새로운 주파수 분석기법 - 공명변환

To 토끼군님
토끼군님의 후배가 되고싶습니다 :twisted:

To 검은해님
손수 번역도 다 해주시고 감사합니다 ㅎㅎ

To hb kim님
하하 사실 저거 엉터리논문입니다 ㅋㅋ 가장 중요한걸 못써놨어요
이산 공명변환 장에도 보면 근사하는법만 나와있지 진짜로 계산하는방법은 나와있지 않죠 -_-; 제가 모르는걸 그냥 응근슬쩍 넘어간거에요 -_-;;;;;

논문을 무리해서 썼죠. 수시모집에 응시해야하기때문에 -_-;;
거의 5일밤낮을 새고 수시모집 10분전까지 편집하다가 냈습니다 -_-;;;
사실 구현체 코딩시작도 사실 5일전부터 시작한거고 완전 미쳤었죠 5일동안 ㅡ,.ㅡ
내고나서 틀린부분 수정한곳만 지금까지 3곳이라 한숨이 나오긴 하지만 ㅡ,.ㅡ;;

아무튼.. 이자리를 빌어서 공개적으로 질문좀 해야겠습니다. -_-;

미분방정식
m * x''(t) + gamma * x'(t) + k * x(t) = F(t)
의 x(t) 일반해가 어떻게 되지요?

m * x''(t) + gamma * x'(t) + k * x(t) = 0 을 풀면
x(t) = A0 * e^(-gamma*t/2m) * cos(sqrt(k/m - (gamma/2m)^2) * t + phi)
란건 알겠는데
저 위에 F(t)가 들어가면 F(t)를 넣어 일반식으로 어떻게 풀어야할지 모르겠네요;;

To eddy_woody
뭐.. 세로축 그거 맞습니다. 그냥 퓨리에변환 보듯이 보시면 되요 ^^
보시면 아시겠지만.. 엘리제를 위하여 앞부분 멜로디 아시죠?
악보음표처럼 중간에 찍혀져있는게 보이실겁니다.
위에껀 배음이니까 신경 안쓰셔도 되구요.
분해능은... 설정하기 나름입니다. 공명하는 unit을 많이만들면 그만큼 높아지는거구요.
저 위에 엘리제를 위하여는 공명unit을 960개 썼습니다. y축도 960픽셀이지요.
대충 보니까 한 옥타브당(20hz~40hz 라든지 440hz~880hz.. 두배 hz)
120개 unit이면 충분하더라구요. 10~20000hz까지 분석하자면 약 1400개면 되죠.
하지만 fourier 1024나 2048사이즈로는 어림도 없습니다.
제껀 Log스케일로 설정할 수 있고 fourier는 선형적이기 때문에.
공명변환의 저주파음 분해능을 fourier가 따라가려면
더천문학적인 사이즈가 필요해요.. 물론 고주파는 필요이상으로 분해하겠죠.
그리고 곡들을 분석해본결과 fourier보다 훨씬 나았으면 나았지 못하지는 않더라구요.. 엘리제를위하여는 간단해서 큰차이는 없어보이지만..
wavelet과도 비교해야되는데 툴도 없고 흠.. 직접 코딩해야되나?
wavelet과의 비교는 저도 상당히 궁금합니다 현제..

그리고 자극신호에 대한 제약 조건이 있을거 같다 그러셨는데 맞습니다.
안해봐서 모르겠지만 아마 영상같은것에는 적용가치가 없을 듯 합니다.
그래서 논문제목에 for sound analysis라고 했고
remarks에서 데이터의 한쪽 축이 시간이여야 한다고 언급해 둔것입니다 ^^;
그리고 제가 이걸 만든이유도 가지고있는 연주하고싶은 피아노곡 mp3들이 있는데
직접 들으면서 연주하고싶어도 음감이 없어서리 ㅡ,.ㅡ;;
그래서 피아노곡에서 midi악보파일로 만드는 프로그램 만들려고 개발한겁니다.

비교파일 하나 더 청부합니다. 곡은 명작 영화 "나인틴 헌드레드의 전설"에서
엔리오 몬리꼬네곡인 "Enduring Movement" 앞부분 3초입니다.
스펙트럼에서 배음을 제하시고 보시면 음표 하나하나를 볼 수 있습니다.

참.. 오른쪽 퓨리에 변환 그림은 프로그램에서 Log스케일로 표시해주는 기능이 있어서 Log스케일로 맞춘 것입니다.
보시다시피 저주파음의 분해능이 떨어지죠.

To eddy_woody
좋은 의견 감사합니다 ^^ 딴지라고 절대 생각하지 않습니다.

이론적 분해능은 Sample rate에 좌우될 것 같다고 하셨는데 이게 좀 미묘합니다.
저도 처음에는 그렇게 잠시 생각이 들었었는데요 그런데
초당 40960샘플짜리 1초분량간의 사운드를 40960사이즈 퓨리에로 분석한것이나
초당 81920샘플짜리 1초분량간의 사운드를 81920사이즈 퓨리에로 분석한것이나
20480hz까지의 주파수를 분석한 데이터는 거의 같습니다. 공명변환도 마찬가지 입니다.
마치 우리 귀가 초당40960샘플짜리 wave를 듣건 81920샘플짜리 wave를 듣건 별로 큰차이가 없는 것과 마찬가지 입니다.
공명변환에서 분해능은 time-frequency trade-off 요소인 초당 진폭 감쇠율이 결정합니다.(우리 귀는 이것에 대한 특정 값이 있겠죠.)
이것에 따라서 주파수 분해능이 올라가거나 시간분해능이 올라가죠.
제가 높은 분해능을 제공한다는것은 이 두개의 trade-off를 감안했을 시에도
적절한 값을 설정하면 양쪽 다 충분한 분해능을 얻을 수 있다는 소리였습니다.
뭐. 퓨리에 변환과의 분해능 비교는 위쪽에 올려놨으니까 된 것 같구요.

그리고 공명변환은 연산량은 완전 배제하고 최대한 정확한 주파수를 측정하는것에 초점을 맞추긴 했습니다만.
DRT와 FFT를 비교하시다니 :twisted: DRT는 DFT랑 비교해주세요 ㅋㅋ
앞으로 나와야 할 FRT가 어느정도 연산량을 가질 지는 모르겠습니다.
아직 이쪽보다 다른쪽으로 골몰해야 할 일이 더 많지만...
FRT의 구조도 어느정도 거의 머릿속으로 정리가 되 있습니다. 간단하게 말씀드리자면
웨이블렛 다해상도 변환같이 낮은 주파수로 갈수록 셈플들을 건너뛰고 계산하는겁니다.

To 정태영님
아 처음에 주파수스케일을 말씀하시는 건줄 알았는데 db말씀하시는것 보니
세기에 대해서 말씀하시는 것 같군요.. db 데시벨 맞죠?
이쪽에대해선 말씀하신 것처럼 물론 퓨리에 변환도 문제가 안되겠죠.
제가 말하고자 했던 것은 주파수 스케일입니다.
20~20000hz까지 10옥타브나 되서 문제가 되죠.
공명변환에서 한옥타브당 120개 유닛을 사용하고 20hz부터 시작하고 20000hz까지 분석한다면
20hz다음의 유닛이 20.116hz정도이고 총 1200개 유닛이 필요한데
퓨리에변환 한번 적용으로 20hz근처에서 0.116hz간격을 가지려면
20000/0.116 = 172413 사이즈나 필요하죠...
반면 2번째옥타브는 2배 과다분해 3번째옥타브는 4배 과다분해.. 10번째옥타브는 약 1000배 과다분해..
게다가 사이즈가 시간분해능에 종속되어 있어서 시간분해능도 엄청 떨어져버립니다.