수학 문제, 최대 중복 갯수가 제한된 중복 순열이랄까..

안녕하세요?

우연히 본 문제를 가지고 며칠째 틈날때마다 머리를 굴려보는데 잘 안 되어서...;
여쭤볼 곳을 찾다가 KLDP 생각이 나서 왔습니다 ^^;

문제는 다음과 같습니다.
1) 공(똑같이 생겨서 구분할 수 없는)이 6개 있고
2) 그 공을 넣을 자리가 6곳 있고(A,B,C,D,E,F 라 하죠)
3) 각 자리에는 최대 3개까지 공을 넣을 수 있음

즉 다음과 같은 경우들이 나올 텐데..

A B C D E F
 
3 3 0 0 0 0
3 2 1 0 0 0
0 0 0 0 3 3
1 1 1 1 1 1
...

이때 경우의 수를 간단한 공식으로 구할 수 있는가 해서요.

만일 3)번 최대 3개라는 제한이 없다면, 이것은 A,B,...,F 6개 원소를 가지고 중복을 허용해서 6자리 조합을 만드는 중복 조합 문제가 됩니다. 6H6 = 11C6 = 462가지

그런데 저 제한이 있다면 이렇게 간단하게 (예를 들어 aCb * cCd 라는 형태로 공식이 나온다거나) 할 수 있을까 모르겠거든요.

일단 제가 생각할 수 있던 풀이는, 한 자리에 들어가는 공의 갯수에 따라 경우를 나누어서 각각 계산한 후 합치는 겁니다.
1) 3개 3개 : 6자리 중에 2자리 선택해서 넣으면 되니까 6C2 = 15
2) 3-2-1 : 6자리 중에 1자리 선택해서 3개, 남은 5자리 중 1자리 선택해서 2개, 남은 4자리 중 1자리 선택해서 1개 = 6C1 * 5C1 * 4C1 = 120
3) 3-1-1-1 : (이하 계산 생략) 60
4) 2-2-2 : 20
5) 2-2-1-1 : 90
6) 2-1-1-1-1 : 30
7) 1-1-1-1-1-1 : 1
다 합하면 336이고, 검증해보면 이게 정답이긴 합니다.

그렇지만 만일 공이 80개, 자리가 70곳, 최대 갯수가 30개, 이런 식이면 이렇게 일일이 경우를 나누는 것조차 만만치 않을 텐데요.

저렇게 경우를 나누어 다루지 않고 처음 조건만 가지고 쉽게 풀 수 없을까요? 구글에서 중복 조합 쪽으로 검색을 해서 예제를 봐도 이렇게 최댓값 제한이 있는 경우를 검색하자니 쉽지 않네요.

P.S.

위에 언급한 중복조합의 462가지에서, 한 자리에 4개 이상 들어가는 경우를 계산해서 빼는 것도 있겠습니다. 그런데 이것도 결국
1) 4-2
2) 4-1-1
3) 5-1
4) 6
이렇게 경우를 나누어 계산한다면 결국 마찬가지로 불편한(?) 풀이겠네요.