로 인해 또 수학이 발전하는 관계가 된 것이라는 말이죠...

수학을 단순한 도구로 보기에는 문제가 있습니다... 수학이 없으면 물리학도 없다... 고 보는 편이 타당하지 않을까요?

흠...

그러고 보니 또 시간과 공간의 관계가 생각이 나네요... 시간과 공간은 빅뱅으로 생겨나 이 우주의 특이성이라고 하죠... 둘을 떼어놓고 생각할 수 없는 거...

현대에 와서는 수학과 물리학이 그렇게 되어 버린 거 같습니다...

punkbug의 이미지

저도 지금 공학을 공부하고 있지만..
수학을 놓고 나니까.. 점점 학업이 버거워집니다.
중학교때만 해도.. 학교에서 '수학천재'(-_-)라고 불리웠었는데..(뭐. 수학을 잘해서라기 보다.. 어떤 계기에 의해..)
고등학교때 수학을 점점 등안시 하다보니.. 대학와서 수학이 아닌 다른부분도 너무너무 힘들게 됩니다.
역학이나 공학 시간에.. 이건.. 뭐. 적분하고.. 미분하고.. 하면 이렇게 된다. 라고 얘기하면.. 다들 아.. 그렇구나 하고 넘어가지만..
저는 뒤에서 혼자.. 적분을 어떻게 하지? 미분을 어떻게 하지.. 하며.. 혼자 진도도 못따라가며 혼자 해메고 있습니다.

여기 계시는 중.고등학생분들.!
공학을 공부하실분들은(대부분 그렇게 되지않을까? 생각되지만..)
꼭! 수학만큼은 열심히 공부하세요.
역사나 경제는 차라리 포기하더라도 수학만큼은 베이스로 깔아놔야합니다. 정말!!
수학은 가장 밑거름입니다. 수학없이는 공학을 하다 못해 물리학도 할수 없습니다.

newbie :$

joohyun의 이미지

punkbug wrote:
여기 계시는 중.고등학생분들.!
공학을 공부하실분들은(대부분 그렇게 되지않을까? 생각되지만..)
꼭! 수학만큼은 열심히 공부하세요.
역사나 경제는 차라리 포기하더라도 수학만큼은 베이스로 깔아놔야합니다. 정말!!
수학은 가장 밑거름입니다. 수학없이는 공학을 하다 못해 물리학도 할수 없습니다.

큰일났네요..수학을 제일 소홀이 하고 있는데;;;

재수생
전주현

warpdory의 이미지

sDH8988L wrote:
akpil wrote:
그리고, 수학은 도구일 뿐입니다.(수학자 말고...) 도구사용이 어렵다면 다른 쉬운 것을 쓰면 되는 것이지요.

이미 현대에 와서 수학은 도구의 개념을 훌쩍 뛰어넘었다고 봅니다...

'단순히 이거 안쓰면 다른 거 쓰면 되지...' 수준의 도구가 아니라는 거죠...

비근한 말로 사람의 인식 체계는 언어가 결정하는 말이 있습니다...

언어가 많은 상황에 대처하지 못하도록 만들어졌을 경우 생각도 못한다는 말이죠...

수학과 물리학의 관계도 그렇다고 봅니다...

수학이 발전했기 때문에 물리학에서 생각할 수 있는 한계가 넓어졌고 그로 인해 또 수학이 발전하는 관계가 된 것이라는 말이죠...

수학을 단순한 도구로 보기에는 문제가 있습니다... 수학이 없으면 물리학도 없다... 고 보는 편이 타당하지 않을까요?

흠...

그러고 보니 또 시간과 공간의 관계가 생각이 나네요... 시간과 공간은 빅뱅으로 생겨나 이 우주의 특이성이라고 하죠... 둘을 떼어놓고 생각할 수 없는 거...

현대에 와서는 수학과 물리학이 그렇게 되어 버린 거 같습니다...

수학과 물리학은 불가분의 관계이기는 하지만, 수학이 없어도 물리학은 존재합니다. 다만 지금보다 훨씬 더 '어려워질 뿐' 입니다.
제가 위에서 예를 든 책을 읽어 보시면 이해가 되실 겁니다.

물리학은 F=ma 뿐만이 아니라 '뉴튼의 3가지 법칙' 이런 게 물리학이기 때문입니다. 즉, 물리적인 개념이 중요한 거라는 얘깁니다.

아마 학부과정에서 배울 수 있는 가장 고급 물리학이 양자역학이나 얼통계쯤 될텐데, 열통계는 좀 빼두고, 양자역학 같은 경우에 송희성 저 양자역학 같은 경우는 ... 딱 들여다보면 수학 모르면 잼병이 되어버립니다. 도대체 뭔 소리를 하는지 알 수가 없는 경우가 많지요. 모든 것을 수식으로 증명을 했기 때문입니다. 하지만, 파인만의 양자역학 같은 경우는 수식으로도 많이 쓰여 있지만, 개념 이해를 위해서는 수식 부분은 생략해도 큰 문제는 없을 만큼 다른 걸로도 표현하고 있습니다. 물론, 학점을 위해서는 수식을 잘할 필요는 있습니다.

보통 물리학문제를 풀기 위해서 수식에 치어서 ... 포기하는 것을 많이 보게 됩니다. 하지만, 그 수식은 좀 옆으로 제껴두고 그 문제가 대체 어디서 부터 묻는 것인가... 라는 것, 다시 말하면 물리학에서 보통 개념(concept)이라고 얘기하는 것부터 차근 차근 정리하면 그다지 어렵지 않습니다. 물론, 그 개념을 제대로 이해하고 있을 때겠지요.

물론, 수학공부를 잘할 필요는 있습니다. 위에서 설명한 물리학에서 말한 개념을 이해하기 위해서는 어느정도의 수학(최소한 고등학교 수준)은 있어야 쉽거든요. 하지만, 다시 한번 얘기하지만, 수식에 치어서 머리 싸매고 있는 것보다는 개념부터 파악하는 게 우선이라는 얘깁니다.
수학이 필요없다는 얘기는 아닙니다.

미적분을 못한다면 미적분 바로 앞에 있는 극한부터 다시 한번 보세요. 극한을 이해하면 미분은 다 이해된 겁니다. 단순히 sin 미분하면 cos .. 이런 거 외우고 있는 건 시간 낭비라는 얘깁니다. 물론, 시험이 내일 모레라면 어쩔 수 없죠 뭐.


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귓가에 햇살을 받으며 석양까지 행복한 여행을...
웃으며 떠나갔던 것처럼 미소를 띠고 돌아와 마침내 평안하기를...
- 엘프의 인사, 드래곤 라자, 이영도

즐겁게 놀아보자.

acme9273의 이미지

akpil wrote:
sDH8988L wrote:
akpil wrote:
그리고, 수학은 도구일 뿐입니다.(수학자 말고...) 도구사용이 어렵다면 다른 쉬운 것을 쓰면 되는 것이지요.

이미 현대에 와서 수학은 도구의 개념을 훌쩍 뛰어넘었다고 봅니다...

'단순히 이거 안쓰면 다른 거 쓰면 되지...' 수준의 도구가 아니라는 거죠...

비근한 말로 사람의 인식 체계는 언어가 결정하는 말이 있습니다...

언어가 많은 상황에 대처하지 못하도록 만들어졌을 경우 생각도 못한다는 말이죠...

수학과 물리학의 관계도 그렇다고 봅니다...

수학이 발전했기 때문에 물리학에서 생각할 수 있는 한계가 넓어졌고 그로 인해 또 수학이 발전하는 관계가 된 것이라는 말이죠...

수학을 단순한 도구로 보기에는 문제가 있습니다... 수학이 없으면 물리학도 없다... 고 보는 편이 타당하지 않을까요?

흠...

그러고 보니 또 시간과 공간의 관계가 생각이 나네요... 시간과 공간은 빅뱅으로 생겨나 이 우주의 특이성이라고 하죠... 둘을 떼어놓고 생각할 수 없는 거...

현대에 와서는 수학과 물리학이 그렇게 되어 버린 거 같습니다...

수학과 물리학은 불가분의 관계이기는 하지만, 수학이 없어도 물리학은 존재합니다. 다만 지금보다 훨씬 더 '어려워질 뿐' 입니다.
제가 위에서 예를 든 책을 읽어 보시면 이해가 되실 겁니다.

물리학은 F=ma 뿐만이 아니라 '뉴튼의 3가지 법칙' 이런 게 물리학이기 때문입니다. 즉, 물리적인 개념이 중요한 거라는 얘깁니다.

아마 학부과정에서 배울 수 있는 가장 고급 물리학이 양자역학이나 얼통계쯤 될텐데, 열통계는 좀 빼두고, 양자역학 같은 경우에 송희성 저 양자역학 같은 경우는 ... 딱 들여다보면 수학 모르면 잼병이 되어버립니다. 도대체 뭔 소리를 하는지 알 수가 없는 경우가 많지요. 모든 것을 수식으로 증명을 했기 때문입니다. 하지만, 파인만의 양자역학 같은 경우는 수식으로도 많이 쓰여 있지만, 개념 이해를 위해서는 수식 부분은 생략해도 큰 문제는 없을 만큼 다른 걸로도 표현하고 있습니다. 물론, 학점을 위해서는 수식을 잘할 필요는 있습니다.

보통 물리학문제를 풀기 위해서 수식에 치어서 ... 포기하는 것을 많이 보게 됩니다. 하지만, 그 수식은 좀 옆으로 제껴두고 그 문제가 대체 어디서 부터 묻는 것인가... 라는 것, 다시 말하면 물리학에서 보통 개념(concept)이라고 얘기하는 것부터 차근 차근 정리하면 그다지 어렵지 않습니다. 물론, 그 개념을 제대로 이해하고 있을 때겠지요.

물론, 수학공부를 잘할 필요는 있습니다. 위에서 설명한 물리학에서 말한 개념을 이해하기 위해서는 어느정도의 수학(최소한 고등학교 수준)은 있어야 쉽거든요. 하지만, 다시 한번 얘기하지만, 수식에 치어서 머리 싸매고 있는 것보다는 개념부터 파악하는 게 우선이라는 얘깁니다.
수학이 필요없다는 얘기는 아닙니다.

미적분을 못한다면 미적분 바로 앞에 있는 극한부터 다시 한번 보세요. 극한을 이해하면 미분은 다 이해된 겁니다. 단순히 sin 미분하면 cos .. 이런 거 외우고 있는 건 시간 낭비라는 얘깁니다. 물론, 시험이 내일 모레라면 어쩔 수 없죠 뭐.

잠깐 딴 길로 새자면 -_-;;
저도 이 수학의 개념이라는 것에 항상 목말라 있는데요.
고교 입학후 어언 15년을 걍 공식을 달달 외우는 걸로 배텨왔더랬지요 -_-;
집합, 선형 대수, 삼각함수들, 미적분
이런 애들 개념 좀 쉽게 알려주는 책이 없을까요?

warpdory의 이미지

acme9273 wrote:
akpil wrote:
sDH8988L wrote:
akpil wrote:
그리고, 수학은 도구일 뿐입니다.(수학자 말고...) 도구사용이 어렵다면 다른 쉬운 것을 쓰면 되는 것이지요.

이미 현대에 와서 수학은 도구의 개념을 훌쩍 뛰어넘었다고 봅니다...

'단순히 이거 안쓰면 다른 거 쓰면 되지...' 수준의 도구가 아니라는 거죠...

비근한 말로 사람의 인식 체계는 언어가 결정하는 말이 있습니다...

언어가 많은 상황에 대처하지 못하도록 만들어졌을 경우 생각도 못한다는 말이죠...

수학과 물리학의 관계도 그렇다고 봅니다...

수학이 발전했기 때문에 물리학에서 생각할 수 있는 한계가 넓어졌고 그로 인해 또 수학이 발전하는 관계가 된 것이라는 말이죠...

수학을 단순한 도구로 보기에는 문제가 있습니다... 수학이 없으면 물리학도 없다... 고 보는 편이 타당하지 않을까요?

흠...

그러고 보니 또 시간과 공간의 관계가 생각이 나네요... 시간과 공간은 빅뱅으로 생겨나 이 우주의 특이성이라고 하죠... 둘을 떼어놓고 생각할 수 없는 거...

현대에 와서는 수학과 물리학이 그렇게 되어 버린 거 같습니다...

수학과 물리학은 불가분의 관계이기는 하지만, 수학이 없어도 물리학은 존재합니다. 다만 지금보다 훨씬 더 '어려워질 뿐' 입니다.
제가 위에서 예를 든 책을 읽어 보시면 이해가 되실 겁니다.

물리학은 F=ma 뿐만이 아니라 '뉴튼의 3가지 법칙' 이런 게 물리학이기 때문입니다. 즉, 물리적인 개념이 중요한 거라는 얘깁니다.

아마 학부과정에서 배울 수 있는 가장 고급 물리학이 양자역학이나 얼통계쯤 될텐데, 열통계는 좀 빼두고, 양자역학 같은 경우에 송희성 저 양자역학 같은 경우는 ... 딱 들여다보면 수학 모르면 잼병이 되어버립니다. 도대체 뭔 소리를 하는지 알 수가 없는 경우가 많지요. 모든 것을 수식으로 증명을 했기 때문입니다. 하지만, 파인만의 양자역학 같은 경우는 수식으로도 많이 쓰여 있지만, 개념 이해를 위해서는 수식 부분은 생략해도 큰 문제는 없을 만큼 다른 걸로도 표현하고 있습니다. 물론, 학점을 위해서는 수식을 잘할 필요는 있습니다.

보통 물리학문제를 풀기 위해서 수식에 치어서 ... 포기하는 것을 많이 보게 됩니다. 하지만, 그 수식은 좀 옆으로 제껴두고 그 문제가 대체 어디서 부터 묻는 것인가... 라는 것, 다시 말하면 물리학에서 보통 개념(concept)이라고 얘기하는 것부터 차근 차근 정리하면 그다지 어렵지 않습니다. 물론, 그 개념을 제대로 이해하고 있을 때겠지요.

물론, 수학공부를 잘할 필요는 있습니다. 위에서 설명한 물리학에서 말한 개념을 이해하기 위해서는 어느정도의 수학(최소한 고등학교 수준)은 있어야 쉽거든요. 하지만, 다시 한번 얘기하지만, 수식에 치어서 머리 싸매고 있는 것보다는 개념부터 파악하는 게 우선이라는 얘깁니다.
수학이 필요없다는 얘기는 아닙니다.

미적분을 못한다면 미적분 바로 앞에 있는 극한부터 다시 한번 보세요. 극한을 이해하면 미분은 다 이해된 겁니다. 단순히 sin 미분하면 cos .. 이런 거 외우고 있는 건 시간 낭비라는 얘깁니다. 물론, 시험이 내일 모레라면 어쩔 수 없죠 뭐.

잠깐 딴 길로 새자면 -_-;;
저도 이 수학의 개념이라는 것에 항상 목말라 있는데요.
고교 입학후 어언 15년을 걍 공식을 달달 외우는 걸로 배텨왔더랬지요 -_-;
집합, 선형 대수, 삼각함수들, 미적분
이런 애들 개념 좀 쉽게 알려주는 책이 없을까요?

그런 책이 있는지는 모르겠습니다. 아마 고등학교 수학책이 답이 되지 않을까 싶군요. 올해 2월달에 졸업논문 낸 후로는 그쪽은 별로 안 봤거든요.


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귓가에 햇살을 받으며 석양까지 행복한 여행을...
웃으며 떠나갔던 것처럼 미소를 띠고 돌아와 마침내 평안하기를...
- 엘프의 인사, 드래곤 라자, 이영도

즐겁게 놀아보자.

fibonacci의 이미지

수학공부를 하면 할수록 느끼게 되는 것 하나가 있습니다. 수학공부는 누가 떠먹여줘서는 절대로 할수 없습니다. 자기 자신이 능동적으로 계산하고 증명해보려고 노력하지 않는한 아무리 쉬운 개념이해 책을 주더라도, 아주 쉬운 겉핧기 한번 더 하는것에 불과합니다.

요새 고교 문제집들은 답안이 반이 넘더군요. 제 여친이 과외하는데, EBS 교재보고 깜짝 놀랐습니다. 이렇게까지 떠먹여줘야 공부를 하는지. 학교 교육이 이런식이 되면, 정말 우수한 수학적 능력을 가진 사람은 암기력의 천재들에게 사장되겠더군요 -_-; 수학 문제의 답은 자신의 머릿속에서 만들어지는 것이지, 어디에 적혀있는 것이 아니다는 것을 모르는것 같아 답답합니다.

수학 공부의 왕도는 직접 뛰어드는 거 이외에는 없다고 말씀드리고 싶군요. 다른 공부도 마찬가지지만, 수학공부는 정말로 "No Pain, No Gain" 입니다.

No Pain, No Gain.

siegfried86의 이미지

ㅡ,.ㅡ;; wrote:
고등때 적분으로 고민했던적있는데 친구에게 물어보다 한가한넘 취급 받은...
수학선생님의 살아가다가 간혹 1 혹은 0이란것들이 과연무엇인가..에대해 다시한번생각해보라 는말이 생각나는군요..

오오.. 저랑 같은 고민을 하셨군요..
저는 덕분에 미친놈 취급 받고 있습니다. ;;
저는 사실 별로 수학에 대해 고민하지 않고
그저 공식외우는것만 하면서.. 수학을 하고 있었죠..
그런데 수시 준비를 하면서.. 증명과정을 물어보기때문에...
증명을 조금씩 시도하고 있었죠...
그러던중...
정적분의 기본정리를 증명하는 과정에서.. 무척 많은 고민을 했었습니다.
정석, 교과서, 개념원리 제가 가지고 있는 책이란 책은 다 꺼내서 고민했었죠..
도저히 이해가 안가서 공부좀 잘하는 친구에게 물어봤습니다.
친구가 하는말...
그건 시간낭비니까 외워 라고 하더군요...
쓸데없이 그런거나 하고 있다고...
그때 기분이 확 상했습니다...
그래서 오기로라도 내가 이걸 꼭 이해하고 말겠다..
라고 결심을 했죠...
그래서 우연히 여기서 어떤분이 추천해주신 수학이란 무엇인가...
그책을 접하게 되었습니다.
그 책에... 처음 부분에.. 대부분의 수학관련책에서 언급하는...
유클리드의 소수의 무한개에 대한 증명을 보게 되었습니다.
그걸 보고... 눈물을 흘리고 말았죠..
사실 소수가 무한개던 유한개던 그 누구도 신경쓰지 않는데...
유클리드라는 사람이 태가 태어나기도 훠얼씬전 증명해놓았다는 사실에
감동을 먹었습니다...
그리고 알았죠.. 내가 생각했던 수학적인 질문들...
정말 쓸데없고 이상한 질문이 아니었다는걸...
그때부터 수학이 너무 아름다워지더군요 ;;
사실 초등학교때 분수 나누기 분수는
분수 곱하기 역수 .. 이걸 이해하지 못했죠...
그래서 저는 이것에 대한 확실한 해석을 원하고 질문했지만...
돌아오는 답은 그냥 그런거다. 외워라.. 그것뿐이었습니다.
그때부터 아 내가 했던 질문들은 다 잘못된거고...
그냥 그렇게 외워야 되는거구나..
그 이후로 수학이 정말 재미가 없더군요...
하지만 친구의 한마디 덕에 수학의 아름다움을 몸으로 느낄수 있는 기회가 된 셈이지요...
아.. 그리고 수학의 개념에 대한 책중에...
수학독본 이라는 책이 있습니다.
아시는분은 아는 그런책인데요...
정말 최고입니다.
천천히 읽다보면...
이 책을 왜 빨리 만나지 못했는지 그냥 후회가 됩니다.

知之者 不如好之者 好之者 不如樂之者

sDH8988L의 이미지

akpil wrote:

수학과 물리학은 불가분의 관계이기는 하지만, 수학이 없어도 물리학은 존재합니다. 다만 지금보다 훨씬 더 '어려워질 뿐' 입니다.
제가 위에서 예를 든 책을 읽어 보시면 이해가 되실 겁니다.

흠.... 저와는 이야기의 초점이 다른 거 같네요...

akpil님께서는 지금 공부하는 사람들의 입장을 고려하시고 말씀하시는 거 같고 저는 수학하고 물리학의 기원 부분에 대해서 이야기 하고 있는 거 같네요...

물론, 저도 파인만의 책을 읽어보기는 했습니다... 아주 좋은 책이죠...

제가 이야기 하고 싶은 것은 수학이 없으면 물리학을 기술할 수 없다가 아니고 수학이 없으면, 물리학이 발전할 수 없다라는 정도일 겁니다...

저는 이미 만들어진 거니까 양자역학을 수학없이도 설명할 수 있는 거라고 생각하고 있거든요...

처음부터 수학이 없었다면, 양자역학, 상대성 이론이라는 거 자체가 나올 수 없었다.... 뭐 그런 거지요...

뭐... 간단하게 수학이 없으면 일부분의 문화적인 발전도 어떤 기본적인 한계에서 정체될 수 밖에 없을 거라고 봅니다... 간단하게 피라밋 같은 것은 만들 엄두도 내지 못할 것이며, 조금이라도 복잡한 건물들은 지을 생각도 못하죠...

제가 예를 든 언어라는 것이 참 불가사의하더군요...

1,2,3까지 밖에 셀수 없는 언어를 가진 부족들은 7, 8 이런 동물의 수를 인식하지 못한답니다!!!! 정말 신기하지 않습니다... 상식적으로 왜 인식하지 못할까 하지만, 그게 언어가 사고를 틀에 가두는 가장 좋은 예라고 하더군요...

sargas의 이미지

sDH8988L wrote:

1,2,3까지 밖에 셀수 없는 언어를 가진 부족들은 7, 8 이런 동물의 수를 인식하지 못한답니다!!!! 정말 신기하지 않습니다... 상식적으로 왜 인식하지 못할까 하지만, 그게 언어가 사고를 틀에 가두는 가장 좋은 예라고 하더군요...

재밌는 얘기군요!
snow를 일반인들은 불과 몇가지로 표현하고 구분하는데 비해 이누이트들은 수십가지로 구분하고 표현한다더군요.. 이것도 비슷한 예겠지요 :)

andysheep의 이미지

.

Devuan 1.0 (Debian without systemd)
amd64 station: AMD FX(tm)-6100 Six-Core Processor, 8 GB memory, 1 TB HDD
amd64 laptop: HP Touchsmart

글쇠판: 세벌 최종식, 콜맥 (Colemak)

ydhoney의 이미지

자연의 모든것은 수학으로 표현 가능하고(카오스 제외?)

이를 실제 자연법칙에 적용하는것이 물리요..

그를 컴퓨터에 표현해내는것이 프로그래밍인지라..

서로서로가 맞물려나가는게 아닌가 싶습니다.

이젠 프로그래밍(수학적인 부분으로 볼때..)도 수학과 물리와의

동일범주 내에서 취급되어야 하지 않을까 합니다.

그런데 도대체 어떻게 물리랑 수학을 떼놓고 생각할수가 있지요?

제 생각엔 수학과 물리가 서로가 없으면 그 자체만으로는 별로 존재 의미가 없다고 생각하는데요.

warpdory의 이미지

sDH8988L wrote:
akpil wrote:

수학과 물리학은 불가분의 관계이기는 하지만, 수학이 없어도 물리학은 존재합니다. 다만 지금보다 훨씬 더 '어려워질 뿐' 입니다.
제가 위에서 예를 든 책을 읽어 보시면 이해가 되실 겁니다.

흠.... 저와는 이야기의 초점이 다른 거 같네요...

akpil님께서는 지금 공부하는 사람들의 입장을 고려하시고 말씀하시는 거 같고 저는 수학하고 물리학의 기원 부분에 대해서 이야기 하고 있는 거 같네요...

물론, 저도 파인만의 책을 읽어보기는 했습니다... 아주 좋은 책이죠...

제가 이야기 하고 싶은 것은 수학이 없으면 물리학을 기술할 수 없다가 아니고 수학이 없으면, 물리학이 발전할 수 없다라는 정도일 겁니다...

저는 이미 만들어진 거니까 양자역학을 수학없이도 설명할 수 있는 거라고 생각하고 있거든요...

처음부터 수학이 없었다면, 양자역학, 상대성 이론이라는 거 자체가 나올 수 없었다.... 뭐 그런 거지요...

뭐... 간단하게 수학이 없으면 일부분의 문화적인 발전도 어떤 기본적인 한계에서 정체될 수 밖에 없을 거라고 봅니다... 간단하게 피라밋 같은 것은 만들 엄두도 내지 못할 것이며, 조금이라도 복잡한 건물들은 지을 생각도 못하죠...

제가 예를 든 언어라는 것이 참 불가사의하더군요...

1,2,3까지 밖에 셀수 없는 언어를 가진 부족들은 7, 8 이런 동물의 수를 인식하지 못한답니다!!!! 정말 신기하지 않습니다... 상식적으로 왜 인식하지 못할까 하지만, 그게 언어가 사고를 틀에 가두는 가장 좋은 예라고 하더군요...

수학이 없었다면 아마 지금만큼의 물리학은 없었겠죠. 하지만, 언젠가는 양자역학/상대성 이론이 나왔을 것이라고 생각합니다. 물론, 수학 없이 말이죠. 인류는 꽤 상상력이 풍부하거든요.

물론, 지금은 수학도 있고, 양자역학/상대성 이론도 있습니다. 그마만큼 수학이 중요한 역할을 하고 있다는 얘깁니다.


---------
귓가에 햇살을 받으며 석양까지 행복한 여행을...
웃으며 떠나갔던 것처럼 미소를 띠고 돌아와 마침내 평안하기를...
- 엘프의 인사, 드래곤 라자, 이영도

즐겁게 놀아보자.

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Quote:
수식으로 2차원 평면에서 원은 (예로, x^2 + y^2 = 1^2)

프로그램 코드나 말로 원을 표현하려면?

원이란 어떤점에서 거리가 같은 점들의 집합입니다. x^2+y^2=1^2으로 표현하게 되는 경우 원중에서 2차원에 국한된 원만을 표현할 수 있을 뿐입니다.
말로 다 표현할 수 있고, 고등학교 수학책에 말로 다 정의 되어 있읍니다. 기억을 되살려보자면,

원 : 한점에서 거리가 일정한 점들의 집합
타원 : 두점으로 부터의 거리의 합이 일정한 점들의 집합

뭐 이런 식으로 기술되어 있을겁니다. 수식이 모든 물리현상을 표현할 수 있다라는 표현은 대단히 위험한 생각이라고 봅니다. 단지, 실제 물리현상을 수학적인 도구를 사용하여 모델링할 수 있다고 보는게 맞습니다.(이건 대학교 공수책 앞에 잘 나와있읍니다)
이때 수학을 통해 모델링할때는 수많은 가정이 들어가게 되면서 실제 물리현상 중의 상당수가 생략되게 됩니다.

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Prentice의 이미지

sargas wrote:
sDH8988L wrote:

1,2,3까지 밖에 셀수 없는 언어를 가진 부족들은 7, 8 이런 동물의 수를 인식하지 못한답니다!!!! 정말 신기하지 않습니다... 상식적으로 왜 인식하지 못할까 하지만, 그게 언어가 사고를 틀에 가두는 가장 좋은 예라고 하더군요...

재밌는 얘기군요!
snow를 일반인들은 불과 몇가지로 표현하고 구분하는데 비해 이누이트들은 수십가지로 구분하고 표현한다더군요.. 이것도 비슷한 예겠지요 :)


참고로 둘 다 요즘은 학계에서 별 지지를 못 받는(?) 소문(!)입니다.

http://www.zompist.com/langfaq.html

http://www.zompist.com/lang21.html#29
http://www.zompist.com/lang16.html

grayfalls의 이미지

공학수학을 드랍했는데 걱정이군요...

whitelazy의 이미지

Quote:
수학이 없었다면 아마 지금만큼의 물리학은 없었겠죠. 하지만, 언젠가는 양자역학/상대성 이론이 나왔을 것이라고 생각합니다. 물론, 수학 없이 말이죠. 인류는 꽤 상상력이 풍부하거든요.

물론, 지금은 수학도 있고, 양자역학/상대성 이론도 있습니다. 그마만큼 수학이 중요한 역할을 하고 있다는 얘깁니다.


수학이 없었다면 양자역학을 수학없이 설명해 내기전에
양자역학이나 상대성 이론이 나올만큼 수학을 발달시켰을지도 모릅니다
뭐니뭐니해도 인간은 조금이라도 편한걸 찾아서 발전해 가지 않을까요 :lol:
Kari의 이미지

수학하니까. 저도 고등학교 시절 생각이나네요. 영어는 외국친구들과 써먹고 영화보고 팝음악을 듣고 아주 재미있게 공부를 했는데, 이놈의 수학은 거의 시험을 위해 공부를 했었죠. 전혀 흥미도 없었고... 그냥 대학갈정도만 하자고 마음먹고 그 후론 절대 미적분 과 확률은 절대로 볼 일 없을거라고 생각했었죠..

고2가서 자연반과 인문반을 나누는데 수학 하기 싫어서 인문반 갈려고 했는데,
한문이 더 싫어서 결국 자연계로 갔어요. 흐흐 ㅡ.ㅡ;; 대학에 진학할 때는 자연계열 중에서 가장 수학을 안할 거 같은 전산과 (수학은 안하고 플밍만 할줄 알았던거죠 ㅡ.ㅡ;;)에 진학을 했는데 1학년 첫학기 부터 미적분을 시키더군요... 대학가서도 1년에 한 두과목씩 꼭 수학이런 넘이 따라다니더군요 ㅠ.ㅠ

우째우째 대학원에 오니까 이거 완전 미적분하고 확률통계(랜덤프로세스) 이런 것만 시켜요 ㅜ.ㅜ 지난 학기 박사자격 시험이란 걸 봤는데 제가 싫어하는 이산수학(Abstract Algebra + Graph Theory, 기타 이론들), 랜덤프로세스, 선형대수 트리오를 봤습니다. 이걸로 더 이상 시험 볼 일은 없지만요..

전분야는 아니지만요. 지금 고등학교 다니시는 분들이나 대학 1학년 분들은 나중을 위해서라도... 수학과목에 열의를 둬보세요. 나중에 더 많은 고급응용분야를 건드릴 수 있는 능력이 생깁니다.

Mins의 이미지

전 학부 과정의 이산 수학은 정말로 재미있게 공부했었는데요..
(재미있게 했다고 성적이 잘 나오는건 아니더군요 ㅜ_ㅜ)

기초가 부족해서인지, 미적분은 정말 아무리 봐도 정이 안들더군요.
교수님이 여자분이셔서, 정말 열심히 해볼려고 했는데도 말이죠. -_-;
이것과 비슷하게, 물리도 열심히 해볼려고 해도, 그다지 정감이 안갔다는.

'열심히' 라는 말은.. 다분히 상대적이겠지만. ^^
둘다 기초가 없이는, 나중에 재미 붙이기가 상당히 힘든거 같아요.

ohhara의 이미지

요즘은 어떤지 잘 모르겠지만 ( 저 97학번 ) 수학 개념은 교과서 + 정석 정도면 별 무리가 없을 듯 합니다. ( 고등학교 수학 기준 )
그리고 그 느낌으로 대학교 수학은 그 위에 계속 쌓아올리면 별 문제가 없더군요. ( 수학을 도구로 사용했을때 기준 )
그런데 수학과에서 하는 수학은 왠지 저한테는 딴세상 이야기로 들리더군요. ( 참고로 전 엔지니어이고 학자타입이 아님 )
수학과에서 하는 수학은 증명이나 정확하고 엄밀한 것을 상당히 따지던데 엔지니어 입장에서는 오차 1%이내로 대애충 맞는 것 만들어서 쓰는 경우도 많지요. ^^;;;;

그런데 요즘은 어떤지 모르겠는데 제가 공부할 때는 공식 안 외우고 개념위주로 공부하면 점수 따는게 무지 힘들었습니다. 저는 상당히 오랬동안 미적분 공식마저도 제대로 안 외우고 쓸 일 있을 때마다 미적분 정의를 써서 유도해서 사용했었는데 ( 유도를 고속으로 하는 방법을 연구 ) 이렇게 하면 계산 속도는 매우 느려지지만 개념이 확실히 잡히고 시간이 꽤 지나도 잊어버리지 않습니다. ( 또 유도하면 되니까 -_-v ) 그런데 당연히 이런 짓 하면 시험시간내에 문제 다 못 풉니다. -_-;

이런 이유로 전 지금도 시험시간 무제한 시험 보면 거의 Top을 먹는데 시험 시간 한시간짜리 시험 보면 거의 Bottom을 먹습니다. -_-;;;

심지어는 수능시험 볼 때도 제가 고집스럽게 저렇게 개겼는데(많은 사람이 저보고 대학 제대로 가기 힘들거라 그랬음) 우리 때 문제가 엄청나게 이상하게 유형도 전혀 못 보던 이상한 식으로 나와서 ( 수능 사상 최대 난이도 ) 제가 시간내에 못풀고 찍은 게 한장이 넘었는데 백분율 %는 1%안쪽으로 rank되었던 기억이 -_-;;;;; 덕분에 운 좋게 대학은 그럭저럭 들어갔습니다. -_-v ( 수학에 x2를 해주는 대학이 그 당시에 있어서 -_-;;;;; )

추천하고 싶은 방법은 개념도 이해하고 공식도 외우는 걸 추천합니다. 물론 저도 그렇게 안 하고 있습니다만 -_-;;;;;;;;

Taeho Oh ( ohhara@postech.edu ) http://ohhara.sarang.net
Postech ( Pohang University of Science and Technology ) http://www.postech.edu
Alticast Corp. http://www.alticast.com

sargas의 이미지

검은해 wrote:
sargas wrote:
sDH8988L wrote:

1,2,3까지 밖에 셀수 없는 언어를 가진 부족들은 7, 8 이런 동물의 수를 인식하지 못한답니다!!!! 정말 신기하지 않습니다... 상식적으로 왜 인식하지 못할까 하지만, 그게 언어가 사고를 틀에 가두는 가장 좋은 예라고 하더군요...

재밌는 얘기군요!
snow를 일반인들은 불과 몇가지로 표현하고 구분하는데 비해 이누이트들은 수십가지로 구분하고 표현한다더군요.. 이것도 비슷한 예겠지요 :)


참고로 둘 다 요즘은 학계에서 별 지지를 못 받는(?) 소문(!)입니다.

http://www.zompist.com/langfaq.html

http://www.zompist.com/lang21.html#29
http://www.zompist.com/lang16.html

최근 객체지향프로그래밍을 배우고 있는지라..
Sapir-Whorf hypothesis가 가설이란 것 정도는 알고 있었지만
조금 당황스럽군요! 근데 이곳이 대체 무슨사이트입니까??

불량도ㅐㅈㅣ의 이미지

전 지금 편미분에 대한 개념이 없습니다..ㅡ.ㅡ

큰일 났네요. 이거 의외로 많이 쓰던데..

책 봐도 모르겠고..ㅡ.ㅜ

문근영 너무 귀여워~~

Prentice의 이미지

sargas wrote:
최근 객체지향프로그래밍을 배우고 있는지라..
Sapir-Whorf hypothesis가 가설이란 것 정도는 알고 있었지만
조금 당황스럽군요! 근데 이곳이 대체 무슨사이트입니까??

잘은 모르지만,
http://alt-usage-english.org/
http://www-personal.umich.edu/~jlawler/aue.html
위 장소와 마찬가지로 "유용한 곳"이라는 쪽에 한표 던지겠습니다.

( http://www.zompist.com/yingzi/yingzi.htm
영어하는 사람을 대상으로 하는, "한자란 무엇인가"에 대한 재미있는(?) 글도 있습니다. 한자의 표음문자적 특성(?)에 대한 묘사는 저에게는 큰 충격(?)이였습니다. )

gargamel의 이미지

우리나라 중/고등학생이 '수학의 정석' 말고 정말 새롭게 쓰여진 참고서를 보면서 '수학의 아름다움'과 '문제를 해결하는 재미', 그리고 '인내심'을 배울 날이 하루 빨리 오길 바랍니다.

가가멜을 닮은 사람!

ydhoney의 이미지

전 정석을 보면서 수학의 아름다움을 느꼈는데..

제가 뭔가 잘못됐나봐요. -_-a;

아름다운 증명의 세계~ 아아~

근데 군대다녀와서 하나도 모르겠어요. ㅠ.ㅠ

sargas의 이미지

검은해 wrote:
sargas wrote:
최근 객체지향프로그래밍을 배우고 있는지라..
Sapir-Whorf hypothesis가 가설이란 것 정도는 알고 있었지만
조금 당황스럽군요! 근데 이곳이 대체 무슨사이트입니까??

잘은 모르지만,
http://alt-usage-english.org/
http://www-personal.umich.edu/~jlawler/aue.html
위 장소와 마찬가지로 "유용한 곳"이라는 쪽에 한표 던지겠습니다.

( http://www.zompist.com/yingzi/yingzi.htm
영어하는 사람을 대상으로 하는, "한자란 무엇인가"에 대한 재미있는(?) 글도 있습니다. 한자의 표음문자적 특성(?)에 대한 묘사는 저에게는 큰 충격(?)이였습니다. )


혹시 영문학 전공이신가요?
사이트들 컨텐츠가 상당히 전문적이네요
단순히 해석차원을 넘어서는.. 무언가가 :oops:
fibonacci의 이미지

gargamel wrote:
우리나라 중/고등학생이 '수학의 정석' 말고 정말 새롭게 쓰여진 참고서를 보면서 '수학의 아름다움'과 '문제를 해결하는 재미', 그리고 '인내심'을 배울 날이 하루 빨리 오길 바랍니다.

제가 보기엔, 어중떠중 말발로 떠드는 겉핥기 참고서보다는 정석이 백배 나아 보입니다. 필요없이 장황한 설명보다는 예제와 문제를 많이 제기하는, RTFD(Read The Fucking Definition)가 무엇보다도 중요합니다.

No Pain, No Gain.

Prentice의 이미지

아뇨, "영어" 전공입니다. : )

수학에도 관심이 많습니다. Erwin & Kreyzig인가의 공업수학 책을 버리지 않았더라면 하는 생각이 들때가 종종있습니다.

imcrazy의 이미지

Quote:

프로그램의 소스 코드.

수식으로 2차원 평면에서 원은 (예로, x^2 + y^2 = 1^2)

프로그램 코드나 말로 원을 표현하려면?

위에도 쓰레드가 붙어 있지만... 순서가 반대 입니다..

수식의 원을 말로 표현하는 것이 아니고..

원이란
"평면 위의 한 점을 중심으로 하여 그로부터 같은 거리에 있는 모든 점을 이은 곡선"
으로 정의 됩니다.

이 정의를 수학적으로 표현한것이 흔히 말하는 원의 방정식이 되는 겁니다.

위 정의를 수학적으로 직접 표현해 보세요.. 전 고등학교때 이런 방법으로 공부 했습니다.

한점 의 좌표: (a, b)
일정한 거리 : r
점의 자취 : (x, y)

이렇게 놓고 원의 정의대로 기술해서 정리 하면 됩니다..

먼저 수학에 나오는 용어(?)의 정의를 먼저 이해하고.. 그다음 그 정의를 수학식으로 표현(유도)하면.. 보통 말하는 공식, 무엇의 방정식 이라고 하는 것이 유도 됩니다. (수학공부할때 국어사전도 옆에 놓고 공부해 보세요 ^^;;)

여기까지 하게 되면.. 그 분야(위의 예에서 원)에 대한 문제는 모두 해결할 수 있게 됩니다.

예를 들어 볼까요??

원의 정의를 알고 그것을 수학으로 표현할줄 알고 있다면...
원의 정의에 사용된 요소는 단 두개.. 즉 원점과, 일정한거리(반지름) 이란것도 알게 됩니다.

따라서 원에 대한 수학시험 문제는 때려 죽여도 원점반지름 에 관한 문제에서 벗어날수 없습니다.

괜히 선생님들이 알아보기 어렵게 문제를 꼬아 놓을뿐이죠..

개인적으로 고등학교때 수학공부 하면서.. 문제 유형에 따라 분류해서 공부하는 방식( 두원의 관계, 원과 직선의 관계 등등으로 분류해서 각각 다른 공식을 적용해 문제 풀이 하는 방법)을 무의미 하다고 생각 했었습니다.

위에서 미분을 공부하려면 극한 부터 이해하라고 하신 분의 말씀도 같은 맥락 이라 생각 됩니다.

mycluster의 이미지

미분... 글자그대로 입니다. (작을 미, 나눌 분)
아주아주 잘게 나눈다는 것을 뜻합니다. 이게 바로 미분이지요. 실제로 수학에서도

df/dx = lim[f(x+dx)-f(x)]/[dx] 라고만 외우면 이건 2차원 공간에서의 미분밖에 정의 할 수 없지요... 하지만 미분의 글자그대로의 의미인 '아주 잘게 나눈다'라는 것을 기억한다면 n차원 공간에서의 미분, 복소평면에서의 미분, 편미분 등등이 모두 상황에 따라서 식을 만들어 낼 수 있겠지요.

저도 수학공부를 할때, 혹은 과외를 가르칠때, 공수를 가르칠때, 수식보다는 definition 과 같은 말을 이해하게 하고, 그 말을 이해하고 난 다음에 이것을 적용하고자 하는 상황(2차원 실수공간, 혹은 복소평면상, 혹은 n차원공간 등)에 따라서 formulation을 적용하는 방식이 타당하다고 보입니다.

적분도 마찬가지죠. 잘게 나눠진 덩어리를 다 합쳐서 면적을 구한다... 이게 바로 Simga이고... Simga에서 n을 무한대로 보내면 Integrator가 된다. 라는 식으로 이해를 해야지 냅다 Int_a^b [f(x)]dx = F(x) + c
이런거만 외워서 무슨 적분이 되겠읍니까?

뉴튼의 법칙도 F=ma라고 가르치는 것은 가르치는 방법자체가 문제가 있는 것이지요. 어떠한 물체에 가해진 힘은 그 물체의 속도변화을 유발한다... 는 것이 뉴튼의 법칙이지요(정의가 좀 안깔끔합니다.) 이말을 바꿔 말하면, 외부에서 힘이 가해지지 않으면 그 물체의 속도는 변하지 않는다... 즉 가속도가 0이다라는 것이 관성의 법칙이고 결국 이걸 가장 단순화시켜서 표현한 식이 F=ma 가 되겠지요. 이것이 유체에 적용되면 Navier-Stokes 방정식이 되는 것이고, 진동학에서는 진동방정식이 되는 것이고, 전기쪽에서는 R-L-C 가 되는 것이죠(전기쪽은 좀 약해서...)

그리고, 여기 보면 fibonacci님과 같이 수학을 전공으로 한분도 있고... 저처럼 그냥 수학을 도구로 사용하는 사람들도 있는 상황에서 '수학'이라는 것을 공부하는 목적도 자신에 맞춰서 어떻게 적용할 것인가를 한번 씩 고민해보는 것도 좋을 듯합니다.

P.S. 저는 공대에서 가르치는 공수는 웬만하면 수학과 분들이 안가르쳤으면 하는 생각입니다.(내용의 문제가 아닙니다...) 공수책의 내용이라는 것이 수학적인 의미도 중요하지만, 대부분의 경우 실제 문제를 어떻게 수학적으로 모델링할 것인가를 가르치는 것인데, 수학과 분들은 '실제문제'에 대해서는 대부분 skip하는 경향이 많더군요.

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akpil wrote:
물리학은 원래 수학없이도 서술이 가능합니다. 물론, 수학없이 하려면 수학으로 하는 것보다 수억배 더 복잡하므로 .. 그냥 수학으로 설명하는 게 쉽다.. 이거죠.

파인만의 물리학 노트나 수학없는 양자역학 같은 책을 보시기를 권합니다.
개념 잡는 데는 쓸만합니다.

그리고, 수학은 도구일 뿐입니다.(수학자 말고...) 도구사용이 어렵다면 다른 쉬운 것을 쓰면 되는 것이지요.

파인만의 QED강좌를 어제 읽었는데, 수학으로 표현되지 않으니 술술 넘어가는건 좋지만... 오히려 이게 뭘의미하는지 알아내기가 힘들더군요.

수학이 가지는 명료성이 결여되어선지... 파인만씨의 다른책(파인만씨 농담도 잘하시네!)를 보고 기대하면서 산 책인데 잘 와닫지가 않아서...
(물론 책에서 말하길 물리학은 실험과학이기 때문에 이론이 설험결과를 설명만 할 수 있다면 이론이 왜 그렇게 되는 건지 고민할 필요까진 없다는군요. :oops: )

My Passion for the Vision!

liberta의 이미지

(주제에 맞는 건지 확실치 않지만)
수학을 그다지 좋아하지 않았던 우리 알버트 돌멩이 할아버지(?)도 이런 말을 했었죠.

"사람들이 평소 쓰는 말로 설명할 수 없으면 자신도 그걸 제대로 모르는 거지."

수학이 많은 분야에서 [있으니까 무척 편리한 도구]로 자리잡고 있는 것은 틀림없지만, 그렇다고 언제나 최선의 도구가 될 수는 없습니다. 물리학 뿐만 아니라 전반적인 과학에 있어서 [필수적인 도구]라고 불릴 수 있는 것은 [실제의 현상]과 [깊은 고찰]이지 결코 수학은 아니죠.

CY71의 이미지

e=mc^2

수학없이 이 공식이 나올 수는 없을 거라고 생각하는데요. 아무리 천재적인 물리학자라고 해두요. 수학없이 상대성 이론을 끄집어냈을 거라는 것은 상당히 위험한 발상입니다.

비슷한 경우로 '블랙홀' 이론이 있습니다. 블랙홀의 존재는 라플라스에 의해서 이미 오래 전에 상상이 됐지만, 막상 그 존재의 이론적 뒷받침을 한 것은 e=mc^2 이라는 상대성이론에 의해서 입니다. 상대성이론은 수학의 천재인 아인슈타인에 의해서 도출되었구요. 만일 수학이 없었다면 상대성이론도 없었을 것이고, 상대성이론이 없었다면 블랙홀의 존재도 밝혀질 수 없었겠죠.

라플라스가 블랙홀의 존재를 상상했지만, 그런 상상은 지금도 수없이 많은 사람들에 의해서 행해지고 있습니다. 그리고 그러한 상상의 대부분이 쓰레기통으로 버려지고 있죠. 수학 없이 존재하는 물리학이라... 그건 물리학이라기 보다는 단순한 공상에 지나지 않습니다.

googlejoa의 이미지

수학없이 물리학이 발전해 올수 있었다 생각지 않습니다.

사람들의 머리가 그리 뛰어나지 못합니다.

어쩔수 없이 수학을 만들게 되어 있습니다.

생각을 정리하기 위해서도 그렇죠.

그러니 수학없이 시간이 지나면 물리학의 여러 내용들이 발견(?) 될수 있다는 말은 그 자체가 성립이 안된다 생각합니다.

예를 들고 싶지만 좀 장황해 지겠군요.

warpdory의 이미지

E=mc^2 은 상대성 이론의 어느 한 부분을 수식(혹은 수학적)으로 표현한 것입니다. 위에 liberta 님께서 말씀하신 대로 '평소에 쓰는 말'로 설명한다는 것이 바로 개념을 제대로 이해하고 있다는 것이지요. 떨렁 '이는 엠씨 자승이다.' 이게 상대성 이론이 아니라 '에너지와 질량은 서로 변환이 가능하고 그 비례상수로 빛의 속도의 제곱만큼 들어가고, 그런 현상으로 핵반응 등이 있다.' 이런 식으로 얘기할 수 있는 것이 개념을 이해하고 있다고 말하는 겁니다. 그런 개념을 이해하는 것이 물리라는 학문이고요. 중고등학교때 시험문제 식으로 '질량 0.1 mg 인 물체가 에너지로 변하면 몇 주울이 될까 ?' 이런 문제에 저 식을 넣어서 계산해서 얼마... 이렇게 계산하는 게 물리학은 아니라는 얘기지요.

또하나, 사람들이 간과하고 있는 것 중 하나가 '상대성 이론에 따르면' 내지는 '양자역학에 따르면' 이라고 해서 그 이론에 따라서 설명하는 것으로 파악하지만 자연현상은 인간이 복잡하게 그런 이론을 세우고 계산하고 ... 모델링 하고 .. 그런 것 하기 훨씬 전부터 그대로 있던 것입니다.
인간이 발견하건 말건 블랙홀은 어떻게든 블랙홀로 작용하고 다른 거 빨아들이고(요새는 뱉어낸다고도 하죠.) 있고, 태양은 빛을 발하고 있고 저는 실험실에서 삽질하고 있는 겁니다.
즉, 현재의 물리학이라는 것은 수식(또는 수학)이라는 도구를 이용하여 그 자연 현상을 인간이 알아볼 수 있게 표현한 것입니다. 다른 말로 하면 수식/수학 이라는 도구가 없다고 하더라도 인간이 알아볼 수 있도록 표현할 수 있는 길은 얼마든지 있다는 것이지요. 물론, 현재까지는 그러한 편리한 도구가 별로 많지는 않습니다. 현재로서는 수학이 그 자리를 차지하고 있는 것이고 그 자리가 점점 더 튼튼해지고 있지요. 하지만, 그렇다고 해서 수식으로 모든 것을 표현할 수 있는 것도 아니고요.

위에서 제가 말했던 것을 조금 잘못 받아들이신 분들이 있으신데(제 표현력의 한계일지도 모르겠습니다만) 수학없이 물리학이 발전한다. 이런 내용이 아닙니다. 만일 또하나의 지구가 있다고 가정하고 그 동네에는 수학이 없다고 치더라도 물리학은 있을 수 있고, 지금 지구 수준의 물리학에는 언젠가는 도달할 수 있을 겁니다. 그 언젠가는 .. 은 알 수 없습니다. 어쩌면 그 언젠가가 되기 전에 그 행성이 수명을 다해서 없어질 수도 있으니까요.
수학없이도 물리 현상을 이해할 수 있다 입니다. 여기서 수학이라는 것은 대학 수준 이상의 고등수학정도를 얘기합니다. 기본적인 수학개념은 어느정도는 있다고 가정할 때의 얘깁니다. 대충 미분이 뭔지, 적분이 뭔지, 직선이 뭔지, 곡선이 뭔지, 점이 뭔지, 중력이 뭔지... 이런 것을 어렴풋이라도 알고 있을 때에 물리 현상을 수학없이 이해할 수 있고, 그런 것은 대표적으로 파인만의 책이라든가 하는 것들이 있다는 점을 얘기한 것입니다.

그리고 .. 파인만의 QED 는 번역상의 문제도 좀 있고.. 그리고 사실, QED 라는 과목 자체가 물리학에서 가장 어려운 이론 분야중 하나이기 때문에 적지 않은 물리학 지식을 가지고 있어야 이해가 가능합니다. 실제로 웬만한 물리학과에서는 QED 는 박사과정에서 선택을 해야 맛 좀 볼 수 있을 정도입니다. (제가 풀었던 문제가 ... 답만 A3 지로 2장쯤 나오던 문제였습니다. 아마 거의 틀렸을 겁니다. 워낙 수학자체가 난해하거든요.)


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귓가에 햇살을 받으며 석양까지 행복한 여행을...
웃으며 떠나갔던 것처럼 미소를 띠고 돌아와 마침내 평안하기를...
- 엘프의 인사, 드래곤 라자, 이영도

즐겁게 놀아보자.

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이게 맞는 말인지는 모르겠지만, 실제 현상을 표현하는데 있어서 필요한 것은 '수학적인 사고=논리적인 사고'이지 '수학' 그 자체는 아니라는 것입니다. 그렇다고 수학이 무시할 수 있는 학문이냐... 그건 아니고 수학은 수학 그 자체로서의 의미를 갖는 것이지요...

Quote:
책을 들여다 보면 분명히 배운 내용이고 어떻게 푸는지는 알겠는데 이게 물리적으로 어떤 의미를 가지는지에 대해서는 전혀 감이 안오더군요. -_-; 분명히 공식이 그렇게 나오는데는 이유가 있더라는걸 이제야 깨달았습니다.

원래 질문을 올린 분이 말씀한데로, 공식이 그렇게 나오는데는 이유가 있다라는 것은 공대에서 흔히 하는 일을 체계적으로 하기 위해서 수학이라는 도구를 도입했다는 것입니다. 물리적인 의미를 파악하고 이에 대한 답을 체계적으로 유추해내기 위한 도구로서의 수학이 공대생들이 배워야할 수학이라고 본다면, 정말로 수학이 없으면 공대에서 추구하는 엔지니어링을 할수가 없냐... 그건 아니라는 것이지요.

수학이 없으면 다른 학문이 발전할 수 없었을 것이다... 라는 표현보다는, 수학이라는 도구를 이용함으로써 효율적으로 자연현상을 기술할 수 있게 되었다는 것이 더 맞다고 봅니다.

앞에서도 이야기했지만, 공대에서 수학공부를 제대로 하고 싶으시다면 공수책(크레이직의 책의 경우) 첫장의 'Modeling'이라는 내용을 꼭 유심히 보시기 바랍니다. 앞에 E=mc^2으로 블랙홀을 설명했다는 내용을 누가 말했지만, 거기 보면 자유낙하하는 물체의 운동은 v = gt 로 설명할 수 있다고 되어 있읍니다. 하지만, 자유낙하하는 물체의 속도를 실제 측정해보면 절대로 v=gt로 계산한값과 일치하지 않는 다는 것도 알 수 있읍니다.

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siegfried86 wrote:
수학독본 이라는 책이 있습니다.
아시는분은 아는 그런책인데요...
정말 최고입니다.
천천히 읽다보면...
이 책을 왜 빨리 만나지 못했는지 그냥 후회가 됩니다.

수학독본 재미있나요? ^^
그림이 많으면 좋겠당..

ㅡ_ㅡ;

Bini의 이미지

Quote:

물리적인 의미를 파악하고 이에 대한 답을 체계적으로 유추해내기 위한 도구로서의 수학이 공대생들이 배워야할 수학이라고 본다면, 정말로 수학이 없으면 공대에서 추구하는 엔지니어링을 할수가 없냐... 그건 아니라는 것이지요.

이해가 안가네요... 수학없이 공대에서 추구하는 엔지니어링이라는 뭐죠?
그렇다면 감으로 도자기를 빛는 도공이나 경험으로 벽돌을 쌓는 조적공과
공학도들의 차이는 뭔가요?

Quote:

앞에서도 이야기했지만, 공대에서 수학공부를 제대로 하고 싶으시다면 공수책(크레이직의 책의 경우) 첫장의 'Modeling'이라는 내용을 꼭 유심히 보시기 바랍니다. 앞에 E=mc^2으로 블랙홀을 설명했다는 내용을 누가 말했지만, 거기 보면 자유낙하하는 물체의 운동은 v = gt 로 설명할 수 있다고 되어 있읍니다. 하지만, 자유낙하하는 물체의 속도를 실제 측정해보면 절대로 v=gt로 계산한값과 일치하지 않는 다는 것도 알 수 있읍니다.

수학이 현실을 100%정확하게 반영할수는 없읍니다.
그러나 가장 정밀하게 설명할수 있는건 수학밖에 없읍니다.
fibonacci의 이미지

MyCluster wrote:

P.S. 저는 공대에서 가르치는 공수는 웬만하면 수학과 분들이 안가르쳤으면 하는 생각입니다.(내용의 문제가 아닙니다...) 공수책의 내용이라는 것이 수학적인 의미도 중요하지만, 대부분의 경우 실제 문제를 어떻게 수학적으로 모델링할 것인가를 가르치는 것인데, 수학과 분들은 '실제문제'에 대해서는 대부분 skip하는 경향이 많더군요.

공업수학의 내용 모두 다 "실제문제"에 대한 모델링이라고 생각해서는 곤란합니다. 무슨 한밤중에 도깨비같은 소리냐.. 라고 말할수 있겠지요. 공업수학 관련 커리에 대해서 간단히 생각해 보면 됩니다.

공대를 가서 전공을 배우려면 기본적으로 상미분방정식론은 알고 있어야 한다는 것입니다. 그런데 미적분학에서 이를 가르치지 않으니 미분방정식론을 따로 배우는 것이죠. 흔히들 수학과 강사분들이 강의하는것이 이 상미분방정식론입니다. 수학 강사들은 해당 학과가 요구하는 커리를 가르치는 것 뿐입니다. 실제 현상을 자세하게 가르칠 능력도 없거니와, 있다손 치더라도 강의할 시간이 없습니다. 미방이 무언지도 모르는 학생들에게 미방을 정의하고, 1계 2계 미방 해법 강의하고, Fourier 급수, Bessel함수, 라플라스 변환과 역변환 가르치다 보면 어느덧 한학기가 흘러갑니다. 실제문제 하나하나 다 설명해주고 싶어도 방대한 양을 모두 커버하긴 곤란합니다. 수학과 강사가 한 강의로 가르쳐 주는것은, 미분방정식론에 대한 기본 소양일 뿐입니다.

편미방(열방정식, 파동방정식 등에 기반)이나, 전자기학과 관련된 더 심도있는 응용은 보통 공업수학 2라는 과목을 별도로 개설해서 가르치는 것으로 알고 있습니다. 이 과목은 해당학과 교수님들이 가르칩니다. 제가 가르치고 싶어도 절대로 그렇게 할수 있도록 허용하지 않습니다. 8)

정리한다면, 수학과 강사분들이 강의하는 과목은 해당학과에서 수학과 강사를 써도 될 과목이라는 판단을 해서 수학과 강사를 고용한것 뿐입니다. 저도 현재 공업수학 1을 강의하고 있고요. 저는 실제 현상을 무척 잘 알고 있다고 뻥을 친 적 없습니다. 그럴 필요성이 절실한 과목었다면 저 말고 더 능력있는 사람이 기용되었겠지요.

제가 할수 최선의 것은 그쪽 학과 학생들에게 수학적 사고를 할수 있도록 도와주는것이라 생각합니다. 미분방정정식이란 도구도 중요하지만요. 분명, 수학을 좀더 아는 사람이 가르칠때의 메리트가 있으리라 생각합니다. 이점도 좀 고려를 해주셨으면 합니다.

No Pain, No Gain.

mycluster의 이미지

Quote:
정리한다면, 수학과 강사분들이 강의하는 과목은 해당학과에서 수학과 강사를 써도 될 과목이라는 판단을 해서 수학과 강사를 고용한것 뿐입니다. 저도 현재 공업수학 1을 강의하고 있고요. 저는 실제 현상을 무척 잘 알고 있다고 뻥을 친 적 없습니다. 그럴 필요성이 절실한 과목었다면 저 말고 더 능력있는 사람이 기용되었겠지요.

아 제가 수학과분들이 잘 못 가르친다고 말씀드린 것은 아닙니다. 공업수학1과 공업수학2 및 응용수학(공수3) 이렇게 강의가 진행되어야 하는데, 대부분 전공에서 가르쳐야할 부분은 전선이라서 생략하고, 1과 2는 강사들에게 맡기면서 어떻게 진행이 되는지에 대해서 고려없이 어떤반은 수학과 강사가 수학적으로, 어떤반은 자기과 강사가 실용적으로 가르치는... 이런 비체계적인 수학강의가 비일비재하다는 것이지요.

그리고, 상당수의 많은 학교들이 수학과 강사를 써도 될 과목이라고 생각해서 수학과에 맡기는 경우도 있지만, 어떤 학교는 수학은 반드시 수학과에서 강의해야한다고 해서 공업수학강의를 교양과목으로 만들어서 수학과에서 관장하기도 합니다.

Quote:
제가 할수 최선의 것은 그쪽 학과 학생들에게 수학적 사고를 할수 있도록 도와주는것이라 생각합니다. 미분방정정식이란 도구도 중요하지만요. 분명, 수학을 좀더 아는 사람이 가르칠때의 메리트가 있으리라 생각합니다. 이점도 좀 고려를 해주셨으면 합니다.

제가 말을 좀 기분나쁘게 썼는지 모르겠지만, 자연대와 공대라는 것이 원래 학문을 보는 관점이 다르다는 것을 인정해야함에도 불구하고, 공대의 문제가 수학을 수학답게 배우지도 못하고, 수학을 유용한 도구로도 배우지도 못하는 소위말하는 짬뽕상태로 두고 있다는 것이 더 문제이지요. 여기에는 해묵은 공대교수들과 자연대교수들의 밥그릇 싸움도 얽혀들어가면서 아주 웃기는 방향으로 수업이 진행되는 과들이 비일비재한 것이 현실이고 이에 대해서는 고민을 좀 해야하지 않을까 싶군요.

이글의 주된 내용이 '수학이 없으면 아무것도 못한다' 혹은 '수학은 도구일 뿐이다'라는 이분법적인 내용보다는 어떻게 하면 수학을 수학답게 공부할 것인가 혹은 수학이라는 도구를 얼마나 효율적으로 사용할 것인가에 대한 고민으로 전환하는 것이 소위 말하는 순수과학과 실용학문과의 조화를 추구하는 방법이 아닐까 생각이 드는군요.

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윈도위의 리눅스 윈도위의 윈도우 리눅스위의 익스플로러

siegfried86의 이미지

수학독본은..

우선 읽어보시는게 제일 확실합니다.

그 책을 보면서.. 왜 이책을 중학교때 혹은 그 이전에

만나지 못했는가.. 무척 많은 후회를 했습니다.

정말 수학을 어떻게 접근하고 해야하는가를...

잘 설명해놓은 책이라고 생각합니다.

또한 일정한 흐름으로 쓰여졌기 때문에..

공부하기에도 도움이 됩니다.

知之者 不如好之者 好之者 不如樂之者

ydhoney의 이미지

"수학의 정석" 의 주옥같은 문제를 만나보시고..

"수학의 정석" 실력편으로 증명의 아름다움을 느껴보세요.

흐흐~

수학독본을 사랑합니다만..

그래도 정석이 최고입니다. -_-)b

이제 다시 보고 이해를 해야할 것인데..-_-a; 이해가 안되는지라..큰일이 났네요. ^^

지리즈의 이미지

실무에서는 간혹 집합론도 잘해야 하더군요... ㅋㅋㅋ

얼마전에 담당자하고 동그라미 세계 겹치게 그려넣고,
여집합이니 차집합이니 하고 언쟁했습니다.

집합론을 구현하기 위해서는 STL이 가장 나을까요?
저는 Collection 개체를 사용하고 있습니다만..
(windog쪽에서요)

There is no spoon. Neo from the Matrix 1999.