불가능에 한 표입니다.
두 실수 사이에 무한이 많은 실수가 있으니까요.
0 < a < 1인 a를 잡고
f(a) < 1이면 (a, f(a) + e1)을 왼쪽 아래로, (a + e2, f(a) + e3)를 오른쪽 위로 하는 사각형 하나 그리면 됩니다.
f(a) = 1이면 (a, f(a) - e1)을 왼쪽 위로, (a + e2, f(a) - e3)를 오른쪽 아래로 하는 사각형 하나 그리면 됩니다.
아, 불연속 함수를 고려 안 했나요? ㅠㅠ
더 생각해보죠.
begin{signature}
THIS IS SPARTA!!!!!n.
end{signature}
f(p) = a , f(p+Δp) = b 라면
필연적으로 |a-b| / Δp 라는 기울기를 가지게 되는데,
이리되면 x∈(p, p+Δp) 구간에서 사각형이 생길 수 있게 되죠...
다르게 얘기해서 기울기를 가지는 순간에 (그러니까 어떤 구간에서든 미분이 가능하다면)
이미 그 함수는 평면을 커버하고 있지 않은거죠.
덧)
만약에 기울기란게 없다, 모든 구간에서 미분 불가능하다...라고 했을 경우....
세 개의 연속된 수를 a,b,c로 표현했을 때,
x∈(a,c) 구간 내부에서
y∈(0, min(f(a),f(b),f(c)))
y∈(min(f(a),f(b),f(c)), median(f(a),f(b),f(c)))
y∈(median(f(a),f(b),f(c)), max(f(a),f(b),f(c)))
y∈(max(f(a),f(b),f(c)), 1)
중 한가지 구간에서 사각형을 만드는게 가능합니다.
실수에서 '연속된 수'라는 개념은 사용할 수 없을 것 같습니다.
"실수 a 오른쪽으로 연속된 수"를 정의해보자면 "a보다 크면서 다른 모든 a < 실수들 보다는 작은 수" 정도가 될텐데
연속된 숫자 b 있다고 가정하면, a < (a+b)/2 < b 가 되어 b는 정의상 연속된 수가 될 수 없습니다. Contradiction.
(함수가 C1 이라는 가정 하에) 기울기로 보자면.. f(p) = a , f(p+Δp) = b 사이에선 기울기 (b-a)/Δp인 점이 최소한 한곳 이상 있는것은 맞는데
빈공간이 있다는걸 보이기 위해선 조건이 좀 더 필요할 것 같네요. 여전히 0과 1 사이를 요동칠 수 있으니깐요. 그냥 연속성가지고 논하는게 간단해보입니다.
함수가 미분가능하면 연속(continuous)이고, 연속함수의 epsilon-delta 정의를 써서 모든점에서 사각형을 명시적으로 구축가능합니다.
[0,1]과 [0,1]X[0,1]이 cardinality가 같다는 점은 이 문제와는 별 관계는 없을 것 같습니다.
왜냐하면 둘의 cardinality가 같다는 것은 g: [0,1] -> [0,1]X[0,1]인 bijection g가 있다는 것인데요..
이문제에서는 애초에 f:[0,1] -> [0,1]을 제시하라고 했기 때문에 g(x) = (x, f(x))를 만족해야 합니다.
그런데 이러한 bijection은 존재하지 않습니다. 간단한 예로만 봐도 g(x1)=(0,0)이라고 하면 g(x2)=(0,1)이 되는 x2는 있을 수 없죠.
따라서 제 생각에는 어떤 f:[0,1] -> [0,1]도 [0,1]x[0,1]의 모든 점을 커버할 수는 없기 때문에
애초에 문제에서 주어진 "면적이 있는" 직사각형이라는 점을 이용해야 될 것 같습니다.
유리수 집합 Q={p_1,p_2,...}이라 하면
take q_1 from R-Q
Q_1={p_1+q_1, p_2+q_1, p_3+q_1,....}
take q_2 from R-(QUQ_1)
Q_2={p_1+q_2, p_2+q_2, p_3+q_2,....}
take q_3 from R-(QUQ_1UQ_2)
Q_3={p_1+q_3, p_2+q_3,.....}
:
:
0.we can construct Q_n for all n in N. (R uncountable)
1.Q_i, Q_j disjoint subsets of R for i!= j.
2.Q_i dense in R for all i.
f(x)=p_i if x in Q_i for some i, 0 otherwise.
then {(x,f(x))} dense in RxR.
위의 Jick님의 함수 잘 들여다 보세요. 예로 큰 소수 p에 대해서, {(k/p,(mp+k)/p^2)| p prime, 0<= m, k<=p-1} 점들을 생각해보시면 됩니다. 제가 했던 방법 쓰시려면 Q_i={q/(p_i^n)|p_i is i-th prime, n in N, q in Z, gcd(p_i,q)=1 } 집합들을 생각하시구요. 저는 여기까지만.
clarification
그래프에 그려진 함수는 y = x로 보입니다. 어느 쪽이죠?
그리고 원하는 함수는 F: R x R -> R x R 이 옳은가요?
...And all in war with Time for love of you,
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-Sonnet XV
전산계획설계사 지망 영문학과생
함수는 R->R, [0,1] -> [0,1]
함수는 R->R, 1차원.. 여기서는 [0,1] -> [0,1] 입니다.
단 사각형을 이야기는, 함수의 그래프, 2차원 평면 RxR 입니다.
+그림수정했습니다 지적 감사 ^^;
직사각형을 굳이 정의하자면, 다음이라고
직사각형을 굳이 정의하자면, 다음이라고 합시다.
[a,b]x[c,d] where
a,b,c,d∈[0,1]
a!=b
c!=d
a≠c ∧ b≠d 겠죠... 좀더 제약을
a≠c ∧ b≠d 겠죠...
좀더 제약을 건다면
a＜c ∧ b＜d 정도...?
아...
f(x)가 2차원 전부를 뒤덮으면 되겠군요
피할 수 있을때 즐겨라! http://melotopia.net/b
네, 2차원을 덮는 예제 f 를 하나 보여주시거나,
네, 2차원을 덮는 예제 f 를 하나 보여주시거나, f가 2차원을 다 덮을 수 없다는걸 증명하면 됩니다 :)
증명할 필요가 없이 함수의 정의가 뭔지를 제대로
증명할 필요가 없이 함수의 정의가 뭔지를 제대로 이해하면 되는겁니다.
함수는 관계중에 x값 하나에 대응하는 y값이 유일한 것들만을 말하는 것이니까,
[0,1]을 하나의 원소로 가지는 집합이라면 함수로 정의되지만, [0,1]이 (진)부분집합으로
가지는 공변역을 가지는 함수는 정의상 존재할 수 없다는거를 말해주면 증명이라고 받아들일라나요?
저도 그런 줄 알았는데 다가함수라는게
저도 그런 줄 알았는데 다가함수라는게 있더라구요.
http://en.wikipedia.org/wiki/Multivalued_function
근데 다가함수가 나와버리면 문제가 성립
근데 다가함수가 나와버리면 문제가 성립 안하지않나요...?
음냐.
popcorn function을 어떻게 대충 건드리면 됩니다.
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전산계획설계사 지망 영문학과생
popcorn function이 이거 맞나요? 혹시
popcorn function이 이거 맞나요? 혹시 찾아보실 분들이 있을거 같아서 그림첨부합니다.
페아노 곡선을 응용하면 될 것 같은데요
페아노 곡선을 응용하면 될 것 같은데요
피할 수 있을때 즐겨라! http://melotopia.net/b
페아노곡선은 2차원 곡선 아닌가요? R->RxR
페아노곡선은 2차원 곡선 아닌가요? R->RxR
일단 F:[0,1] -> [-inf, +inf]로
일단
F:[0,1] -> [-inf, +inf]로 보내는 함수가 있습니다. F = log(x)
[-inf, +inf] -> 페아노 곡선 위의 한 점
정확히 어떤 형태가 될지는 모르겠지만, 페아노 곡선 위의 한 점을 0에 대응시키고, 그로부터 양쪽으로 무한대까지 대응시키면 됩니다.
수학적으로 엄밀히 증명하는건 일단 생략합니다. 바빠서요...-_-
피할 수 있을때 즐겨라! http://melotopia.net/b
2차원을 다 덮는게 함수인가요?
2차원을 다 덮는게 함수인가요?
그러면 2차원을 다 덮으면 함수가 아니라는걸
그러면 2차원을 다 덮으면 함수가 아니라는걸 증명하시면 됩니다~
근데 문제에서 필요한 '다 덮는다'라는게.. 항상 x에 대응되는 y가 여러개야 만이 가능한걸까요?
불가능에 한 표입니다.두 실수 사이에 무한이 많은
불가능에 한 표입니다.
두 실수 사이에 무한이 많은 실수가 있으니까요.
0 < a < 1인 a를 잡고
f(a) < 1이면 (a, f(a) + e1)을 왼쪽 아래로, (a + e2, f(a) + e3)를 오른쪽 위로 하는 사각형 하나 그리면 됩니다.
f(a) = 1이면 (a, f(a) - e1)을 왼쪽 위로, (a + e2, f(a) - e3)를 오른쪽 아래로 하는 사각형 하나 그리면 됩니다.
아, 불연속 함수를 고려 안 했나요? ㅠㅠ
더 생각해보죠.
begin{signature}
THIS IS SPARTA!!!!!n.
end{signature}
f_0(x) = 2x (0 <=x <= 1/2)
f_0(x) = 2x (0 <=x <= 1/2)
1 - 2x (1/2 <=x <= 1)
f_n(x) = f_{n-1}(2x) (0 <=x <= 1/2)
f_{n-1}(2x-1) (1/2 <=x <= 1)
n을 무한대로
begin{signature}
THIS IS SPARTA!!!!!n.
end{signature}
각 fn은 함수이지만 fn이 함수로 수렴하는지 증명이
각 fn은 함수이지만 fn이 함수로 수렴하는지 증명이 필요한 것 같습니다.
f(x) = lim(x->∞) sin^2
f(x) = lim(x->∞) sin^2 (n*x)
는 훼이크....
이 경우엔 함수값이 존재하질 않습니다 - ㅅ-)
그리고 아마도 존재하지 않을듯 싶습니다만...
f(p) = a , f(p+Δp) = b 라면
필연적으로 |a-b| / Δp 라는 기울기를 가지게 되는데,
이리되면 x∈(p, p+Δp) 구간에서 사각형이 생길 수 있게 되죠...
다르게 얘기해서 기울기를 가지는 순간에 (그러니까 어떤 구간에서든 미분이 가능하다면)
이미 그 함수는 평면을 커버하고 있지 않은거죠.
덧)
만약에 기울기란게 없다, 모든 구간에서 미분 불가능하다...라고 했을 경우....
세 개의 연속된 수를 a,b,c로 표현했을 때,
x∈(a,c) 구간 내부에서
y∈(0, min(f(a),f(b),f(c)))
y∈(min(f(a),f(b),f(c)), median(f(a),f(b),f(c)))
y∈(median(f(a),f(b),f(c)), max(f(a),f(b),f(c)))
y∈(max(f(a),f(b),f(c)), 1)
중 한가지 구간에서 사각형을 만드는게 가능합니다.
실수에서 '연속된 수'라는 개념은 사용할 수 없을 것
실수에서 '연속된 수'라는 개념은 사용할 수 없을 것 같습니다.
"실수 a 오른쪽으로 연속된 수"를 정의해보자면 "a보다 크면서 다른 모든 a < 실수들 보다는 작은 수" 정도가 될텐데
연속된 숫자 b 있다고 가정하면, a < (a+b)/2 < b 가 되어 b는 정의상 연속된 수가 될 수 없습니다. Contradiction.
(함수가 C1 이라는 가정 하에) 기울기로 보자면.. f(p) = a , f(p+Δp) = b 사이에선 기울기 (b-a)/Δp인 점이 최소한 한곳 이상 있는것은 맞는데
빈공간이 있다는걸 보이기 위해선 조건이 좀 더 필요할 것 같네요. 여전히 0과 1 사이를 요동칠 수 있으니깐요. 그냥 연속성가지고 논하는게 간단해보입니다.
함수가 미분가능하면 연속(continuous)이고, 연속함수의 epsilon-delta 정의를 써서 모든점에서 사각형을 명시적으로 구축가능합니다.
길게 말할 것없이 실수에 연속된 숫자란게 있을리
길게 말할 것없이 실수에 연속된 숫자란게 있을리 만무하죠 [먼산]
원래는 N을 R에 맵핑했다고 하고, 여기서 연속된 세 자연수에 매핑된 실수를 가리키는 거였는데
저거 쓸 당시에는 왠지 모르게 머리가 안돌아가서 일단은 저렇게 써버렸습니다 = ㅅ=)
그리고 확실히 기울기 가지고 불연속 함수에 대해 이야기하는건 좀 어불성설이지 싶습니다.
모든 구간에서 미분이 불가능한 함수도 존재하고 말이죠 - ㅅ-)
...
f(x) = (p mod q) / q, if x = p/(q^2), (p와 q는 서로 소)
f(x) = 0, otherwise
이거 왠지 될거같은데 이게 counter
이거 왠지 될거같은데 이게 counter example이라는 증명은 어떻게 해야할지 딱 감이 잘 안오네요;
+아아 이해갔습니다 굿!
원리적으로는 가능 할 것 같군요..
[0, 1]과 [0,1] X [0, 1]은 Cardinality가 같으니까요... 다만 함수를 어떻게 잡아야 하는 지는 잘 모르겠네요...
[0,1]과 [0,1]X[0,1]이
[0,1]과 [0,1]X[0,1]이 cardinality가 같다는 점은 이 문제와는 별 관계는 없을 것 같습니다.
왜냐하면 둘의 cardinality가 같다는 것은 g: [0,1] -> [0,1]X[0,1]인 bijection g가 있다는 것인데요..
이문제에서는 애초에 f:[0,1] -> [0,1]을 제시하라고 했기 때문에 g(x) = (x, f(x))를 만족해야 합니다.
그런데 이러한 bijection은 존재하지 않습니다. 간단한 예로만 봐도 g(x1)=(0,0)이라고 하면 g(x2)=(0,1)이 되는 x2는 있을 수 없죠.
따라서 제 생각에는 어떤 f:[0,1] -> [0,1]도 [0,1]x[0,1]의 모든 점을 커버할 수는 없기 때문에
애초에 문제에서 주어진 "면적이 있는" 직사각형이라는 점을 이용해야 될 것 같습니다.
유리수 집합 Q={p_1,p_2,...}이라
유리수 집합 Q={p_1,p_2,...}이라 하면
take q_1 from R-Q
Q_1={p_1+q_1, p_2+q_1, p_3+q_1,....}
take q_2 from R-(QUQ_1)
Q_2={p_1+q_2, p_2+q_2, p_3+q_2,....}
take q_3 from R-(QUQ_1UQ_2)
Q_3={p_1+q_3, p_2+q_3,.....}
:
:
0.we can construct Q_n for all n in N. (R uncountable)
1.Q_i, Q_j disjoint subsets of R for i!= j.
2.Q_i dense in R for all i.
f(x)=p_i if x in Q_i for some i, 0 otherwise.
then {(x,f(x))} dense in RxR.
심플하고 좋네요. 굿굿!!!
심플하고 좋네요. 굿굿!!! (치역을 [0,1]로 바운드만 시키면 끝)
무리수를 가지고 구축하셨는데.. 그럼 혹시 유리수만 사용해서 구축은 가능할까요? f(R-Q)=0 으로 해두고..
위의 Jick님의 함수 잘 들여다 보세요. 예로 큰
위의 Jick님의 함수 잘 들여다 보세요. 예로 큰 소수 p에 대해서, {(k/p,(mp+k)/p^2)| p prime, 0<= m, k<=p-1} 점들을 생각해보시면 됩니다. 제가 했던 방법 쓰시려면 Q_i={q/(p_i^n)|p_i is i-th prime, n in N, q in Z, gcd(p_i,q)=1 } 집합들을 생각하시구요. 저는 여기까지만.
설명감사합니다!
설명감사합니다!
이건 어떤가요.
f(n) =
{
n if n is rational
1/n if n is irrational.
}
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전산계획설계사 지망 영문학과생
아, 아니군요.
실수...
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아무리 보아도 R->R로는 불가능합니다.
아무리 보아도 R->R로는 불가능합니다.
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전산계획설계사 지망 영문학과생
assume possible. then there
assume possible.
then there exists f: R -> R such that
{ x, f(x) is dense in [0, 1] x [0, 1]
then for this f(x), consider x_0 != 1, and x_0 != 0 ( x_0 ∈ (0, 1) )
1. consider lim x1 -> x0+ f(x1) = f(x0). then there exists rectangle (x1, f(x1), x0, f(x0) ), (x0, f(x0)), (x1-x0, f(x1-x0)), (x0-x1, f(x0-x1)).
2. suppose lim x1-> x0+ f(x1) != f(x0)
then for every x1,
( lim x1->x0+ x1, lim x1->x0+ f(x1) ) != ( x0, f(x0) )
hence, a distinctive line (lim x1->x0, x1, lim x1->x0, f(x1)), (x0, f(x0) ) exists.
consider negative limit too.
case 2-1: trivial.
case 2-2: another line exists. with the coordinates of these two lines we can make rectangle.
QED
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전산계획설계사 지망 영문학과생
그러니까...
그런 함수 f(x)가 있다고 가정합니다.
플러스 리미트(한쪽으로만 리미트를 거는 것)를 써서, 한 쪽으로 연속이 된다면 사각형은 만들 수 있습니다.(위에 많은 분들이 설명하였으니 이 부분은 trivial이라 생각하고 증명하지 않습니다.) 그러므로 경우 1인 경우엔 반증이 됩니다.
한 쪽으로 연속이 안 될 경우(경우 2라 지칭합니다), 그때 lim x1-> x0 x1, lim x1->x0 f(x1) 즉 좌표 (x0, f(x0))에 한 쪽에서 치닫는 좌표 어떤 것을 찾아도 x0, f(x0)와 다르므로 직선을 만들 수 있습니다.
즉, 4 가지의 경우가 있는데;
1-1: 경우 1이 있으면 무조건 반증됩니다.
1-2:
2-1:
그리고 2-2:
반대쪽도 똑같이 경우 2가 생길 경우, 좌표 ( x0, f(x0) )를 중심으로 직선 둘을 만들 수 있습니다. 좌표 (x1, f(x1)) 들은 전부 f(x)위에 놓여있으니 이 둘 사이에 f(x)는 가로지르지 않습니다.
f(x)에 닿지 않는 서로 다른 직선 둘을 만들었으니 이 둘을 이어 사각형을 만들 수 있습니다. 그러므로 경우 2-2도 반증이 됩니다.
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아...
이거도 아니군요.
선과 사각형을 만드는 건 좋은데 그 사이에 f(x)가 가로지르지 않는다는 보장이 없습니다.
그렇지 않는 경우를 상정할 수 있겠지만 이 상황에선 f(x)가 사각형 그리는 게 가능하지 않은 함수라고 상정한 거니까...
아음 R-> RxR은 dense하지 않지만... 아아악..
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문제에서 함수에 대한 아무런 제약이 없으니까 함수가
문제에서 함수에 대한 아무런 제약이 없으니까 함수가 리밋 값을 꼭 가진다고 보장할 수 없네요.
만약 리밋값이 존재한다면 모든 구간에서 불연속이라도 사각형을 구축 할 수 있습니다.
lim_{x1 -> +x0} f(x1) = b
리밋의 정의를 이용해 epsilon=0.1로 설정하고
|x - x0| < delta 이면 |b-f(x)| < epsilon인 delta를 fix 시킵니다.
그러면 다음 둘중에 한 사각형이 반드시 함수값을 포함하지 않습니다.
[x0 + delta/3, x0+delta/2] x [0, 0.2]
[x0 + delta/3, x0+delta/2] x [0.8, 1]
앗... 수학나라에 발을 잘못 디뎠군요... 역시
앗... 수학나라에 발을 잘못 디뎠군요...
역시 수학나라는 언어가 틀려.. ㅠ.ㅜ
전 일단 그래프 나오면 깨갱이라서리.. ㅎㅎㅎ;
jick님 솔루션 부연설명입니다. 살짝만 바꿔서,
jick님 솔루션 중학생도 이해 가능한 부연설명입니다. 살짝만 바꿔서, 함수f를 다음과 같이 정의를 하면. (mod는 정수 나누기 나머지입니다. 5 mod 2 = 1)
어떤 임의의 사각형에 대해서도 그 안에 한 점(x,f(x))을 찾을 수 있다는걸 증명합시다.
사각형이 [a,b]x[c,d]라고 합시다.(a,b가 가로, c,d가 세로, a < b, c < d)
먼저 다음 조건들을 만족하는 큰소수 p를 고릅니다.
1/p < b-a
1/p < d-c
1/p < a
그러면 c < n/p < d 를 만족하는 자연수 n이 존재하겠지요. 이제 f(x)= n/p와 a < x < b를 만족하는 x가 있으면 증명됩니다.
a < (n+pm)/(p^2) < b를 만족하는 자연수 m이 존재합니다, m이 1 차이날때마다 1/p만큼 차이가 나니까요.
x=(n+pm)/(p^2) 로 x를 설정.
f(x) = ((n+pm) mod p)/p = n/p 입니다. 끝.
나중에 시간 나면 zalamea님 솔루션도 쉬운 버젼으로 설명해볼게요.
없다. 증명 끝.
없다. 증명 끝.
세벌 https://sebuls.blogspot.kr/
지금 이 글타래 토론은 없고 서로 다른말만 하네요
지금 이 글타래 토론은 없고 서로 다른말만 하네요 ㅡㅡ)
특히나 제가 쓴 글에는 반박할 거리가 상당히 많음에도 조용하군요 ...
...
0 < X[0] < 1 에서 아무 숫자나 택하고
X[n+1] = 3.57 * X[n] * (1 - X[n]) 로 정의되는 매핑에 집어넣으면 (n >= 1)
0과 1사이를 중복도 없이 무한히 빼곡히 채우는 아름다운 수열이 나오니깐
어떤 사각형도 발붙이지 못하게 주어진 평면을 가득채우는 것 또한 간단(?)하지만,
...
but,,,
이 문제에 대해선 일종의 반칙으로(?) 간주될 것 같아서 그냥 패스합니다... >_<
음... 극한의 개념을 도입해보면 어떨까요?
극한의 개념을 도입해보는겁니다. 뭐 예를들어 y=무한대*x^무한대-무한대 의 경우 뭔가 가능하지 않을까요?
실수의 개념을 넣는거죠
그림을 보시면 아실 듯
그림을 보시면 될겁니다.
아 생각해보니깐
아 생각해보니깐 y=무한대*(x-0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001)*(x-0.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000002)*...... 뭐 이런식으로 해야되는군요.
이렇게 한다면~_~... 적어도 직사각형에는 무조건
이렇게 한다면~_~... 적어도 직사각형에는 무조건 포함 될 수 있을거 같군요.
직사각형의 크기를 줄이고 줄여도 이 함수도 그 크기 만큼의 공간을 안남기려 할테니..
아놔 근데 저 위에 페뭐씨의 곡선이 있었군요
아놔 근데 저 위에 페뭐씨의 곡선이 있었군요 ㄱ-...제기랄..
전영역을 커버하면 함수가 아니지 않나요? 전영역을
전영역을 커버하면 함수가 아니지 않나요?
전영역을 커버 하려면 임의의 x의 1개 값에 대응해 여러개의 y 값이 나와야 하는데...
함수의 정의에 따르면 그런 것은 함수라고 부를 수는 없을거 같은데요.
Neogeo - Future is Now.