복소수....

맞는 부분도 있고 약간 잘못 알고 계시는 부분도 좀 있지만 핵심적인 부분은 대체로
잘 이해하고 계신 것 같습니다. 수가 모두 다 어떤 추상적인 대상인 것은 맞지만 실제
세상의 어떤 대상을 추상화 한 것이냐에 따라서 그 종류가 나뉘는 것이 아니라 그
자체의 성질에 따라서 구분이 됩니다.

인류가 처음으로 수를 사용하기 시작했을 때에는 분명 수를 물리적인 어떤 대상에
연관시켜서 수를 이해했겠지만, 현대 수학에서는 수를 물리적인 물리적인 대상과는
아무런 관계 없이 그 자체의 성질만 가지고 정의합니다. 예를 들면 현대 수학에서
“실수”는 “실수 집합의 원소”이고, “실수 집합”은 “실수 집합이 만족해야 하는 몇
가지 성질을 만족하는 집합” 입니다.

좀 더 자세한 내용을 공부해 보고 싶으시다면 Rudin Walter의 Principles of
Mathematical Analysis 챕터 1을 한번 읽어보세요. 실수와 복소수가 어떻게 정의되는지
쉽게 잘 나와 있습니다. 만약 자연수와 유리수의 정의부터 먼저 알고 싶으시다면 버틀런트
러셀과 화이트헤드가 쓴 “자연철학의 수학적 원리”를 한번 읽어보시기 바랍니다.
자연수와 유리수를 정의하는 여러 가지 방법 중 한 가지가 자세하게 설명되어 있습니다.

복소수는 단순히 실수 두개를 모아 놓은 것이 아닙니다.
우리가 어떤 물리량을 계산할 때 복소수를 사용하는 이유는 2차원 벡터가 지켜야
하는 성질 외에, 복소수가 지켜야 하는 성질이 매우 유용하게 사용되기 때문입니다.

앞에서 예를 드신 2차원 평면 위에서의 운동을 다루기 위해 벡터 대신 복소수를 사용하여
계산하는 것이 가능하기는 합니다. 그렇지만 그 계산을 위해서 사용하게 되는 규칙들은
전부 2차원 벡터와 복소수에서 똑같이 적용되는 규칙들이지 복소수에서만 적용되는 규칙이
아닙니다. 결국 표기만 복소수처럼 했을 뿐 2차원 벡터를 사용해 계산을 하는 것이죠.

사실 실제 물리 세계에서 복소수에 대응되는 양은 하나도 없습니다. 양자역학에 들어가면
이야기가 조금 달라질 수도 있겠지만, 그렇다고 하더라도 우리가 측정할 수 있는 양 중에는
복소수에 대응되는 것이 하나도 없습니다. 물리 세계에는 실수만 있습니다.
그런데 그것도 어떻게 보면 착각입니다. 우리가 무엇을 측정하건 그 정확성에는 한계가
있기 때문에 우리가 얻게 되는 값은 항상 유리수입니다. 게다가 유리수는 정수의 비로
표시가 되니까 결국 실제 세계에는 정수만 존재한다고 주장할 수도 있습니다.

이런 관점에서 본다면 일단 실수로 취급하여 계산한 다음 반올림해서 소수점 이하
두 자리만 남기는 것도 일종의 “트릭” 입니다.

제가 말씀드리고 싶은 것은, 복소수를 사용하는 것은 일종의 트릭이고, 실수를 사용하여
계산하는 것이 정석이고··· 와 같은 식의 구분은 필요하지 않다는 것입니다. 어차피 수는
전부 다 편의에 의해서 도입된 도구일 뿐입니다. 복소수의 두 부분이 real과 imaginary
로 불리게 된 것은 순전히 역사적인 이유에서입니다. 마지막에 적으신대로 사실은 상당히
혼란스러운 이름이죠.

만약 대학에서 물리학 같은 자연과학을 공부하신다면 실수나 허수 뿐만 아니라 그보다
훨씬 더 일반적이고 추상적인 개념들을 가지고 물리량을 계산하는 방법을 배웁니다.
열심히 공부하세요. :)

물리고 수학이고 다 집어치우고 간단하게 생각하자면!!

대체 이 허수가 왜 생겼느냐!!

인간이라는 미물들이 개발한 숫자라는게 그냥 뭔가 제곱했을때도 음의 수가 나오는 숫자가 있었으면 좋겠는데 일단 같은 부호의 숫자를 곱할 경우 무조건 양의 부호가 되어버리니..

이를 답답하게 여기신 티거 신께서

"한낱 인간 같은 미물이 숫자를 만들어내니 그들이 만들어낸 실수는 역시 미물이 만들어서 그런지 허접하구나..내가 이에 대응할 수 있는 짝을 만들어주겠노라"

하시어 실수의 뱃때기를 꼬리로 통통통 튕겨서 실수의 갈비뼈 하나를 뿐질러 뽑아내어 허수를 만든게 아닙니까?

=3=33

그런데 대체 뭐에 쓴다고 제곱했을때도 음의 숫자가 나오는 독특한 숫자가 필요했을까요?

결국 복소수 논란의 핵심은 "대체 인간 미물 나부랭이가 뭐에 쓸게 있다고 제곱했는데 음의 수가 나오는 수치가 필요하단 말인가" 가 핵심 아닐까요?

뭐 어쨌거나 3차 방정식, 4차 방정식 이딴것 좀 풀어보겠다고 만들었다는 건데..-_-a 이렇게 정리하고 나면 결국 물리적으로 뭐가 어쨌건 저쨌건 상관없이

"해당 수식을 풀려면 n차 방정식을 사용해야 하므로 이 방정식을 풀기 위해서 허수가 필요했다" 라고 이야기하고 도망치면 되는거죠..

물리학에 허수가 필요한가 아닌가는 별개의 문제가 아닐까 싶습니다. 물리학과 수학의 관계를 간단히 이야기하자면 물리는 실증이요, 수학은 이를 수식으로 표현한것이니 대체 왜 그런 행위를 하였는가 하면 "그래야 좀 있어보이니까 그랬다" 하고 "그래야 대학교수를 해먹지" 라 하고, "우리는 만인이 다 알아먹을 수 있는 쉬운것만 우리 학문에 있으면 우리 밥줄이 위험했으므로 일반적으로는 말도 안되어보이는 것을 만들어내기 시작했노라" 라고 하는 고대 사람들(고려대 말고..)과 맞딱뜨리며 고민을 하는거죠.

"왜 이런걸 만들어서 중간고사 기말고사때마다 머리가 뽀개져야 하는거냐.."

라며..

왜? 가르쳐먹을것이 있고 시험 문제를 낼 것이 있어야 대학 교수하면서 먹고 살죠....=_=

그러니까 이 세상의 모든 대학교수는 티거신으로부터 유래되었다 라는 디즈니 설화가 내려오고 ㅇㅈㄹ...-_-

하여간 결론적으로 이야기하자면 물리에 허수가 필요한지 아닌지는 아무런 상관이 없다 이거죠 -_- 단지 수학으로 풀려다 보니까 다차 방정식을 사용하게 되고, 그 해법으로 허수가 포함될 뿐이지 물리학에 진짜 허수가 소용이 있느냐 없느냐는? 실증 학문의 취지에서 보자면 허수이고 실수이고는 별 의미가 없는거죠. -_- 그냥 이론적으로 "이것이 이러하므로 이렇게 된다" 만 알면 되는거죠. 그걸 수로 표현하려니까 그 표현의 방법을 풀어내려다보니까 허수의 개념이 들어간건데..뭐 그냥 그렇더라 하면서 넘어가면 서로서로 골치도 안아프고 뭐 그런것이지요.
　
　
대낮부터 낮술을 한것도 아닌데 왜 이렇게 스토리가 꼬이는 걸까요? 역시 슬럼프인걸까요..
　
====================여기부터 식인어흥====================
어흥 몰라 어흥? 호랑이 어흥!! 떡 하나 주면 어흥!! 떡 두개 주면 어흥어흥!!

저도 수학하고는 영 거리가 멀어서 말씀하신 내용을 잘은 모르겠지만,

하지만 복소수가 그 '트릭'을 위해서 처음부터 만들어진건 아닌거 같은데요?

제곱근이라는걸 알게 되고 근데 과연 음수의 제곱은 어떨까 생각하다가

허수라는 개념이 생기고 복소수가 생긴게 아닐까요?

그래서 그 허수라는 놈의 정의에 입각해 성질을 막 파다 보니까 이런저런게 있었고,

그런 성질을 이용해서 좀 더 쉽게 계산을 할 수 있는 분야도 찾은게 아닐까 하는... ^^;;

그래픽스 시간에 Quaternion 이란것도 본거 같은데

그건 3차원 좌표에서 transformation 같은 계산을 편하게 하기 위해 만들었다고 들었어요

어느 할일없는 귀족이... -_-;;

그리고 변환하면 중간 과정도 알 수 있구요.

제가 손으로 좀 해봤을때는 왜 Quaternion이 더 간단한지 모르겠더라는... -_-;;